Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
itgadd.1 |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. V ) |
2 |
|
itgadd.2 |
|- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. L^1 ) |
3 |
|
itgadd.3 |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. V ) |
4 |
|
itgadd.4 |
|- ( ph -> ( x e. A |-> C ) e. L^1 ) |
5 |
|
itgadd.5 |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR ) |
6 |
|
itgadd.6 |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. RR ) |
7 |
|
itgadd.7 |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ B ) |
8 |
|
itgadd.8 |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ C ) |
9 |
5 6
|
readdcld |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( B + C ) e. RR ) |
10 |
1 2 3 4
|
ibladd |
|- ( ph -> ( x e. A |-> ( B + C ) ) e. L^1 ) |
11 |
5 6 7 8
|
addge0d |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ ( B + C ) ) |
12 |
9 10 11
|
itgposval |
|- ( ph -> S. A ( B + C ) _d x = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( B + C ) , 0 ) ) ) ) |
13 |
5 2 7
|
itgposval |
|- ( ph -> S. A B _d x = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) ) |
14 |
6 4 8
|
itgposval |
|- ( ph -> S. A C _d x = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , C , 0 ) ) ) ) |
15 |
13 14
|
oveq12d |
|- ( ph -> ( S. A B _d x + S. A C _d x ) = ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , C , 0 ) ) ) ) ) |
16 |
5 7
|
iblpos |
|- ( ph -> ( ( x e. A |-> B ) e. L^1 <-> ( ( x e. A |-> B ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) e. RR ) ) ) |
17 |
2 16
|
mpbid |
|- ( ph -> ( ( x e. A |-> B ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) e. RR ) ) |
18 |
17
|
simpld |
|- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. MblFn ) |
19 |
18 5
|
mbfdm2 |
|- ( ph -> A e. dom vol ) |
20 |
|
mblss |
|- ( A e. dom vol -> A C_ RR ) |
21 |
19 20
|
syl |
|- ( ph -> A C_ RR ) |
22 |
|
rembl |
|- RR e. dom vol |
23 |
22
|
a1i |
|- ( ph -> RR e. dom vol ) |
24 |
|
elrege0 |
|- ( B e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) |
25 |
5 7 24
|
sylanbrc |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. ( 0 [,) +oo ) ) |
26 |
|
0e0icopnf |
|- 0 e. ( 0 [,) +oo ) |
27 |
26
|
a1i |
|- ( ( ph /\ -. x e. A ) -> 0 e. ( 0 [,) +oo ) ) |
28 |
25 27
|
ifclda |
|- ( ph -> if ( x e. A , B , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) ) |
29 |
28
|
adantr |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( x e. A , B , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) ) |
30 |
|
eldifn |
|- ( x e. ( RR \ A ) -> -. x e. A ) |
31 |
30
|
adantl |
|- ( ( ph /\ x e. ( RR \ A ) ) -> -. x e. A ) |
32 |
31
|
iffalsed |
|- ( ( ph /\ x e. ( RR \ A ) ) -> if ( x e. A , B , 0 ) = 0 ) |
33 |
|
iftrue |
|- ( x e. A -> if ( x e. A , B , 0 ) = B ) |
34 |
33
|
mpteq2ia |
|- ( x e. A |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) = ( x e. A |-> B ) |
35 |
34 18
|
eqeltrid |
|- ( ph -> ( x e. A |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) e. MblFn ) |
36 |
21 23 29 32 35
|
mbfss |
|- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) e. MblFn ) |
37 |
28
|
adantr |
|- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( x e. A , B , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) ) |
38 |
37
|
fmpttd |
|- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) ) |
39 |
17
|
simprd |
|- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) e. RR ) |
40 |
|
elrege0 |
|- ( C e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( C e. RR /\ 0 <_ C ) ) |
41 |
6 8 40
|
sylanbrc |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. ( 0 [,) +oo ) ) |
42 |
41 27
|
ifclda |
|- ( ph -> if ( x e. A , C , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) ) |
43 |
42
|
adantr |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( x e. A , C , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) ) |
44 |
31
|
iffalsed |
|- ( ( ph /\ x e. ( RR \ A ) ) -> if ( x e. A , C , 0 ) = 0 ) |
45 |
|
iftrue |
|- ( x e. A -> if ( x e. A , C , 0 ) = C ) |
46 |
45
|
mpteq2ia |
|- ( x e. A |-> if ( x e. A , C , 0 ) ) = ( x e. A |-> C ) |
47 |
6 8
|
iblpos |
|- ( ph -> ( ( x e. A |-> C ) e. L^1 <-> ( ( x e. A |-> C ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , C , 0 ) ) ) e. RR ) ) ) |
48 |
4 47
|
mpbid |
|- ( ph -> ( ( x e. A |-> C ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , C , 0 ) ) ) e. RR ) ) |
49 |
48
|
simpld |
|- ( ph -> ( x e. A |-> C ) e. MblFn ) |
50 |
46 49
|
eqeltrid |
|- ( ph -> ( x e. A |-> if ( x e. A , C , 0 ) ) e. MblFn ) |
51 |
21 23 43 44 50
|
mbfss |
|- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , C , 0 ) ) e. MblFn ) |
52 |
42
|
adantr |
|- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( x e. A , C , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) ) |
53 |
52
|
fmpttd |
|- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , C , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) ) |
54 |
48
|
simprd |
|- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , C , 0 ) ) ) e. RR ) |
55 |
36 38 39 51 53 54
|
itg2add |
|- ( ph -> ( S.2 ` ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) oF + ( x e. RR |-> if ( x e. A , C , 0 ) ) ) ) = ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , C , 0 ) ) ) ) ) |
56 |
|
reex |
|- RR e. _V |
57 |
56
|
a1i |
|- ( ph -> RR e. _V ) |
58 |
|
eqidd |
|- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) |
59 |
|
eqidd |
|- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , C , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , C , 0 ) ) ) |
60 |
57 37 52 58 59
|
offval2 |
|- ( ph -> ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) oF + ( x e. RR |-> if ( x e. A , C , 0 ) ) ) = ( x e. RR |-> ( if ( x e. A , B , 0 ) + if ( x e. A , C , 0 ) ) ) ) |
61 |
33 45
|
oveq12d |
|- ( x e. A -> ( if ( x e. A , B , 0 ) + if ( x e. A , C , 0 ) ) = ( B + C ) ) |
62 |
|
iftrue |
|- ( x e. A -> if ( x e. A , ( B + C ) , 0 ) = ( B + C ) ) |
63 |
61 62
|
eqtr4d |
|- ( x e. A -> ( if ( x e. A , B , 0 ) + if ( x e. A , C , 0 ) ) = if ( x e. A , ( B + C ) , 0 ) ) |
64 |
|
iffalse |
|- ( -. x e. A -> if ( x e. A , B , 0 ) = 0 ) |
65 |
|
iffalse |
|- ( -. x e. A -> if ( x e. A , C , 0 ) = 0 ) |
66 |
64 65
|
oveq12d |
|- ( -. x e. A -> ( if ( x e. A , B , 0 ) + if ( x e. A , C , 0 ) ) = ( 0 + 0 ) ) |
67 |
|
00id |
|- ( 0 + 0 ) = 0 |
68 |
66 67
|
eqtrdi |
|- ( -. x e. A -> ( if ( x e. A , B , 0 ) + if ( x e. A , C , 0 ) ) = 0 ) |
69 |
|
iffalse |
|- ( -. x e. A -> if ( x e. A , ( B + C ) , 0 ) = 0 ) |
70 |
68 69
|
eqtr4d |
|- ( -. x e. A -> ( if ( x e. A , B , 0 ) + if ( x e. A , C , 0 ) ) = if ( x e. A , ( B + C ) , 0 ) ) |
71 |
63 70
|
pm2.61i |
|- ( if ( x e. A , B , 0 ) + if ( x e. A , C , 0 ) ) = if ( x e. A , ( B + C ) , 0 ) |
72 |
71
|
mpteq2i |
|- ( x e. RR |-> ( if ( x e. A , B , 0 ) + if ( x e. A , C , 0 ) ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( B + C ) , 0 ) ) |
73 |
60 72
|
eqtrdi |
|- ( ph -> ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) oF + ( x e. RR |-> if ( x e. A , C , 0 ) ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( B + C ) , 0 ) ) ) |
74 |
73
|
fveq2d |
|- ( ph -> ( S.2 ` ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) oF + ( x e. RR |-> if ( x e. A , C , 0 ) ) ) ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( B + C ) , 0 ) ) ) ) |
75 |
15 55 74
|
3eqtr2d |
|- ( ph -> ( S. A B _d x + S. A C _d x ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( B + C ) , 0 ) ) ) ) |
76 |
12 75
|
eqtr4d |
|- ( ph -> S. A ( B + C ) _d x = ( S. A B _d x + S. A C _d x ) ) |