Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
lspss.v |
|- V = ( Base ` W ) |
2 |
|
lspss.n |
|- N = ( LSpan ` W ) |
3 |
|
simp1 |
|- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> W e. LMod ) |
4 |
|
simp2 |
|- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> T C_ V ) |
5 |
|
simp3 |
|- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> U C_ V ) |
6 |
4 5
|
unssd |
|- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> ( T u. U ) C_ V ) |
7 |
|
ssun1 |
|- T C_ ( T u. U ) |
8 |
7
|
a1i |
|- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> T C_ ( T u. U ) ) |
9 |
1 2
|
lspss |
|- ( ( W e. LMod /\ ( T u. U ) C_ V /\ T C_ ( T u. U ) ) -> ( N ` T ) C_ ( N ` ( T u. U ) ) ) |
10 |
3 6 8 9
|
syl3anc |
|- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> ( N ` T ) C_ ( N ` ( T u. U ) ) ) |
11 |
|
ssun2 |
|- U C_ ( T u. U ) |
12 |
11
|
a1i |
|- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> U C_ ( T u. U ) ) |
13 |
1 2
|
lspss |
|- ( ( W e. LMod /\ ( T u. U ) C_ V /\ U C_ ( T u. U ) ) -> ( N ` U ) C_ ( N ` ( T u. U ) ) ) |
14 |
3 6 12 13
|
syl3anc |
|- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> ( N ` U ) C_ ( N ` ( T u. U ) ) ) |
15 |
10 14
|
unssd |
|- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> ( ( N ` T ) u. ( N ` U ) ) C_ ( N ` ( T u. U ) ) ) |
16 |
1 2
|
lspssv |
|- ( ( W e. LMod /\ ( T u. U ) C_ V ) -> ( N ` ( T u. U ) ) C_ V ) |
17 |
3 6 16
|
syl2anc |
|- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> ( N ` ( T u. U ) ) C_ V ) |
18 |
15 17
|
sstrd |
|- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> ( ( N ` T ) u. ( N ` U ) ) C_ V ) |
19 |
1 2
|
lspssid |
|- ( ( W e. LMod /\ T C_ V ) -> T C_ ( N ` T ) ) |
20 |
3 4 19
|
syl2anc |
|- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> T C_ ( N ` T ) ) |
21 |
1 2
|
lspssid |
|- ( ( W e. LMod /\ U C_ V ) -> U C_ ( N ` U ) ) |
22 |
|
unss12 |
|- ( ( T C_ ( N ` T ) /\ U C_ ( N ` U ) ) -> ( T u. U ) C_ ( ( N ` T ) u. ( N ` U ) ) ) |
23 |
20 21 22
|
3imp3i2an |
|- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> ( T u. U ) C_ ( ( N ` T ) u. ( N ` U ) ) ) |
24 |
1 2
|
lspss |
|- ( ( W e. LMod /\ ( ( N ` T ) u. ( N ` U ) ) C_ V /\ ( T u. U ) C_ ( ( N ` T ) u. ( N ` U ) ) ) -> ( N ` ( T u. U ) ) C_ ( N ` ( ( N ` T ) u. ( N ` U ) ) ) ) |
25 |
3 18 23 24
|
syl3anc |
|- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> ( N ` ( T u. U ) ) C_ ( N ` ( ( N ` T ) u. ( N ` U ) ) ) ) |
26 |
1 2
|
lspss |
|- ( ( W e. LMod /\ ( N ` ( T u. U ) ) C_ V /\ ( ( N ` T ) u. ( N ` U ) ) C_ ( N ` ( T u. U ) ) ) -> ( N ` ( ( N ` T ) u. ( N ` U ) ) ) C_ ( N ` ( N ` ( T u. U ) ) ) ) |
27 |
3 17 15 26
|
syl3anc |
|- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> ( N ` ( ( N ` T ) u. ( N ` U ) ) ) C_ ( N ` ( N ` ( T u. U ) ) ) ) |
28 |
1 2
|
lspidm |
|- ( ( W e. LMod /\ ( T u. U ) C_ V ) -> ( N ` ( N ` ( T u. U ) ) ) = ( N ` ( T u. U ) ) ) |
29 |
3 6 28
|
syl2anc |
|- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> ( N ` ( N ` ( T u. U ) ) ) = ( N ` ( T u. U ) ) ) |
30 |
27 29
|
sseqtrd |
|- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> ( N ` ( ( N ` T ) u. ( N ` U ) ) ) C_ ( N ` ( T u. U ) ) ) |
31 |
25 30
|
eqssd |
|- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> ( N ` ( T u. U ) ) = ( N ` ( ( N ` T ) u. ( N ` U ) ) ) ) |