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Theorem pautsetN

Description: The set of projective automorphisms. (Contributed by NM, 26-Jan-2012) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypotheses pautset.s 
|- S = ( PSubSp ` K )
pautset.m 
|- M = ( PAut ` K )
Assertion pautsetN 
|- ( K e. B -> M = { f | ( f : S -1-1-onto-> S /\ A. x e. S A. y e. S ( x C_ y <-> ( f ` x ) C_ ( f ` y ) ) ) } )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 pautset.s 
 |-  S = ( PSubSp ` K )
2 pautset.m 
 |-  M = ( PAut ` K )
3 elex 
 |-  ( K e. B -> K e. _V )
4 fveq2 
 |-  ( k = K -> ( PSubSp ` k ) = ( PSubSp ` K ) )
5 4 1 eqtr4di 
 |-  ( k = K -> ( PSubSp ` k ) = S )
6 5 f1oeq2d 
 |-  ( k = K -> ( f : ( PSubSp ` k ) -1-1-onto-> ( PSubSp ` k ) <-> f : S -1-1-onto-> ( PSubSp ` k ) ) )
7 f1oeq3 
 |-  ( ( PSubSp ` k ) = S -> ( f : S -1-1-onto-> ( PSubSp ` k ) <-> f : S -1-1-onto-> S ) )
8 5 7 syl 
 |-  ( k = K -> ( f : S -1-1-onto-> ( PSubSp ` k ) <-> f : S -1-1-onto-> S ) )
9 6 8 bitrd 
 |-  ( k = K -> ( f : ( PSubSp ` k ) -1-1-onto-> ( PSubSp ` k ) <-> f : S -1-1-onto-> S ) )
10 5 raleqdv 
 |-  ( k = K -> ( A. y e. ( PSubSp ` k ) ( x C_ y <-> ( f ` x ) C_ ( f ` y ) ) <-> A. y e. S ( x C_ y <-> ( f ` x ) C_ ( f ` y ) ) ) )
11 5 10 raleqbidv 
 |-  ( k = K -> ( A. x e. ( PSubSp ` k ) A. y e. ( PSubSp ` k ) ( x C_ y <-> ( f ` x ) C_ ( f ` y ) ) <-> A. x e. S A. y e. S ( x C_ y <-> ( f ` x ) C_ ( f ` y ) ) ) )
12 9 11 anbi12d 
 |-  ( k = K -> ( ( f : ( PSubSp ` k ) -1-1-onto-> ( PSubSp ` k ) /\ A. x e. ( PSubSp ` k ) A. y e. ( PSubSp ` k ) ( x C_ y <-> ( f ` x ) C_ ( f ` y ) ) ) <-> ( f : S -1-1-onto-> S /\ A. x e. S A. y e. S ( x C_ y <-> ( f ` x ) C_ ( f ` y ) ) ) ) )
13 12 abbidv 
 |-  ( k = K -> { f | ( f : ( PSubSp ` k ) -1-1-onto-> ( PSubSp ` k ) /\ A. x e. ( PSubSp ` k ) A. y e. ( PSubSp ` k ) ( x C_ y <-> ( f ` x ) C_ ( f ` y ) ) ) } = { f | ( f : S -1-1-onto-> S /\ A. x e. S A. y e. S ( x C_ y <-> ( f ` x ) C_ ( f ` y ) ) ) } )
14 df-pautN 
 |-  PAut = ( k e. _V |-> { f | ( f : ( PSubSp ` k ) -1-1-onto-> ( PSubSp ` k ) /\ A. x e. ( PSubSp ` k ) A. y e. ( PSubSp ` k ) ( x C_ y <-> ( f ` x ) C_ ( f ` y ) ) ) } )
15 1 fvexi 
 |-  S e. _V
16 15 15 mapval 
 |-  ( S ^m S ) = { f | f : S --> S }
17 ovex 
 |-  ( S ^m S ) e. _V
18 16 17 eqeltrri 
 |-  { f | f : S --> S } e. _V
19 f1of 
 |-  ( f : S -1-1-onto-> S -> f : S --> S )
20 19 ss2abi 
 |-  { f | f : S -1-1-onto-> S } C_ { f | f : S --> S }
21 18 20 ssexi 
 |-  { f | f : S -1-1-onto-> S } e. _V
22 simpl 
 |-  ( ( f : S -1-1-onto-> S /\ A. x e. S A. y e. S ( x C_ y <-> ( f ` x ) C_ ( f ` y ) ) ) -> f : S -1-1-onto-> S )
23 22 ss2abi 
 |-  { f | ( f : S -1-1-onto-> S /\ A. x e. S A. y e. S ( x C_ y <-> ( f ` x ) C_ ( f ` y ) ) ) } C_ { f | f : S -1-1-onto-> S }
24 21 23 ssexi 
 |-  { f | ( f : S -1-1-onto-> S /\ A. x e. S A. y e. S ( x C_ y <-> ( f ` x ) C_ ( f ` y ) ) ) } e. _V
25 13 14 24 fvmpt 
 |-  ( K e. _V -> ( PAut ` K ) = { f | ( f : S -1-1-onto-> S /\ A. x e. S A. y e. S ( x C_ y <-> ( f ` x ) C_ ( f ` y ) ) ) } )
26 2 25 syl5eq 
 |-  ( K e. _V -> M = { f | ( f : S -1-1-onto-> S /\ A. x e. S A. y e. S ( x C_ y <-> ( f ` x ) C_ ( f ` y ) ) ) } )
27 3 26 syl 
 |-  ( K e. B -> M = { f | ( f : S -1-1-onto-> S /\ A. x e. S A. y e. S ( x C_ y <-> ( f ` x ) C_ ( f ` y ) ) ) } )