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Theorem lcfrlem19

Description: Lemma for lcfr . (Contributed by NM, 11-Mar-2015)

Ref Expression
Hypotheses lcfrlem17.h 
|- H = ( LHyp ` K )
lcfrlem17.o 
|- ._|_ = ( ( ocH ` K ) ` W )
lcfrlem17.u 
|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
lcfrlem17.v 
|- V = ( Base ` U )
lcfrlem17.p 
|- .+ = ( +g ` U )
lcfrlem17.z 
|- .0. = ( 0g ` U )
lcfrlem17.n 
|- N = ( LSpan ` U )
lcfrlem17.a 
|- A = ( LSAtoms ` U )
lcfrlem17.k 
|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
lcfrlem17.x 
|- ( ph -> X e. ( V \ { .0. } ) )
lcfrlem17.y 
|- ( ph -> Y e. ( V \ { .0. } ) )
lcfrlem17.ne 
|- ( ph -> ( N ` { X } ) =/= ( N ` { Y } ) )
Assertion lcfrlem19 
|- ( ph -> ( -. X e. ( ._|_ ` { ( X .+ Y ) } ) \/ -. Y e. ( ._|_ ` { ( X .+ Y ) } ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 lcfrlem17.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
2 lcfrlem17.o 
 |-  ._|_ = ( ( ocH ` K ) ` W )
3 lcfrlem17.u 
 |-  U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
4 lcfrlem17.v 
 |-  V = ( Base ` U )
5 lcfrlem17.p 
 |-  .+ = ( +g ` U )
6 lcfrlem17.z 
 |-  .0. = ( 0g ` U )
7 lcfrlem17.n 
 |-  N = ( LSpan ` U )
8 lcfrlem17.a 
 |-  A = ( LSAtoms ` U )
9 lcfrlem17.k 
 |-  ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
10 lcfrlem17.x 
 |-  ( ph -> X e. ( V \ { .0. } ) )
11 lcfrlem17.y 
 |-  ( ph -> Y e. ( V \ { .0. } ) )
12 lcfrlem17.ne 
 |-  ( ph -> ( N ` { X } ) =/= ( N ` { Y } ) )
13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 lcfrlem17 
 |-  ( ph -> ( X .+ Y ) e. ( V \ { .0. } ) )
14 1 2 3 4 6 9 13 dochnel 
 |-  ( ph -> -. ( X .+ Y ) e. ( ._|_ ` { ( X .+ Y ) } ) )
15 1 3 9 dvhlmod 
 |-  ( ph -> U e. LMod )
16 15 adantr 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. ( ._|_ ` { ( X .+ Y ) } ) /\ Y e. ( ._|_ ` { ( X .+ Y ) } ) ) ) -> U e. LMod )
17 10 eldifad 
 |-  ( ph -> X e. V )
18 11 eldifad 
 |-  ( ph -> Y e. V )
19 4 5 lmodvacl 
 |-  ( ( U e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( X .+ Y ) e. V )
20 15 17 18 19 syl3anc 
 |-  ( ph -> ( X .+ Y ) e. V )
21 20 snssd 
 |-  ( ph -> { ( X .+ Y ) } C_ V )
22 eqid 
 |-  ( LSubSp ` U ) = ( LSubSp ` U )
23 1 3 4 22 2 dochlss 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ { ( X .+ Y ) } C_ V ) -> ( ._|_ ` { ( X .+ Y ) } ) e. ( LSubSp ` U ) )
24 9 21 23 syl2anc 
 |-  ( ph -> ( ._|_ ` { ( X .+ Y ) } ) e. ( LSubSp ` U ) )
25 24 adantr 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. ( ._|_ ` { ( X .+ Y ) } ) /\ Y e. ( ._|_ ` { ( X .+ Y ) } ) ) ) -> ( ._|_ ` { ( X .+ Y ) } ) e. ( LSubSp ` U ) )
26 simpr 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. ( ._|_ ` { ( X .+ Y ) } ) /\ Y e. ( ._|_ ` { ( X .+ Y ) } ) ) ) -> ( X e. ( ._|_ ` { ( X .+ Y ) } ) /\ Y e. ( ._|_ ` { ( X .+ Y ) } ) ) )
27 5 22 lssvacl 
 |-  ( ( ( U e. LMod /\ ( ._|_ ` { ( X .+ Y ) } ) e. ( LSubSp ` U ) ) /\ ( X e. ( ._|_ ` { ( X .+ Y ) } ) /\ Y e. ( ._|_ ` { ( X .+ Y ) } ) ) ) -> ( X .+ Y ) e. ( ._|_ ` { ( X .+ Y ) } ) )
28 16 25 26 27 syl21anc 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. ( ._|_ ` { ( X .+ Y ) } ) /\ Y e. ( ._|_ ` { ( X .+ Y ) } ) ) ) -> ( X .+ Y ) e. ( ._|_ ` { ( X .+ Y ) } ) )
29 14 28 mtand 
 |-  ( ph -> -. ( X e. ( ._|_ ` { ( X .+ Y ) } ) /\ Y e. ( ._|_ ` { ( X .+ Y ) } ) ) )
30 ianor 
 |-  ( -. ( X e. ( ._|_ ` { ( X .+ Y ) } ) /\ Y e. ( ._|_ ` { ( X .+ Y ) } ) ) <-> ( -. X e. ( ._|_ ` { ( X .+ Y ) } ) \/ -. Y e. ( ._|_ ` { ( X .+ Y ) } ) ) )
31 29 30 sylib 
 |-  ( ph -> ( -. X e. ( ._|_ ` { ( X .+ Y ) } ) \/ -. Y e. ( ._|_ ` { ( X .+ Y ) } ) ) )