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Theorem lautco

Description: The composition of two lattice automorphisms is a lattice automorphism. (Contributed by NM, 19-Apr-2013)

Ref Expression
Hypothesis lautco.i 
|- I = ( LAut ` K )
Assertion lautco 
|- ( ( K e. V /\ F e. I /\ G e. I ) -> ( F o. G ) e. I )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 lautco.i 
 |-  I = ( LAut ` K )
2 eqid 
 |-  ( Base ` K ) = ( Base ` K )
3 2 1 laut1o 
 |-  ( ( K e. V /\ F e. I ) -> F : ( Base ` K ) -1-1-onto-> ( Base ` K ) )
4 3 3adant3 
 |-  ( ( K e. V /\ F e. I /\ G e. I ) -> F : ( Base ` K ) -1-1-onto-> ( Base ` K ) )
5 2 1 laut1o 
 |-  ( ( K e. V /\ G e. I ) -> G : ( Base ` K ) -1-1-onto-> ( Base ` K ) )
6 5 3adant2 
 |-  ( ( K e. V /\ F e. I /\ G e. I ) -> G : ( Base ` K ) -1-1-onto-> ( Base ` K ) )
7 f1oco 
 |-  ( ( F : ( Base ` K ) -1-1-onto-> ( Base ` K ) /\ G : ( Base ` K ) -1-1-onto-> ( Base ` K ) ) -> ( F o. G ) : ( Base ` K ) -1-1-onto-> ( Base ` K ) )
8 4 6 7 syl2anc 
 |-  ( ( K e. V /\ F e. I /\ G e. I ) -> ( F o. G ) : ( Base ` K ) -1-1-onto-> ( Base ` K ) )
9 simpl1 
 |-  ( ( ( K e. V /\ F e. I /\ G e. I ) /\ ( x e. ( Base ` K ) /\ y e. ( Base ` K ) ) ) -> K e. V )
10 simpl2 
 |-  ( ( ( K e. V /\ F e. I /\ G e. I ) /\ ( x e. ( Base ` K ) /\ y e. ( Base ` K ) ) ) -> F e. I )
11 simpl3 
 |-  ( ( ( K e. V /\ F e. I /\ G e. I ) /\ ( x e. ( Base ` K ) /\ y e. ( Base ` K ) ) ) -> G e. I )
12 simprl 
 |-  ( ( ( K e. V /\ F e. I /\ G e. I ) /\ ( x e. ( Base ` K ) /\ y e. ( Base ` K ) ) ) -> x e. ( Base ` K ) )
13 2 1 lautcl 
 |-  ( ( ( K e. V /\ G e. I ) /\ x e. ( Base ` K ) ) -> ( G ` x ) e. ( Base ` K ) )
14 9 11 12 13 syl21anc 
 |-  ( ( ( K e. V /\ F e. I /\ G e. I ) /\ ( x e. ( Base ` K ) /\ y e. ( Base ` K ) ) ) -> ( G ` x ) e. ( Base ` K ) )
15 simprr 
 |-  ( ( ( K e. V /\ F e. I /\ G e. I ) /\ ( x e. ( Base ` K ) /\ y e. ( Base ` K ) ) ) -> y e. ( Base ` K ) )
16 2 1 lautcl 
 |-  ( ( ( K e. V /\ G e. I ) /\ y e. ( Base ` K ) ) -> ( G ` y ) e. ( Base ` K ) )
17 9 11 15 16 syl21anc 
 |-  ( ( ( K e. V /\ F e. I /\ G e. I ) /\ ( x e. ( Base ` K ) /\ y e. ( Base ` K ) ) ) -> ( G ` y ) e. ( Base ` K ) )
18 eqid 
 |-  ( le ` K ) = ( le ` K )
19 2 18 1 lautle 
 |-  ( ( ( K e. V /\ F e. I ) /\ ( ( G ` x ) e. ( Base ` K ) /\ ( G ` y ) e. ( Base ` K ) ) ) -> ( ( G ` x ) ( le ` K ) ( G ` y ) <-> ( F ` ( G ` x ) ) ( le ` K ) ( F ` ( G ` y ) ) ) )
20 9 10 14 17 19 syl22anc 
 |-  ( ( ( K e. V /\ F e. I /\ G e. I ) /\ ( x e. ( Base ` K ) /\ y e. ( Base ` K ) ) ) -> ( ( G ` x ) ( le ` K ) ( G ` y ) <-> ( F ` ( G ` x ) ) ( le ` K ) ( F ` ( G ` y ) ) ) )
21 2 18 1 lautle 
 |-  ( ( ( K e. V /\ G e. I ) /\ ( x e. ( Base ` K ) /\ y e. ( Base ` K ) ) ) -> ( x ( le ` K ) y <-> ( G ` x ) ( le ` K ) ( G ` y ) ) )
22 21 3adantl2 
 |-  ( ( ( K e. V /\ F e. I /\ G e. I ) /\ ( x e. ( Base ` K ) /\ y e. ( Base ` K ) ) ) -> ( x ( le ` K ) y <-> ( G ` x ) ( le ` K ) ( G ` y ) ) )
23 f1of 
 |-  ( G : ( Base ` K ) -1-1-onto-> ( Base ` K ) -> G : ( Base ` K ) --> ( Base ` K ) )
24 6 23 syl 
 |-  ( ( K e. V /\ F e. I /\ G e. I ) -> G : ( Base ` K ) --> ( Base ` K ) )
25 simpl 
 |-  ( ( x e. ( Base ` K ) /\ y e. ( Base ` K ) ) -> x e. ( Base ` K ) )
26 fvco3 
 |-  ( ( G : ( Base ` K ) --> ( Base ` K ) /\ x e. ( Base ` K ) ) -> ( ( F o. G ) ` x ) = ( F ` ( G ` x ) ) )
27 24 25 26 syl2an 
 |-  ( ( ( K e. V /\ F e. I /\ G e. I ) /\ ( x e. ( Base ` K ) /\ y e. ( Base ` K ) ) ) -> ( ( F o. G ) ` x ) = ( F ` ( G ` x ) ) )
28 simpr 
 |-  ( ( x e. ( Base ` K ) /\ y e. ( Base ` K ) ) -> y e. ( Base ` K ) )
29 fvco3 
 |-  ( ( G : ( Base ` K ) --> ( Base ` K ) /\ y e. ( Base ` K ) ) -> ( ( F o. G ) ` y ) = ( F ` ( G ` y ) ) )
30 24 28 29 syl2an 
 |-  ( ( ( K e. V /\ F e. I /\ G e. I ) /\ ( x e. ( Base ` K ) /\ y e. ( Base ` K ) ) ) -> ( ( F o. G ) ` y ) = ( F ` ( G ` y ) ) )
31 27 30 breq12d 
 |-  ( ( ( K e. V /\ F e. I /\ G e. I ) /\ ( x e. ( Base ` K ) /\ y e. ( Base ` K ) ) ) -> ( ( ( F o. G ) ` x ) ( le ` K ) ( ( F o. G ) ` y ) <-> ( F ` ( G ` x ) ) ( le ` K ) ( F ` ( G ` y ) ) ) )
32 20 22 31 3bitr4d 
 |-  ( ( ( K e. V /\ F e. I /\ G e. I ) /\ ( x e. ( Base ` K ) /\ y e. ( Base ` K ) ) ) -> ( x ( le ` K ) y <-> ( ( F o. G ) ` x ) ( le ` K ) ( ( F o. G ) ` y ) ) )
33 32 ralrimivva 
 |-  ( ( K e. V /\ F e. I /\ G e. I ) -> A. x e. ( Base ` K ) A. y e. ( Base ` K ) ( x ( le ` K ) y <-> ( ( F o. G ) ` x ) ( le ` K ) ( ( F o. G ) ` y ) ) )
34 2 18 1 islaut 
 |-  ( K e. V -> ( ( F o. G ) e. I <-> ( ( F o. G ) : ( Base ` K ) -1-1-onto-> ( Base ` K ) /\ A. x e. ( Base ` K ) A. y e. ( Base ` K ) ( x ( le ` K ) y <-> ( ( F o. G ) ` x ) ( le ` K ) ( ( F o. G ) ` y ) ) ) ) )
35 34 3ad2ant1 
 |-  ( ( K e. V /\ F e. I /\ G e. I ) -> ( ( F o. G ) e. I <-> ( ( F o. G ) : ( Base ` K ) -1-1-onto-> ( Base ` K ) /\ A. x e. ( Base ` K ) A. y e. ( Base ` K ) ( x ( le ` K ) y <-> ( ( F o. G ) ` x ) ( le ` K ) ( ( F o. G ) ` y ) ) ) ) )
36 8 33 35 mpbir2and 
 |-  ( ( K e. V /\ F e. I /\ G e. I ) -> ( F o. G ) e. I )