Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
lhpmcvr2.b |
|- B = ( Base ` K ) |
2 |
|
lhpmcvr2.l |
|- .<_ = ( le ` K ) |
3 |
|
lhpmcvr2.j |
|- .\/ = ( join ` K ) |
4 |
|
lhpmcvr2.m |
|- ./\ = ( meet ` K ) |
5 |
|
lhpmcvr2.a |
|- A = ( Atoms ` K ) |
6 |
|
lhpmcvr2.h |
|- H = ( LHyp ` K ) |
7 |
1 2 3 4 5 6
|
lhpmcvr2 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) ) -> E. p e. A ( -. p .<_ W /\ ( p .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) |
8 |
7
|
3adant3 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) -> E. p e. A ( -. p .<_ W /\ ( p .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) |
9 |
|
simp3l |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) /\ p e. A /\ ( -. p .<_ W /\ ( p .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> -. p .<_ W ) |
10 |
|
simp11 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) /\ p e. A /\ ( -. p .<_ W /\ ( p .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) ) |
11 |
|
simp12 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) /\ p e. A /\ ( -. p .<_ W /\ ( p .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> ( X e. B /\ -. X .<_ W ) ) |
12 |
|
simp2 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) /\ p e. A /\ ( -. p .<_ W /\ ( p .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> p e. A ) |
13 |
12 9
|
jca |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) /\ p e. A /\ ( -. p .<_ W /\ ( p .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> ( p e. A /\ -. p .<_ W ) ) |
14 |
|
simp13l |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) /\ p e. A /\ ( -. p .<_ W /\ ( p .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> Y e. B ) |
15 |
|
simp13r |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) /\ p e. A /\ ( -. p .<_ W /\ ( p .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> ( X ./\ Y ) .<_ W ) |
16 |
|
simp11l |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) /\ p e. A /\ ( -. p .<_ W /\ ( p .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> K e. HL ) |
17 |
16
|
hllatd |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) /\ p e. A /\ ( -. p .<_ W /\ ( p .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> K e. Lat ) |
18 |
1 5
|
atbase |
|- ( p e. A -> p e. B ) |
19 |
18
|
3ad2ant2 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) /\ p e. A /\ ( -. p .<_ W /\ ( p .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> p e. B ) |
20 |
|
simp12l |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) /\ p e. A /\ ( -. p .<_ W /\ ( p .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> X e. B ) |
21 |
|
simp11r |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) /\ p e. A /\ ( -. p .<_ W /\ ( p .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> W e. H ) |
22 |
1 6
|
lhpbase |
|- ( W e. H -> W e. B ) |
23 |
21 22
|
syl |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) /\ p e. A /\ ( -. p .<_ W /\ ( p .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> W e. B ) |
24 |
1 4
|
latmcl |
|- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ W e. B ) -> ( X ./\ W ) e. B ) |
25 |
17 20 23 24
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) /\ p e. A /\ ( -. p .<_ W /\ ( p .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> ( X ./\ W ) e. B ) |
26 |
1 2 3
|
latlej1 |
|- ( ( K e. Lat /\ p e. B /\ ( X ./\ W ) e. B ) -> p .<_ ( p .\/ ( X ./\ W ) ) ) |
27 |
17 19 25 26
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) /\ p e. A /\ ( -. p .<_ W /\ ( p .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> p .<_ ( p .\/ ( X ./\ W ) ) ) |
28 |
|
simp3r |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) /\ p e. A /\ ( -. p .<_ W /\ ( p .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> ( p .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) |
29 |
27 28
|
breqtrd |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) /\ p e. A /\ ( -. p .<_ W /\ ( p .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> p .<_ X ) |
30 |
1 2 3 4 5 6
|
lhpmcvr4N |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( p e. A /\ -. p .<_ W ) ) /\ ( Y e. B /\ ( X ./\ Y ) .<_ W /\ p .<_ X ) ) -> -. p .<_ Y ) |
31 |
10 11 13 14 15 29 30
|
syl123anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) /\ p e. A /\ ( -. p .<_ W /\ ( p .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> -. p .<_ Y ) |
32 |
9 31 28
|
3jca |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) /\ p e. A /\ ( -. p .<_ W /\ ( p .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> ( -. p .<_ W /\ -. p .<_ Y /\ ( p .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) |
33 |
32
|
3expia |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) /\ p e. A ) -> ( ( -. p .<_ W /\ ( p .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) -> ( -. p .<_ W /\ -. p .<_ Y /\ ( p .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) ) |
34 |
33
|
reximdva |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) -> ( E. p e. A ( -. p .<_ W /\ ( p .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) -> E. p e. A ( -. p .<_ W /\ -. p .<_ Y /\ ( p .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) ) |
35 |
8 34
|
mpd |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) -> E. p e. A ( -. p .<_ W /\ -. p .<_ Y /\ ( p .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) |