Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
imassrn |
|- ( F " X ) C_ ran F |
2 |
|
eqid |
|- ( Base ` M ) = ( Base ` M ) |
3 |
|
eqid |
|- ( Base ` N ) = ( Base ` N ) |
4 |
2 3
|
mgmhmf |
|- ( F e. ( M MgmHom N ) -> F : ( Base ` M ) --> ( Base ` N ) ) |
5 |
4
|
adantr |
|- ( ( F e. ( M MgmHom N ) /\ X e. ( SubMgm ` M ) ) -> F : ( Base ` M ) --> ( Base ` N ) ) |
6 |
5
|
frnd |
|- ( ( F e. ( M MgmHom N ) /\ X e. ( SubMgm ` M ) ) -> ran F C_ ( Base ` N ) ) |
7 |
1 6
|
sstrid |
|- ( ( F e. ( M MgmHom N ) /\ X e. ( SubMgm ` M ) ) -> ( F " X ) C_ ( Base ` N ) ) |
8 |
|
simpll |
|- ( ( ( F e. ( M MgmHom N ) /\ X e. ( SubMgm ` M ) ) /\ ( z e. X /\ x e. X ) ) -> F e. ( M MgmHom N ) ) |
9 |
2
|
submgmss |
|- ( X e. ( SubMgm ` M ) -> X C_ ( Base ` M ) ) |
10 |
9
|
adantl |
|- ( ( F e. ( M MgmHom N ) /\ X e. ( SubMgm ` M ) ) -> X C_ ( Base ` M ) ) |
11 |
10
|
adantr |
|- ( ( ( F e. ( M MgmHom N ) /\ X e. ( SubMgm ` M ) ) /\ ( z e. X /\ x e. X ) ) -> X C_ ( Base ` M ) ) |
12 |
|
simprl |
|- ( ( ( F e. ( M MgmHom N ) /\ X e. ( SubMgm ` M ) ) /\ ( z e. X /\ x e. X ) ) -> z e. X ) |
13 |
11 12
|
sseldd |
|- ( ( ( F e. ( M MgmHom N ) /\ X e. ( SubMgm ` M ) ) /\ ( z e. X /\ x e. X ) ) -> z e. ( Base ` M ) ) |
14 |
|
simprr |
|- ( ( ( F e. ( M MgmHom N ) /\ X e. ( SubMgm ` M ) ) /\ ( z e. X /\ x e. X ) ) -> x e. X ) |
15 |
11 14
|
sseldd |
|- ( ( ( F e. ( M MgmHom N ) /\ X e. ( SubMgm ` M ) ) /\ ( z e. X /\ x e. X ) ) -> x e. ( Base ` M ) ) |
16 |
|
eqid |
|- ( +g ` M ) = ( +g ` M ) |
17 |
|
eqid |
|- ( +g ` N ) = ( +g ` N ) |
18 |
2 16 17
|
mgmhmlin |
|- ( ( F e. ( M MgmHom N ) /\ z e. ( Base ` M ) /\ x e. ( Base ` M ) ) -> ( F ` ( z ( +g ` M ) x ) ) = ( ( F ` z ) ( +g ` N ) ( F ` x ) ) ) |
19 |
8 13 15 18
|
syl3anc |
|- ( ( ( F e. ( M MgmHom N ) /\ X e. ( SubMgm ` M ) ) /\ ( z e. X /\ x e. X ) ) -> ( F ` ( z ( +g ` M ) x ) ) = ( ( F ` z ) ( +g ` N ) ( F ` x ) ) ) |
20 |
5
|
ffnd |
|- ( ( F e. ( M MgmHom N ) /\ X e. ( SubMgm ` M ) ) -> F Fn ( Base ` M ) ) |
21 |
20
|
adantr |
|- ( ( ( F e. ( M MgmHom N ) /\ X e. ( SubMgm ` M ) ) /\ ( z e. X /\ x e. X ) ) -> F Fn ( Base ` M ) ) |
22 |
16
|
submgmcl |
|- ( ( X e. ( SubMgm ` M ) /\ z e. X /\ x e. X ) -> ( z ( +g ` M ) x ) e. X ) |
23 |
22
|
3expb |
|- ( ( X e. ( SubMgm ` M ) /\ ( z e. X /\ x e. X ) ) -> ( z ( +g ` M ) x ) e. X ) |
24 |
23
|
adantll |
|- ( ( ( F e. ( M MgmHom N ) /\ X e. ( SubMgm ` M ) ) /\ ( z e. X /\ x e. X ) ) -> ( z ( +g ` M ) x ) e. X ) |
25 |
|
fnfvima |
|- ( ( F Fn ( Base ` M ) /\ X C_ ( Base ` M ) /\ ( z ( +g ` M ) x ) e. X ) -> ( F ` ( z ( +g ` M ) x ) ) e. ( F " X ) ) |
26 |
21 11 24 25
|
syl3anc |
|- ( ( ( F e. ( M MgmHom N ) /\ X e. ( SubMgm ` M ) ) /\ ( z e. X /\ x e. X ) ) -> ( F ` ( z ( +g ` M ) x ) ) e. ( F " X ) ) |
27 |
19 26
|
eqeltrrd |
|- ( ( ( F e. ( M MgmHom N ) /\ X e. ( SubMgm ` M ) ) /\ ( z e. X /\ x e. X ) ) -> ( ( F ` z ) ( +g ` N ) ( F ` x ) ) e. ( F " X ) ) |
28 |
27
|
anassrs |
|- ( ( ( ( F e. ( M MgmHom N ) /\ X e. ( SubMgm ` M ) ) /\ z e. X ) /\ x e. X ) -> ( ( F ` z ) ( +g ` N ) ( F ` x ) ) e. ( F " X ) ) |
29 |
28
|
ralrimiva |
|- ( ( ( F e. ( M MgmHom N ) /\ X e. ( SubMgm ` M ) ) /\ z e. X ) -> A. x e. X ( ( F ` z ) ( +g ` N ) ( F ` x ) ) e. ( F " X ) ) |
30 |
|
oveq2 |
|- ( y = ( F ` x ) -> ( ( F ` z ) ( +g ` N ) y ) = ( ( F ` z ) ( +g ` N ) ( F ` x ) ) ) |
31 |
30
|
eleq1d |
|- ( y = ( F ` x ) -> ( ( ( F ` z ) ( +g ` N ) y ) e. ( F " X ) <-> ( ( F ` z ) ( +g ` N ) ( F ` x ) ) e. ( F " X ) ) ) |
32 |
31
|
ralima |
|- ( ( F Fn ( Base ` M ) /\ X C_ ( Base ` M ) ) -> ( A. y e. ( F " X ) ( ( F ` z ) ( +g ` N ) y ) e. ( F " X ) <-> A. x e. X ( ( F ` z ) ( +g ` N ) ( F ` x ) ) e. ( F " X ) ) ) |
33 |
20 10 32
|
syl2anc |
|- ( ( F e. ( M MgmHom N ) /\ X e. ( SubMgm ` M ) ) -> ( A. y e. ( F " X ) ( ( F ` z ) ( +g ` N ) y ) e. ( F " X ) <-> A. x e. X ( ( F ` z ) ( +g ` N ) ( F ` x ) ) e. ( F " X ) ) ) |
34 |
33
|
adantr |
|- ( ( ( F e. ( M MgmHom N ) /\ X e. ( SubMgm ` M ) ) /\ z e. X ) -> ( A. y e. ( F " X ) ( ( F ` z ) ( +g ` N ) y ) e. ( F " X ) <-> A. x e. X ( ( F ` z ) ( +g ` N ) ( F ` x ) ) e. ( F " X ) ) ) |
35 |
29 34
|
mpbird |
|- ( ( ( F e. ( M MgmHom N ) /\ X e. ( SubMgm ` M ) ) /\ z e. X ) -> A. y e. ( F " X ) ( ( F ` z ) ( +g ` N ) y ) e. ( F " X ) ) |
36 |
35
|
ralrimiva |
|- ( ( F e. ( M MgmHom N ) /\ X e. ( SubMgm ` M ) ) -> A. z e. X A. y e. ( F " X ) ( ( F ` z ) ( +g ` N ) y ) e. ( F " X ) ) |
37 |
|
oveq1 |
|- ( x = ( F ` z ) -> ( x ( +g ` N ) y ) = ( ( F ` z ) ( +g ` N ) y ) ) |
38 |
37
|
eleq1d |
|- ( x = ( F ` z ) -> ( ( x ( +g ` N ) y ) e. ( F " X ) <-> ( ( F ` z ) ( +g ` N ) y ) e. ( F " X ) ) ) |
39 |
38
|
ralbidv |
|- ( x = ( F ` z ) -> ( A. y e. ( F " X ) ( x ( +g ` N ) y ) e. ( F " X ) <-> A. y e. ( F " X ) ( ( F ` z ) ( +g ` N ) y ) e. ( F " X ) ) ) |
40 |
39
|
ralima |
|- ( ( F Fn ( Base ` M ) /\ X C_ ( Base ` M ) ) -> ( A. x e. ( F " X ) A. y e. ( F " X ) ( x ( +g ` N ) y ) e. ( F " X ) <-> A. z e. X A. y e. ( F " X ) ( ( F ` z ) ( +g ` N ) y ) e. ( F " X ) ) ) |
41 |
20 10 40
|
syl2anc |
|- ( ( F e. ( M MgmHom N ) /\ X e. ( SubMgm ` M ) ) -> ( A. x e. ( F " X ) A. y e. ( F " X ) ( x ( +g ` N ) y ) e. ( F " X ) <-> A. z e. X A. y e. ( F " X ) ( ( F ` z ) ( +g ` N ) y ) e. ( F " X ) ) ) |
42 |
36 41
|
mpbird |
|- ( ( F e. ( M MgmHom N ) /\ X e. ( SubMgm ` M ) ) -> A. x e. ( F " X ) A. y e. ( F " X ) ( x ( +g ` N ) y ) e. ( F " X ) ) |
43 |
|
mgmhmrcl |
|- ( F e. ( M MgmHom N ) -> ( M e. Mgm /\ N e. Mgm ) ) |
44 |
43
|
simprd |
|- ( F e. ( M MgmHom N ) -> N e. Mgm ) |
45 |
44
|
adantr |
|- ( ( F e. ( M MgmHom N ) /\ X e. ( SubMgm ` M ) ) -> N e. Mgm ) |
46 |
3 17
|
issubmgm |
|- ( N e. Mgm -> ( ( F " X ) e. ( SubMgm ` N ) <-> ( ( F " X ) C_ ( Base ` N ) /\ A. x e. ( F " X ) A. y e. ( F " X ) ( x ( +g ` N ) y ) e. ( F " X ) ) ) ) |
47 |
45 46
|
syl |
|- ( ( F e. ( M MgmHom N ) /\ X e. ( SubMgm ` M ) ) -> ( ( F " X ) e. ( SubMgm ` N ) <-> ( ( F " X ) C_ ( Base ` N ) /\ A. x e. ( F " X ) A. y e. ( F " X ) ( x ( +g ` N ) y ) e. ( F " X ) ) ) ) |
48 |
7 42 47
|
mpbir2and |
|- ( ( F e. ( M MgmHom N ) /\ X e. ( SubMgm ` M ) ) -> ( F " X ) e. ( SubMgm ` N ) ) |