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Theorem issstrmgm

Description: Characterize a substructure as submagma by closure properties. (Contributed by AV, 30-Aug-2021)

Ref Expression
Hypotheses issstrmgm.b 
|- B = ( Base ` G )
issstrmgm.p 
|- .+ = ( +g ` G )
issstrmgm.h 
|- H = ( G |`s S )
Assertion issstrmgm 
|- ( ( H e. V /\ S C_ B ) -> ( H e. Mgm <-> A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 issstrmgm.b 
 |-  B = ( Base ` G )
2 issstrmgm.p 
 |-  .+ = ( +g ` G )
3 issstrmgm.h 
 |-  H = ( G |`s S )
4 simplr 
 |-  ( ( ( ( H e. V /\ S C_ B ) /\ H e. Mgm ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> H e. Mgm )
5 simplr 
 |-  ( ( ( H e. V /\ S C_ B ) /\ H e. Mgm ) -> S C_ B )
6 3 1 ressbas2 
 |-  ( S C_ B -> S = ( Base ` H ) )
7 5 6 syl 
 |-  ( ( ( H e. V /\ S C_ B ) /\ H e. Mgm ) -> S = ( Base ` H ) )
8 7 eleq2d 
 |-  ( ( ( H e. V /\ S C_ B ) /\ H e. Mgm ) -> ( x e. S <-> x e. ( Base ` H ) ) )
9 8 biimpcd 
 |-  ( x e. S -> ( ( ( H e. V /\ S C_ B ) /\ H e. Mgm ) -> x e. ( Base ` H ) ) )
10 9 adantr 
 |-  ( ( x e. S /\ y e. S ) -> ( ( ( H e. V /\ S C_ B ) /\ H e. Mgm ) -> x e. ( Base ` H ) ) )
11 10 impcom 
 |-  ( ( ( ( H e. V /\ S C_ B ) /\ H e. Mgm ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> x e. ( Base ` H ) )
12 7 eleq2d 
 |-  ( ( ( H e. V /\ S C_ B ) /\ H e. Mgm ) -> ( y e. S <-> y e. ( Base ` H ) ) )
13 12 biimpcd 
 |-  ( y e. S -> ( ( ( H e. V /\ S C_ B ) /\ H e. Mgm ) -> y e. ( Base ` H ) ) )
14 13 adantl 
 |-  ( ( x e. S /\ y e. S ) -> ( ( ( H e. V /\ S C_ B ) /\ H e. Mgm ) -> y e. ( Base ` H ) ) )
15 14 impcom 
 |-  ( ( ( ( H e. V /\ S C_ B ) /\ H e. Mgm ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> y e. ( Base ` H ) )
16 eqid 
 |-  ( Base ` H ) = ( Base ` H )
17 eqid 
 |-  ( +g ` H ) = ( +g ` H )
18 16 17 mgmcl 
 |-  ( ( H e. Mgm /\ x e. ( Base ` H ) /\ y e. ( Base ` H ) ) -> ( x ( +g ` H ) y ) e. ( Base ` H ) )
19 4 11 15 18 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( H e. V /\ S C_ B ) /\ H e. Mgm ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x ( +g ` H ) y ) e. ( Base ` H ) )
20 1 fvexi 
 |-  B e. _V
21 20 ssex 
 |-  ( S C_ B -> S e. _V )
22 21 adantl 
 |-  ( ( H e. V /\ S C_ B ) -> S e. _V )
23 3 2 ressplusg 
 |-  ( S e. _V -> .+ = ( +g ` H ) )
24 22 23 syl 
 |-  ( ( H e. V /\ S C_ B ) -> .+ = ( +g ` H ) )
25 24 adantr 
 |-  ( ( ( H e. V /\ S C_ B ) /\ H e. Mgm ) -> .+ = ( +g ` H ) )
26 25 oveqdr 
 |-  ( ( ( ( H e. V /\ S C_ B ) /\ H e. Mgm ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) = ( x ( +g ` H ) y ) )
27 7 adantr 
 |-  ( ( ( ( H e. V /\ S C_ B ) /\ H e. Mgm ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> S = ( Base ` H ) )
28 19 26 27 3eltr4d 
 |-  ( ( ( ( H e. V /\ S C_ B ) /\ H e. Mgm ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
29 28 ralrimivva 
 |-  ( ( ( H e. V /\ S C_ B ) /\ H e. Mgm ) -> A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S )
30 6 adantl 
 |-  ( ( H e. V /\ S C_ B ) -> S = ( Base ` H ) )
31 24 oveqd 
 |-  ( ( H e. V /\ S C_ B ) -> ( x .+ y ) = ( x ( +g ` H ) y ) )
32 31 30 eleq12d 
 |-  ( ( H e. V /\ S C_ B ) -> ( ( x .+ y ) e. S <-> ( x ( +g ` H ) y ) e. ( Base ` H ) ) )
33 30 32 raleqbidv 
 |-  ( ( H e. V /\ S C_ B ) -> ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S <-> A. y e. ( Base ` H ) ( x ( +g ` H ) y ) e. ( Base ` H ) ) )
34 30 33 raleqbidv 
 |-  ( ( H e. V /\ S C_ B ) -> ( A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S <-> A. x e. ( Base ` H ) A. y e. ( Base ` H ) ( x ( +g ` H ) y ) e. ( Base ` H ) ) )
35 34 biimpa 
 |-  ( ( ( H e. V /\ S C_ B ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) -> A. x e. ( Base ` H ) A. y e. ( Base ` H ) ( x ( +g ` H ) y ) e. ( Base ` H ) )
36 16 17 ismgm 
 |-  ( H e. V -> ( H e. Mgm <-> A. x e. ( Base ` H ) A. y e. ( Base ` H ) ( x ( +g ` H ) y ) e. ( Base ` H ) ) )
37 36 ad2antrr 
 |-  ( ( ( H e. V /\ S C_ B ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) -> ( H e. Mgm <-> A. x e. ( Base ` H ) A. y e. ( Base ` H ) ( x ( +g ` H ) y ) e. ( Base ` H ) ) )
38 35 37 mpbird 
 |-  ( ( ( H e. V /\ S C_ B ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) -> H e. Mgm )
39 29 38 impbida 
 |-  ( ( H e. V /\ S C_ B ) -> ( H e. Mgm <-> A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) )