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Theorem lhpmcvr4N

Description: Specialization of lhpmcvr2 . (Contributed by NM, 6-Apr-2014) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypotheses lhpmcvr2.b 
|- B = ( Base ` K )
lhpmcvr2.l 
|- .<_ = ( le ` K )
lhpmcvr2.j 
|- .\/ = ( join ` K )
lhpmcvr2.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
lhpmcvr2.a 
|- A = ( Atoms ` K )
lhpmcvr2.h 
|- H = ( LHyp ` K )
Assertion lhpmcvr4N 
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( Y e. B /\ ( X ./\ Y ) .<_ W /\ P .<_ X ) ) -> -. P .<_ Y )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 lhpmcvr2.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 lhpmcvr2.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 lhpmcvr2.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
4 lhpmcvr2.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
5 lhpmcvr2.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
6 lhpmcvr2.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
7 simp2rr 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( Y e. B /\ ( X ./\ Y ) .<_ W /\ P .<_ X ) ) -> -. P .<_ W )
8 simp33 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( Y e. B /\ ( X ./\ Y ) .<_ W /\ P .<_ X ) ) -> P .<_ X )
9 simp1l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( Y e. B /\ ( X ./\ Y ) .<_ W /\ P .<_ X ) ) -> K e. HL )
10 9 hllatd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( Y e. B /\ ( X ./\ Y ) .<_ W /\ P .<_ X ) ) -> K e. Lat )
11 simp2rl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( Y e. B /\ ( X ./\ Y ) .<_ W /\ P .<_ X ) ) -> P e. A )
12 1 5 atbase 
 |-  ( P e. A -> P e. B )
13 11 12 syl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( Y e. B /\ ( X ./\ Y ) .<_ W /\ P .<_ X ) ) -> P e. B )
14 simp2ll 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( Y e. B /\ ( X ./\ Y ) .<_ W /\ P .<_ X ) ) -> X e. B )
15 simp31 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( Y e. B /\ ( X ./\ Y ) .<_ W /\ P .<_ X ) ) -> Y e. B )
16 1 2 4 latlem12 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( P e. B /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( P .<_ X /\ P .<_ Y ) <-> P .<_ ( X ./\ Y ) ) )
17 10 13 14 15 16 syl13anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( Y e. B /\ ( X ./\ Y ) .<_ W /\ P .<_ X ) ) -> ( ( P .<_ X /\ P .<_ Y ) <-> P .<_ ( X ./\ Y ) ) )
18 17 biimpd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( Y e. B /\ ( X ./\ Y ) .<_ W /\ P .<_ X ) ) -> ( ( P .<_ X /\ P .<_ Y ) -> P .<_ ( X ./\ Y ) ) )
19 8 18 mpand 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( Y e. B /\ ( X ./\ Y ) .<_ W /\ P .<_ X ) ) -> ( P .<_ Y -> P .<_ ( X ./\ Y ) ) )
20 simp32 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( Y e. B /\ ( X ./\ Y ) .<_ W /\ P .<_ X ) ) -> ( X ./\ Y ) .<_ W )
21 1 4 latmcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X ./\ Y ) e. B )
22 10 14 15 21 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( Y e. B /\ ( X ./\ Y ) .<_ W /\ P .<_ X ) ) -> ( X ./\ Y ) e. B )
23 simp1r 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( Y e. B /\ ( X ./\ Y ) .<_ W /\ P .<_ X ) ) -> W e. H )
24 1 6 lhpbase 
 |-  ( W e. H -> W e. B )
25 23 24 syl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( Y e. B /\ ( X ./\ Y ) .<_ W /\ P .<_ X ) ) -> W e. B )
26 1 2 lattr 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( P e. B /\ ( X ./\ Y ) e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( P .<_ ( X ./\ Y ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) -> P .<_ W ) )
27 10 13 22 25 26 syl13anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( Y e. B /\ ( X ./\ Y ) .<_ W /\ P .<_ X ) ) -> ( ( P .<_ ( X ./\ Y ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) -> P .<_ W ) )
28 20 27 mpan2d 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( Y e. B /\ ( X ./\ Y ) .<_ W /\ P .<_ X ) ) -> ( P .<_ ( X ./\ Y ) -> P .<_ W ) )
29 19 28 syld 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( Y e. B /\ ( X ./\ Y ) .<_ W /\ P .<_ X ) ) -> ( P .<_ Y -> P .<_ W ) )
30 7 29 mtod 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( Y e. B /\ ( X ./\ Y ) .<_ W /\ P .<_ X ) ) -> -. P .<_ Y )