Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
mgcoval.1 |
|- A = ( Base ` V ) |
2 |
|
mgcoval.2 |
|- B = ( Base ` W ) |
3 |
|
mgcoval.3 |
|- .<_ = ( le ` V ) |
4 |
|
mgcoval.4 |
|- .c_ = ( le ` W ) |
5 |
|
mgcval.1 |
|- H = ( V MGalConn W ) |
6 |
|
mgcval.2 |
|- ( ph -> V e. Proset ) |
7 |
|
mgcval.3 |
|- ( ph -> W e. Proset ) |
8 |
|
mgccole.1 |
|- ( ph -> F H G ) |
9 |
|
mgcmntco.1 |
|- C = ( Base ` X ) |
10 |
|
mgcmntco.2 |
|- .< = ( le ` X ) |
11 |
|
mgcmntco.3 |
|- ( ph -> X e. Proset ) |
12 |
|
mgcmntco.4 |
|- ( ph -> K e. ( V Monot X ) ) |
13 |
|
mgcmntco.5 |
|- ( ph -> L e. ( W Monot X ) ) |
14 |
11
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ A. x e. A ( K ` x ) .< ( L ` ( F ` x ) ) ) /\ y e. B ) -> X e. Proset ) |
15 |
1 9
|
mntf |
|- ( ( V e. Proset /\ X e. Proset /\ K e. ( V Monot X ) ) -> K : A --> C ) |
16 |
6 11 12 15
|
syl3anc |
|- ( ph -> K : A --> C ) |
17 |
16
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ A. x e. A ( K ` x ) .< ( L ` ( F ` x ) ) ) /\ y e. B ) -> K : A --> C ) |
18 |
1 2 3 4 5 6 7 8
|
mgcf2 |
|- ( ph -> G : B --> A ) |
19 |
18
|
adantr |
|- ( ( ph /\ A. x e. A ( K ` x ) .< ( L ` ( F ` x ) ) ) -> G : B --> A ) |
20 |
19
|
ffvelrnda |
|- ( ( ( ph /\ A. x e. A ( K ` x ) .< ( L ` ( F ` x ) ) ) /\ y e. B ) -> ( G ` y ) e. A ) |
21 |
17 20
|
ffvelrnd |
|- ( ( ( ph /\ A. x e. A ( K ` x ) .< ( L ` ( F ` x ) ) ) /\ y e. B ) -> ( K ` ( G ` y ) ) e. C ) |
22 |
2 9
|
mntf |
|- ( ( W e. Proset /\ X e. Proset /\ L e. ( W Monot X ) ) -> L : B --> C ) |
23 |
7 11 13 22
|
syl3anc |
|- ( ph -> L : B --> C ) |
24 |
23
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ A. x e. A ( K ` x ) .< ( L ` ( F ` x ) ) ) /\ y e. B ) -> L : B --> C ) |
25 |
1 2 3 4 5 6 7 8
|
mgcf1 |
|- ( ph -> F : A --> B ) |
26 |
25
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ A. x e. A ( K ` x ) .< ( L ` ( F ` x ) ) ) /\ y e. B ) -> F : A --> B ) |
27 |
26 20
|
ffvelrnd |
|- ( ( ( ph /\ A. x e. A ( K ` x ) .< ( L ` ( F ` x ) ) ) /\ y e. B ) -> ( F ` ( G ` y ) ) e. B ) |
28 |
24 27
|
ffvelrnd |
|- ( ( ( ph /\ A. x e. A ( K ` x ) .< ( L ` ( F ` x ) ) ) /\ y e. B ) -> ( L ` ( F ` ( G ` y ) ) ) e. C ) |
29 |
23
|
adantr |
|- ( ( ph /\ A. x e. A ( K ` x ) .< ( L ` ( F ` x ) ) ) -> L : B --> C ) |
30 |
29
|
ffvelrnda |
|- ( ( ( ph /\ A. x e. A ( K ` x ) .< ( L ` ( F ` x ) ) ) /\ y e. B ) -> ( L ` y ) e. C ) |
31 |
18
|
ffvelrnda |
|- ( ( ph /\ y e. B ) -> ( G ` y ) e. A ) |
32 |
|
fveq2 |
|- ( x = ( G ` y ) -> ( K ` x ) = ( K ` ( G ` y ) ) ) |
33 |
|
2fveq3 |
|- ( x = ( G ` y ) -> ( L ` ( F ` x ) ) = ( L ` ( F ` ( G ` y ) ) ) ) |
34 |
32 33
|
breq12d |
|- ( x = ( G ` y ) -> ( ( K ` x ) .< ( L ` ( F ` x ) ) <-> ( K ` ( G ` y ) ) .< ( L ` ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) |
35 |
34
|
adantl |
|- ( ( ( ph /\ y e. B ) /\ x = ( G ` y ) ) -> ( ( K ` x ) .< ( L ` ( F ` x ) ) <-> ( K ` ( G ` y ) ) .< ( L ` ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) |
36 |
31 35
|
rspcdv |
|- ( ( ph /\ y e. B ) -> ( A. x e. A ( K ` x ) .< ( L ` ( F ` x ) ) -> ( K ` ( G ` y ) ) .< ( L ` ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) |
37 |
36
|
imp |
|- ( ( ( ph /\ y e. B ) /\ A. x e. A ( K ` x ) .< ( L ` ( F ` x ) ) ) -> ( K ` ( G ` y ) ) .< ( L ` ( F ` ( G ` y ) ) ) ) |
38 |
37
|
an32s |
|- ( ( ( ph /\ A. x e. A ( K ` x ) .< ( L ` ( F ` x ) ) ) /\ y e. B ) -> ( K ` ( G ` y ) ) .< ( L ` ( F ` ( G ` y ) ) ) ) |
39 |
7
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ A. x e. A ( K ` x ) .< ( L ` ( F ` x ) ) ) /\ y e. B ) -> W e. Proset ) |
40 |
13
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ A. x e. A ( K ` x ) .< ( L ` ( F ` x ) ) ) /\ y e. B ) -> L e. ( W Monot X ) ) |
41 |
|
simpr |
|- ( ( ( ph /\ A. x e. A ( K ` x ) .< ( L ` ( F ` x ) ) ) /\ y e. B ) -> y e. B ) |
42 |
6
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ A. x e. A ( K ` x ) .< ( L ` ( F ` x ) ) ) /\ y e. B ) -> V e. Proset ) |
43 |
8
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ A. x e. A ( K ` x ) .< ( L ` ( F ` x ) ) ) /\ y e. B ) -> F H G ) |
44 |
1 2 3 4 5 42 39 43 41
|
mgccole2 |
|- ( ( ( ph /\ A. x e. A ( K ` x ) .< ( L ` ( F ` x ) ) ) /\ y e. B ) -> ( F ` ( G ` y ) ) .c_ y ) |
45 |
2 9 4 10 39 14 40 27 41 44
|
ismntd |
|- ( ( ( ph /\ A. x e. A ( K ` x ) .< ( L ` ( F ` x ) ) ) /\ y e. B ) -> ( L ` ( F ` ( G ` y ) ) ) .< ( L ` y ) ) |
46 |
9 10
|
prstr |
|- ( ( X e. Proset /\ ( ( K ` ( G ` y ) ) e. C /\ ( L ` ( F ` ( G ` y ) ) ) e. C /\ ( L ` y ) e. C ) /\ ( ( K ` ( G ` y ) ) .< ( L ` ( F ` ( G ` y ) ) ) /\ ( L ` ( F ` ( G ` y ) ) ) .< ( L ` y ) ) ) -> ( K ` ( G ` y ) ) .< ( L ` y ) ) |
47 |
14 21 28 30 38 45 46
|
syl132anc |
|- ( ( ( ph /\ A. x e. A ( K ` x ) .< ( L ` ( F ` x ) ) ) /\ y e. B ) -> ( K ` ( G ` y ) ) .< ( L ` y ) ) |
48 |
47
|
ralrimiva |
|- ( ( ph /\ A. x e. A ( K ` x ) .< ( L ` ( F ` x ) ) ) -> A. y e. B ( K ` ( G ` y ) ) .< ( L ` y ) ) |
49 |
11
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ A. y e. B ( K ` ( G ` y ) ) .< ( L ` y ) ) /\ x e. A ) -> X e. Proset ) |
50 |
16
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ A. y e. B ( K ` ( G ` y ) ) .< ( L ` y ) ) /\ x e. A ) -> K : A --> C ) |
51 |
|
simpr |
|- ( ( ( ph /\ A. y e. B ( K ` ( G ` y ) ) .< ( L ` y ) ) /\ x e. A ) -> x e. A ) |
52 |
50 51
|
ffvelrnd |
|- ( ( ( ph /\ A. y e. B ( K ` ( G ` y ) ) .< ( L ` y ) ) /\ x e. A ) -> ( K ` x ) e. C ) |
53 |
18
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ A. y e. B ( K ` ( G ` y ) ) .< ( L ` y ) ) /\ x e. A ) -> G : B --> A ) |
54 |
25
|
adantr |
|- ( ( ph /\ A. y e. B ( K ` ( G ` y ) ) .< ( L ` y ) ) -> F : A --> B ) |
55 |
54
|
ffvelrnda |
|- ( ( ( ph /\ A. y e. B ( K ` ( G ` y ) ) .< ( L ` y ) ) /\ x e. A ) -> ( F ` x ) e. B ) |
56 |
53 55
|
ffvelrnd |
|- ( ( ( ph /\ A. y e. B ( K ` ( G ` y ) ) .< ( L ` y ) ) /\ x e. A ) -> ( G ` ( F ` x ) ) e. A ) |
57 |
50 56
|
ffvelrnd |
|- ( ( ( ph /\ A. y e. B ( K ` ( G ` y ) ) .< ( L ` y ) ) /\ x e. A ) -> ( K ` ( G ` ( F ` x ) ) ) e. C ) |
58 |
23
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ A. y e. B ( K ` ( G ` y ) ) .< ( L ` y ) ) /\ x e. A ) -> L : B --> C ) |
59 |
58 55
|
ffvelrnd |
|- ( ( ( ph /\ A. y e. B ( K ` ( G ` y ) ) .< ( L ` y ) ) /\ x e. A ) -> ( L ` ( F ` x ) ) e. C ) |
60 |
6
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ A. y e. B ( K ` ( G ` y ) ) .< ( L ` y ) ) /\ x e. A ) -> V e. Proset ) |
61 |
12
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ A. y e. B ( K ` ( G ` y ) ) .< ( L ` y ) ) /\ x e. A ) -> K e. ( V Monot X ) ) |
62 |
7
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ A. y e. B ( K ` ( G ` y ) ) .< ( L ` y ) ) /\ x e. A ) -> W e. Proset ) |
63 |
8
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ A. y e. B ( K ` ( G ` y ) ) .< ( L ` y ) ) /\ x e. A ) -> F H G ) |
64 |
1 2 3 4 5 60 62 63 51
|
mgccole1 |
|- ( ( ( ph /\ A. y e. B ( K ` ( G ` y ) ) .< ( L ` y ) ) /\ x e. A ) -> x .<_ ( G ` ( F ` x ) ) ) |
65 |
1 9 3 10 60 49 61 51 56 64
|
ismntd |
|- ( ( ( ph /\ A. y e. B ( K ` ( G ` y ) ) .< ( L ` y ) ) /\ x e. A ) -> ( K ` x ) .< ( K ` ( G ` ( F ` x ) ) ) ) |
66 |
25
|
ffvelrnda |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( F ` x ) e. B ) |
67 |
|
2fveq3 |
|- ( y = ( F ` x ) -> ( K ` ( G ` y ) ) = ( K ` ( G ` ( F ` x ) ) ) ) |
68 |
|
fveq2 |
|- ( y = ( F ` x ) -> ( L ` y ) = ( L ` ( F ` x ) ) ) |
69 |
67 68
|
breq12d |
|- ( y = ( F ` x ) -> ( ( K ` ( G ` y ) ) .< ( L ` y ) <-> ( K ` ( G ` ( F ` x ) ) ) .< ( L ` ( F ` x ) ) ) ) |
70 |
69
|
adantl |
|- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ y = ( F ` x ) ) -> ( ( K ` ( G ` y ) ) .< ( L ` y ) <-> ( K ` ( G ` ( F ` x ) ) ) .< ( L ` ( F ` x ) ) ) ) |
71 |
66 70
|
rspcdv |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( A. y e. B ( K ` ( G ` y ) ) .< ( L ` y ) -> ( K ` ( G ` ( F ` x ) ) ) .< ( L ` ( F ` x ) ) ) ) |
72 |
71
|
imp |
|- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ A. y e. B ( K ` ( G ` y ) ) .< ( L ` y ) ) -> ( K ` ( G ` ( F ` x ) ) ) .< ( L ` ( F ` x ) ) ) |
73 |
72
|
an32s |
|- ( ( ( ph /\ A. y e. B ( K ` ( G ` y ) ) .< ( L ` y ) ) /\ x e. A ) -> ( K ` ( G ` ( F ` x ) ) ) .< ( L ` ( F ` x ) ) ) |
74 |
9 10
|
prstr |
|- ( ( X e. Proset /\ ( ( K ` x ) e. C /\ ( K ` ( G ` ( F ` x ) ) ) e. C /\ ( L ` ( F ` x ) ) e. C ) /\ ( ( K ` x ) .< ( K ` ( G ` ( F ` x ) ) ) /\ ( K ` ( G ` ( F ` x ) ) ) .< ( L ` ( F ` x ) ) ) ) -> ( K ` x ) .< ( L ` ( F ` x ) ) ) |
75 |
49 52 57 59 65 73 74
|
syl132anc |
|- ( ( ( ph /\ A. y e. B ( K ` ( G ` y ) ) .< ( L ` y ) ) /\ x e. A ) -> ( K ` x ) .< ( L ` ( F ` x ) ) ) |
76 |
75
|
ralrimiva |
|- ( ( ph /\ A. y e. B ( K ` ( G ` y ) ) .< ( L ` y ) ) -> A. x e. A ( K ` x ) .< ( L ` ( F ` x ) ) ) |
77 |
48 76
|
impbida |
|- ( ph -> ( A. x e. A ( K ` x ) .< ( L ` ( F ` x ) ) <-> A. y e. B ( K ` ( G ` y ) ) .< ( L ` y ) ) ) |