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Theorem invginvrid

Description: Identity for a multiplication with additive and multiplicative inverses in a ring. (Contributed by AV, 18-May-2018)

Ref Expression
Hypotheses invginvrid.b 
|- B = ( Base ` R )
invginvrid.u 
|- U = ( Unit ` R )
invginvrid.n 
|- N = ( invg ` R )
invginvrid.i 
|- I = ( invr ` R )
invginvrid.t 
|- .x. = ( .r ` R )
Assertion invginvrid 
|- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( ( N ` Y ) .x. ( ( I ` ( N ` Y ) ) .x. X ) ) = X )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 invginvrid.b 
 |-  B = ( Base ` R )
2 invginvrid.u 
 |-  U = ( Unit ` R )
3 invginvrid.n 
 |-  N = ( invg ` R )
4 invginvrid.i 
 |-  I = ( invr ` R )
5 invginvrid.t 
 |-  .x. = ( .r ` R )
6 eqid 
 |-  ( mulGrp ` R ) = ( mulGrp ` R )
7 6 ringmgp 
 |-  ( R e. Ring -> ( mulGrp ` R ) e. Mnd )
8 7 3ad2ant1 
 |-  ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( mulGrp ` R ) e. Mnd )
9 ringgrp 
 |-  ( R e. Ring -> R e. Grp )
10 1 2 unitcl 
 |-  ( Y e. U -> Y e. B )
11 1 3 grpinvcl 
 |-  ( ( R e. Grp /\ Y e. B ) -> ( N ` Y ) e. B )
12 9 10 11 syl2an 
 |-  ( ( R e. Ring /\ Y e. U ) -> ( N ` Y ) e. B )
13 12 3adant2 
 |-  ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( N ` Y ) e. B )
14 2 3 unitnegcl 
 |-  ( ( R e. Ring /\ Y e. U ) -> ( N ` Y ) e. U )
15 2 4 1 ringinvcl 
 |-  ( ( R e. Ring /\ ( N ` Y ) e. U ) -> ( I ` ( N ` Y ) ) e. B )
16 14 15 syldan 
 |-  ( ( R e. Ring /\ Y e. U ) -> ( I ` ( N ` Y ) ) e. B )
17 16 3adant2 
 |-  ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( I ` ( N ` Y ) ) e. B )
18 simp2 
 |-  ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> X e. B )
19 6 1 mgpbas 
 |-  B = ( Base ` ( mulGrp ` R ) )
20 6 5 mgpplusg 
 |-  .x. = ( +g ` ( mulGrp ` R ) )
21 19 20 mndass 
 |-  ( ( ( mulGrp ` R ) e. Mnd /\ ( ( N ` Y ) e. B /\ ( I ` ( N ` Y ) ) e. B /\ X e. B ) ) -> ( ( ( N ` Y ) .x. ( I ` ( N ` Y ) ) ) .x. X ) = ( ( N ` Y ) .x. ( ( I ` ( N ` Y ) ) .x. X ) ) )
22 21 eqcomd 
 |-  ( ( ( mulGrp ` R ) e. Mnd /\ ( ( N ` Y ) e. B /\ ( I ` ( N ` Y ) ) e. B /\ X e. B ) ) -> ( ( N ` Y ) .x. ( ( I ` ( N ` Y ) ) .x. X ) ) = ( ( ( N ` Y ) .x. ( I ` ( N ` Y ) ) ) .x. X ) )
23 8 13 17 18 22 syl13anc 
 |-  ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( ( N ` Y ) .x. ( ( I ` ( N ` Y ) ) .x. X ) ) = ( ( ( N ` Y ) .x. ( I ` ( N ` Y ) ) ) .x. X ) )
24 simp1 
 |-  ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> R e. Ring )
25 14 3adant2 
 |-  ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( N ` Y ) e. U )
26 eqid 
 |-  ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
27 2 4 5 26 unitrinv 
 |-  ( ( R e. Ring /\ ( N ` Y ) e. U ) -> ( ( N ` Y ) .x. ( I ` ( N ` Y ) ) ) = ( 1r ` R ) )
28 24 25 27 syl2anc 
 |-  ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( ( N ` Y ) .x. ( I ` ( N ` Y ) ) ) = ( 1r ` R ) )
29 28 oveq1d 
 |-  ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( ( ( N ` Y ) .x. ( I ` ( N ` Y ) ) ) .x. X ) = ( ( 1r ` R ) .x. X ) )
30 1 5 26 ringlidm 
 |-  ( ( R e. Ring /\ X e. B ) -> ( ( 1r ` R ) .x. X ) = X )
31 30 3adant3 
 |-  ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( ( 1r ` R ) .x. X ) = X )
32 23 29 31 3eqtrd 
 |-  ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( ( N ` Y ) .x. ( ( I ` ( N ` Y ) ) .x. X ) ) = X )