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Theorem lhpmcvr6N

Description: Specialization of lhpmcvr2 . (Contributed by NM, 6-Apr-2014) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypotheses lhpmcvr2.b 
|- B = ( Base ` K )
lhpmcvr2.l 
|- .<_ = ( le ` K )
lhpmcvr2.j 
|- .\/ = ( join ` K )
lhpmcvr2.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
lhpmcvr2.a 
|- A = ( Atoms ` K )
lhpmcvr2.h 
|- H = ( LHyp ` K )
Assertion lhpmcvr6N 
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) -> E. p e. A ( -. p .<_ W /\ -. p .<_ Y /\ p .<_ X ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 lhpmcvr2.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 lhpmcvr2.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 lhpmcvr2.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
4 lhpmcvr2.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
5 lhpmcvr2.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
6 lhpmcvr2.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
7 1 2 3 4 5 6 lhpmcvr5N 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) -> E. p e. A ( -. p .<_ W /\ -. p .<_ Y /\ ( p .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) )
8 simp31 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) /\ p e. A /\ ( -. p .<_ W /\ -. p .<_ Y /\ ( p .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> -. p .<_ W )
9 simp32 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) /\ p e. A /\ ( -. p .<_ W /\ -. p .<_ Y /\ ( p .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> -. p .<_ Y )
10 simp11l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) /\ p e. A /\ ( -. p .<_ W /\ -. p .<_ Y /\ ( p .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> K e. HL )
11 10 hllatd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) /\ p e. A /\ ( -. p .<_ W /\ -. p .<_ Y /\ ( p .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> K e. Lat )
12 1 5 atbase 
 |-  ( p e. A -> p e. B )
13 12 3ad2ant2 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) /\ p e. A /\ ( -. p .<_ W /\ -. p .<_ Y /\ ( p .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> p e. B )
14 simp12l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) /\ p e. A /\ ( -. p .<_ W /\ -. p .<_ Y /\ ( p .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> X e. B )
15 simp11r 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) /\ p e. A /\ ( -. p .<_ W /\ -. p .<_ Y /\ ( p .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> W e. H )
16 1 6 lhpbase 
 |-  ( W e. H -> W e. B )
17 15 16 syl 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) /\ p e. A /\ ( -. p .<_ W /\ -. p .<_ Y /\ ( p .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> W e. B )
18 1 4 latmcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ W e. B ) -> ( X ./\ W ) e. B )
19 11 14 17 18 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) /\ p e. A /\ ( -. p .<_ W /\ -. p .<_ Y /\ ( p .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> ( X ./\ W ) e. B )
20 1 2 3 latlej1 
 |-  ( ( K e. Lat /\ p e. B /\ ( X ./\ W ) e. B ) -> p .<_ ( p .\/ ( X ./\ W ) ) )
21 11 13 19 20 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) /\ p e. A /\ ( -. p .<_ W /\ -. p .<_ Y /\ ( p .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> p .<_ ( p .\/ ( X ./\ W ) ) )
22 simp33 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) /\ p e. A /\ ( -. p .<_ W /\ -. p .<_ Y /\ ( p .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> ( p .\/ ( X ./\ W ) ) = X )
23 21 22 breqtrd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) /\ p e. A /\ ( -. p .<_ W /\ -. p .<_ Y /\ ( p .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> p .<_ X )
24 8 9 23 3jca 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) /\ p e. A /\ ( -. p .<_ W /\ -. p .<_ Y /\ ( p .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> ( -. p .<_ W /\ -. p .<_ Y /\ p .<_ X ) )
25 24 3expia 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) /\ p e. A ) -> ( ( -. p .<_ W /\ -. p .<_ Y /\ ( p .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) -> ( -. p .<_ W /\ -. p .<_ Y /\ p .<_ X ) ) )
26 25 reximdva 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) -> ( E. p e. A ( -. p .<_ W /\ -. p .<_ Y /\ ( p .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) -> E. p e. A ( -. p .<_ W /\ -. p .<_ Y /\ p .<_ X ) ) )
27 7 26 mpd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) -> E. p e. A ( -. p .<_ W /\ -. p .<_ Y /\ p .<_ X ) )