Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
submrcl |
|- ( A e. ( SubMnd ` M ) -> M e. Mnd ) |
2 |
|
ssinss1 |
|- ( A C_ ( Base ` M ) -> ( A i^i B ) C_ ( Base ` M ) ) |
3 |
2
|
3ad2ant1 |
|- ( ( A C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. A /\ A. a e. A A. b e. A ( a ( +g ` M ) b ) e. A ) -> ( A i^i B ) C_ ( Base ` M ) ) |
4 |
3
|
ad2antrl |
|- ( ( M e. Mnd /\ ( ( A C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. A /\ A. a e. A A. b e. A ( a ( +g ` M ) b ) e. A ) /\ ( B C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. B /\ A. a e. B A. b e. B ( a ( +g ` M ) b ) e. B ) ) ) -> ( A i^i B ) C_ ( Base ` M ) ) |
5 |
|
elin |
|- ( ( 0g ` M ) e. ( A i^i B ) <-> ( ( 0g ` M ) e. A /\ ( 0g ` M ) e. B ) ) |
6 |
5
|
simplbi2com |
|- ( ( 0g ` M ) e. B -> ( ( 0g ` M ) e. A -> ( 0g ` M ) e. ( A i^i B ) ) ) |
7 |
6
|
3ad2ant2 |
|- ( ( B C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. B /\ A. a e. B A. b e. B ( a ( +g ` M ) b ) e. B ) -> ( ( 0g ` M ) e. A -> ( 0g ` M ) e. ( A i^i B ) ) ) |
8 |
7
|
com12 |
|- ( ( 0g ` M ) e. A -> ( ( B C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. B /\ A. a e. B A. b e. B ( a ( +g ` M ) b ) e. B ) -> ( 0g ` M ) e. ( A i^i B ) ) ) |
9 |
8
|
3ad2ant2 |
|- ( ( A C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. A /\ A. a e. A A. b e. A ( a ( +g ` M ) b ) e. A ) -> ( ( B C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. B /\ A. a e. B A. b e. B ( a ( +g ` M ) b ) e. B ) -> ( 0g ` M ) e. ( A i^i B ) ) ) |
10 |
9
|
imp |
|- ( ( ( A C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. A /\ A. a e. A A. b e. A ( a ( +g ` M ) b ) e. A ) /\ ( B C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. B /\ A. a e. B A. b e. B ( a ( +g ` M ) b ) e. B ) ) -> ( 0g ` M ) e. ( A i^i B ) ) |
11 |
10
|
adantl |
|- ( ( M e. Mnd /\ ( ( A C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. A /\ A. a e. A A. b e. A ( a ( +g ` M ) b ) e. A ) /\ ( B C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. B /\ A. a e. B A. b e. B ( a ( +g ` M ) b ) e. B ) ) ) -> ( 0g ` M ) e. ( A i^i B ) ) |
12 |
|
elin |
|- ( x e. ( A i^i B ) <-> ( x e. A /\ x e. B ) ) |
13 |
|
elin |
|- ( y e. ( A i^i B ) <-> ( y e. A /\ y e. B ) ) |
14 |
12 13
|
anbi12i |
|- ( ( x e. ( A i^i B ) /\ y e. ( A i^i B ) ) <-> ( ( x e. A /\ x e. B ) /\ ( y e. A /\ y e. B ) ) ) |
15 |
|
oveq1 |
|- ( a = x -> ( a ( +g ` M ) b ) = ( x ( +g ` M ) b ) ) |
16 |
15
|
eleq1d |
|- ( a = x -> ( ( a ( +g ` M ) b ) e. A <-> ( x ( +g ` M ) b ) e. A ) ) |
17 |
|
oveq2 |
|- ( b = y -> ( x ( +g ` M ) b ) = ( x ( +g ` M ) y ) ) |
18 |
17
|
eleq1d |
|- ( b = y -> ( ( x ( +g ` M ) b ) e. A <-> ( x ( +g ` M ) y ) e. A ) ) |
19 |
|
simpl |
|- ( ( x e. A /\ x e. B ) -> x e. A ) |
20 |
19
|
adantr |
|- ( ( ( x e. A /\ x e. B ) /\ ( y e. A /\ y e. B ) ) -> x e. A ) |
21 |
|
eqidd |
|- ( ( ( ( x e. A /\ x e. B ) /\ ( y e. A /\ y e. B ) ) /\ a = x ) -> A = A ) |
22 |
|
simpl |
|- ( ( y e. A /\ y e. B ) -> y e. A ) |
23 |
22
|
adantl |
|- ( ( ( x e. A /\ x e. B ) /\ ( y e. A /\ y e. B ) ) -> y e. A ) |
24 |
16 18 20 21 23
|
rspc2vd |
|- ( ( ( x e. A /\ x e. B ) /\ ( y e. A /\ y e. B ) ) -> ( A. a e. A A. b e. A ( a ( +g ` M ) b ) e. A -> ( x ( +g ` M ) y ) e. A ) ) |
25 |
24
|
com12 |
|- ( A. a e. A A. b e. A ( a ( +g ` M ) b ) e. A -> ( ( ( x e. A /\ x e. B ) /\ ( y e. A /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` M ) y ) e. A ) ) |
26 |
25
|
3ad2ant3 |
|- ( ( A C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. A /\ A. a e. A A. b e. A ( a ( +g ` M ) b ) e. A ) -> ( ( ( x e. A /\ x e. B ) /\ ( y e. A /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` M ) y ) e. A ) ) |
27 |
26
|
ad2antrl |
|- ( ( M e. Mnd /\ ( ( A C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. A /\ A. a e. A A. b e. A ( a ( +g ` M ) b ) e. A ) /\ ( B C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. B /\ A. a e. B A. b e. B ( a ( +g ` M ) b ) e. B ) ) ) -> ( ( ( x e. A /\ x e. B ) /\ ( y e. A /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` M ) y ) e. A ) ) |
28 |
27
|
imp |
|- ( ( ( M e. Mnd /\ ( ( A C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. A /\ A. a e. A A. b e. A ( a ( +g ` M ) b ) e. A ) /\ ( B C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. B /\ A. a e. B A. b e. B ( a ( +g ` M ) b ) e. B ) ) ) /\ ( ( x e. A /\ x e. B ) /\ ( y e. A /\ y e. B ) ) ) -> ( x ( +g ` M ) y ) e. A ) |
29 |
15
|
eleq1d |
|- ( a = x -> ( ( a ( +g ` M ) b ) e. B <-> ( x ( +g ` M ) b ) e. B ) ) |
30 |
17
|
eleq1d |
|- ( b = y -> ( ( x ( +g ` M ) b ) e. B <-> ( x ( +g ` M ) y ) e. B ) ) |
31 |
|
simpr |
|- ( ( x e. A /\ x e. B ) -> x e. B ) |
32 |
31
|
adantr |
|- ( ( ( x e. A /\ x e. B ) /\ ( y e. A /\ y e. B ) ) -> x e. B ) |
33 |
|
eqidd |
|- ( ( ( ( x e. A /\ x e. B ) /\ ( y e. A /\ y e. B ) ) /\ a = x ) -> B = B ) |
34 |
|
simpr |
|- ( ( y e. A /\ y e. B ) -> y e. B ) |
35 |
34
|
adantl |
|- ( ( ( x e. A /\ x e. B ) /\ ( y e. A /\ y e. B ) ) -> y e. B ) |
36 |
29 30 32 33 35
|
rspc2vd |
|- ( ( ( x e. A /\ x e. B ) /\ ( y e. A /\ y e. B ) ) -> ( A. a e. B A. b e. B ( a ( +g ` M ) b ) e. B -> ( x ( +g ` M ) y ) e. B ) ) |
37 |
36
|
com12 |
|- ( A. a e. B A. b e. B ( a ( +g ` M ) b ) e. B -> ( ( ( x e. A /\ x e. B ) /\ ( y e. A /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` M ) y ) e. B ) ) |
38 |
37
|
3ad2ant3 |
|- ( ( B C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. B /\ A. a e. B A. b e. B ( a ( +g ` M ) b ) e. B ) -> ( ( ( x e. A /\ x e. B ) /\ ( y e. A /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` M ) y ) e. B ) ) |
39 |
38
|
adantl |
|- ( ( ( A C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. A /\ A. a e. A A. b e. A ( a ( +g ` M ) b ) e. A ) /\ ( B C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. B /\ A. a e. B A. b e. B ( a ( +g ` M ) b ) e. B ) ) -> ( ( ( x e. A /\ x e. B ) /\ ( y e. A /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` M ) y ) e. B ) ) |
40 |
39
|
adantl |
|- ( ( M e. Mnd /\ ( ( A C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. A /\ A. a e. A A. b e. A ( a ( +g ` M ) b ) e. A ) /\ ( B C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. B /\ A. a e. B A. b e. B ( a ( +g ` M ) b ) e. B ) ) ) -> ( ( ( x e. A /\ x e. B ) /\ ( y e. A /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` M ) y ) e. B ) ) |
41 |
40
|
imp |
|- ( ( ( M e. Mnd /\ ( ( A C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. A /\ A. a e. A A. b e. A ( a ( +g ` M ) b ) e. A ) /\ ( B C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. B /\ A. a e. B A. b e. B ( a ( +g ` M ) b ) e. B ) ) ) /\ ( ( x e. A /\ x e. B ) /\ ( y e. A /\ y e. B ) ) ) -> ( x ( +g ` M ) y ) e. B ) |
42 |
28 41
|
elind |
|- ( ( ( M e. Mnd /\ ( ( A C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. A /\ A. a e. A A. b e. A ( a ( +g ` M ) b ) e. A ) /\ ( B C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. B /\ A. a e. B A. b e. B ( a ( +g ` M ) b ) e. B ) ) ) /\ ( ( x e. A /\ x e. B ) /\ ( y e. A /\ y e. B ) ) ) -> ( x ( +g ` M ) y ) e. ( A i^i B ) ) |
43 |
42
|
ex |
|- ( ( M e. Mnd /\ ( ( A C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. A /\ A. a e. A A. b e. A ( a ( +g ` M ) b ) e. A ) /\ ( B C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. B /\ A. a e. B A. b e. B ( a ( +g ` M ) b ) e. B ) ) ) -> ( ( ( x e. A /\ x e. B ) /\ ( y e. A /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` M ) y ) e. ( A i^i B ) ) ) |
44 |
14 43
|
syl5bi |
|- ( ( M e. Mnd /\ ( ( A C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. A /\ A. a e. A A. b e. A ( a ( +g ` M ) b ) e. A ) /\ ( B C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. B /\ A. a e. B A. b e. B ( a ( +g ` M ) b ) e. B ) ) ) -> ( ( x e. ( A i^i B ) /\ y e. ( A i^i B ) ) -> ( x ( +g ` M ) y ) e. ( A i^i B ) ) ) |
45 |
44
|
ralrimivv |
|- ( ( M e. Mnd /\ ( ( A C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. A /\ A. a e. A A. b e. A ( a ( +g ` M ) b ) e. A ) /\ ( B C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. B /\ A. a e. B A. b e. B ( a ( +g ` M ) b ) e. B ) ) ) -> A. x e. ( A i^i B ) A. y e. ( A i^i B ) ( x ( +g ` M ) y ) e. ( A i^i B ) ) |
46 |
4 11 45
|
3jca |
|- ( ( M e. Mnd /\ ( ( A C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. A /\ A. a e. A A. b e. A ( a ( +g ` M ) b ) e. A ) /\ ( B C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. B /\ A. a e. B A. b e. B ( a ( +g ` M ) b ) e. B ) ) ) -> ( ( A i^i B ) C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. ( A i^i B ) /\ A. x e. ( A i^i B ) A. y e. ( A i^i B ) ( x ( +g ` M ) y ) e. ( A i^i B ) ) ) |
47 |
46
|
ex |
|- ( M e. Mnd -> ( ( ( A C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. A /\ A. a e. A A. b e. A ( a ( +g ` M ) b ) e. A ) /\ ( B C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. B /\ A. a e. B A. b e. B ( a ( +g ` M ) b ) e. B ) ) -> ( ( A i^i B ) C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. ( A i^i B ) /\ A. x e. ( A i^i B ) A. y e. ( A i^i B ) ( x ( +g ` M ) y ) e. ( A i^i B ) ) ) ) |
48 |
|
eqid |
|- ( Base ` M ) = ( Base ` M ) |
49 |
|
eqid |
|- ( 0g ` M ) = ( 0g ` M ) |
50 |
|
eqid |
|- ( +g ` M ) = ( +g ` M ) |
51 |
48 49 50
|
issubm |
|- ( M e. Mnd -> ( A e. ( SubMnd ` M ) <-> ( A C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. A /\ A. a e. A A. b e. A ( a ( +g ` M ) b ) e. A ) ) ) |
52 |
48 49 50
|
issubm |
|- ( M e. Mnd -> ( B e. ( SubMnd ` M ) <-> ( B C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. B /\ A. a e. B A. b e. B ( a ( +g ` M ) b ) e. B ) ) ) |
53 |
51 52
|
anbi12d |
|- ( M e. Mnd -> ( ( A e. ( SubMnd ` M ) /\ B e. ( SubMnd ` M ) ) <-> ( ( A C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. A /\ A. a e. A A. b e. A ( a ( +g ` M ) b ) e. A ) /\ ( B C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. B /\ A. a e. B A. b e. B ( a ( +g ` M ) b ) e. B ) ) ) ) |
54 |
48 49 50
|
issubm |
|- ( M e. Mnd -> ( ( A i^i B ) e. ( SubMnd ` M ) <-> ( ( A i^i B ) C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. ( A i^i B ) /\ A. x e. ( A i^i B ) A. y e. ( A i^i B ) ( x ( +g ` M ) y ) e. ( A i^i B ) ) ) ) |
55 |
47 53 54
|
3imtr4d |
|- ( M e. Mnd -> ( ( A e. ( SubMnd ` M ) /\ B e. ( SubMnd ` M ) ) -> ( A i^i B ) e. ( SubMnd ` M ) ) ) |
56 |
55
|
expd |
|- ( M e. Mnd -> ( A e. ( SubMnd ` M ) -> ( B e. ( SubMnd ` M ) -> ( A i^i B ) e. ( SubMnd ` M ) ) ) ) |
57 |
1 56
|
mpcom |
|- ( A e. ( SubMnd ` M ) -> ( B e. ( SubMnd ` M ) -> ( A i^i B ) e. ( SubMnd ` M ) ) ) |
58 |
57
|
imp |
|- ( ( A e. ( SubMnd ` M ) /\ B e. ( SubMnd ` M ) ) -> ( A i^i B ) e. ( SubMnd ` M ) ) |