Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
inss1 |
|- ( F i^i G ) C_ F |
2 |
|
filsspw |
|- ( F e. ( Fil ` X ) -> F C_ ~P X ) |
3 |
2
|
adantr |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ G e. ( Fil ` X ) ) -> F C_ ~P X ) |
4 |
1 3
|
sstrid |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ G e. ( Fil ` X ) ) -> ( F i^i G ) C_ ~P X ) |
5 |
|
0nelfil |
|- ( F e. ( Fil ` X ) -> -. (/) e. F ) |
6 |
5
|
adantr |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ G e. ( Fil ` X ) ) -> -. (/) e. F ) |
7 |
|
elinel1 |
|- ( (/) e. ( F i^i G ) -> (/) e. F ) |
8 |
6 7
|
nsyl |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ G e. ( Fil ` X ) ) -> -. (/) e. ( F i^i G ) ) |
9 |
|
filtop |
|- ( F e. ( Fil ` X ) -> X e. F ) |
10 |
9
|
adantr |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ G e. ( Fil ` X ) ) -> X e. F ) |
11 |
|
filtop |
|- ( G e. ( Fil ` X ) -> X e. G ) |
12 |
11
|
adantl |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ G e. ( Fil ` X ) ) -> X e. G ) |
13 |
10 12
|
elind |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ G e. ( Fil ` X ) ) -> X e. ( F i^i G ) ) |
14 |
4 8 13
|
3jca |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ G e. ( Fil ` X ) ) -> ( ( F i^i G ) C_ ~P X /\ -. (/) e. ( F i^i G ) /\ X e. ( F i^i G ) ) ) |
15 |
|
simpll |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ G e. ( Fil ` X ) ) /\ ( x e. ~P X /\ y e. ( F i^i G ) /\ y C_ x ) ) -> F e. ( Fil ` X ) ) |
16 |
|
simpr2 |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ G e. ( Fil ` X ) ) /\ ( x e. ~P X /\ y e. ( F i^i G ) /\ y C_ x ) ) -> y e. ( F i^i G ) ) |
17 |
|
elinel1 |
|- ( y e. ( F i^i G ) -> y e. F ) |
18 |
16 17
|
syl |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ G e. ( Fil ` X ) ) /\ ( x e. ~P X /\ y e. ( F i^i G ) /\ y C_ x ) ) -> y e. F ) |
19 |
|
simpr1 |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ G e. ( Fil ` X ) ) /\ ( x e. ~P X /\ y e. ( F i^i G ) /\ y C_ x ) ) -> x e. ~P X ) |
20 |
19
|
elpwid |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ G e. ( Fil ` X ) ) /\ ( x e. ~P X /\ y e. ( F i^i G ) /\ y C_ x ) ) -> x C_ X ) |
21 |
|
simpr3 |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ G e. ( Fil ` X ) ) /\ ( x e. ~P X /\ y e. ( F i^i G ) /\ y C_ x ) ) -> y C_ x ) |
22 |
|
filss |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( y e. F /\ x C_ X /\ y C_ x ) ) -> x e. F ) |
23 |
15 18 20 21 22
|
syl13anc |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ G e. ( Fil ` X ) ) /\ ( x e. ~P X /\ y e. ( F i^i G ) /\ y C_ x ) ) -> x e. F ) |
24 |
|
simplr |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ G e. ( Fil ` X ) ) /\ ( x e. ~P X /\ y e. ( F i^i G ) /\ y C_ x ) ) -> G e. ( Fil ` X ) ) |
25 |
|
elinel2 |
|- ( y e. ( F i^i G ) -> y e. G ) |
26 |
16 25
|
syl |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ G e. ( Fil ` X ) ) /\ ( x e. ~P X /\ y e. ( F i^i G ) /\ y C_ x ) ) -> y e. G ) |
27 |
|
filss |
|- ( ( G e. ( Fil ` X ) /\ ( y e. G /\ x C_ X /\ y C_ x ) ) -> x e. G ) |
28 |
24 26 20 21 27
|
syl13anc |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ G e. ( Fil ` X ) ) /\ ( x e. ~P X /\ y e. ( F i^i G ) /\ y C_ x ) ) -> x e. G ) |
29 |
23 28
|
elind |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ G e. ( Fil ` X ) ) /\ ( x e. ~P X /\ y e. ( F i^i G ) /\ y C_ x ) ) -> x e. ( F i^i G ) ) |
30 |
29
|
3exp2 |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ G e. ( Fil ` X ) ) -> ( x e. ~P X -> ( y e. ( F i^i G ) -> ( y C_ x -> x e. ( F i^i G ) ) ) ) ) |
31 |
30
|
imp |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ G e. ( Fil ` X ) ) /\ x e. ~P X ) -> ( y e. ( F i^i G ) -> ( y C_ x -> x e. ( F i^i G ) ) ) ) |
32 |
31
|
rexlimdv |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ G e. ( Fil ` X ) ) /\ x e. ~P X ) -> ( E. y e. ( F i^i G ) y C_ x -> x e. ( F i^i G ) ) ) |
33 |
32
|
ralrimiva |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ G e. ( Fil ` X ) ) -> A. x e. ~P X ( E. y e. ( F i^i G ) y C_ x -> x e. ( F i^i G ) ) ) |
34 |
|
simpl |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ G e. ( Fil ` X ) ) -> F e. ( Fil ` X ) ) |
35 |
|
elinel1 |
|- ( x e. ( F i^i G ) -> x e. F ) |
36 |
35 17
|
anim12i |
|- ( ( x e. ( F i^i G ) /\ y e. ( F i^i G ) ) -> ( x e. F /\ y e. F ) ) |
37 |
|
filin |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x e. F /\ y e. F ) -> ( x i^i y ) e. F ) |
38 |
37
|
3expb |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( x e. F /\ y e. F ) ) -> ( x i^i y ) e. F ) |
39 |
34 36 38
|
syl2an |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ G e. ( Fil ` X ) ) /\ ( x e. ( F i^i G ) /\ y e. ( F i^i G ) ) ) -> ( x i^i y ) e. F ) |
40 |
|
simpr |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ G e. ( Fil ` X ) ) -> G e. ( Fil ` X ) ) |
41 |
|
elinel2 |
|- ( x e. ( F i^i G ) -> x e. G ) |
42 |
41 25
|
anim12i |
|- ( ( x e. ( F i^i G ) /\ y e. ( F i^i G ) ) -> ( x e. G /\ y e. G ) ) |
43 |
|
filin |
|- ( ( G e. ( Fil ` X ) /\ x e. G /\ y e. G ) -> ( x i^i y ) e. G ) |
44 |
43
|
3expb |
|- ( ( G e. ( Fil ` X ) /\ ( x e. G /\ y e. G ) ) -> ( x i^i y ) e. G ) |
45 |
40 42 44
|
syl2an |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ G e. ( Fil ` X ) ) /\ ( x e. ( F i^i G ) /\ y e. ( F i^i G ) ) ) -> ( x i^i y ) e. G ) |
46 |
39 45
|
elind |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ G e. ( Fil ` X ) ) /\ ( x e. ( F i^i G ) /\ y e. ( F i^i G ) ) ) -> ( x i^i y ) e. ( F i^i G ) ) |
47 |
46
|
ralrimivva |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ G e. ( Fil ` X ) ) -> A. x e. ( F i^i G ) A. y e. ( F i^i G ) ( x i^i y ) e. ( F i^i G ) ) |
48 |
|
isfil2 |
|- ( ( F i^i G ) e. ( Fil ` X ) <-> ( ( ( F i^i G ) C_ ~P X /\ -. (/) e. ( F i^i G ) /\ X e. ( F i^i G ) ) /\ A. x e. ~P X ( E. y e. ( F i^i G ) y C_ x -> x e. ( F i^i G ) ) /\ A. x e. ( F i^i G ) A. y e. ( F i^i G ) ( x i^i y ) e. ( F i^i G ) ) ) |
49 |
14 33 47 48
|
syl3anbrc |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ G e. ( Fil ` X ) ) -> ( F i^i G ) e. ( Fil ` X ) ) |