Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
eqid |
|- ( Base ` S ) = ( Base ` S ) |
2 |
|
eqid |
|- ( Base ` T ) = ( Base ` T ) |
3 |
1 2
|
mhmf |
|- ( F e. ( S MndHom T ) -> F : ( Base ` S ) --> ( Base ` T ) ) |
4 |
3
|
adantr |
|- ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> F : ( Base ` S ) --> ( Base ` T ) ) |
5 |
4
|
ffnd |
|- ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> F Fn ( Base ` S ) ) |
6 |
1 2
|
mhmf |
|- ( G e. ( S MndHom T ) -> G : ( Base ` S ) --> ( Base ` T ) ) |
7 |
6
|
adantl |
|- ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> G : ( Base ` S ) --> ( Base ` T ) ) |
8 |
7
|
ffnd |
|- ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> G Fn ( Base ` S ) ) |
9 |
|
fndmin |
|- ( ( F Fn ( Base ` S ) /\ G Fn ( Base ` S ) ) -> dom ( F i^i G ) = { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } ) |
10 |
5 8 9
|
syl2anc |
|- ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> dom ( F i^i G ) = { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } ) |
11 |
|
ssrab2 |
|- { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } C_ ( Base ` S ) |
12 |
11
|
a1i |
|- ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } C_ ( Base ` S ) ) |
13 |
|
fveq2 |
|- ( z = ( 0g ` S ) -> ( F ` z ) = ( F ` ( 0g ` S ) ) ) |
14 |
|
fveq2 |
|- ( z = ( 0g ` S ) -> ( G ` z ) = ( G ` ( 0g ` S ) ) ) |
15 |
13 14
|
eqeq12d |
|- ( z = ( 0g ` S ) -> ( ( F ` z ) = ( G ` z ) <-> ( F ` ( 0g ` S ) ) = ( G ` ( 0g ` S ) ) ) ) |
16 |
|
mhmrcl1 |
|- ( F e. ( S MndHom T ) -> S e. Mnd ) |
17 |
16
|
adantr |
|- ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> S e. Mnd ) |
18 |
|
eqid |
|- ( 0g ` S ) = ( 0g ` S ) |
19 |
1 18
|
mndidcl |
|- ( S e. Mnd -> ( 0g ` S ) e. ( Base ` S ) ) |
20 |
17 19
|
syl |
|- ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> ( 0g ` S ) e. ( Base ` S ) ) |
21 |
|
eqid |
|- ( 0g ` T ) = ( 0g ` T ) |
22 |
18 21
|
mhm0 |
|- ( F e. ( S MndHom T ) -> ( F ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) ) |
23 |
22
|
adantr |
|- ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> ( F ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) ) |
24 |
18 21
|
mhm0 |
|- ( G e. ( S MndHom T ) -> ( G ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) ) |
25 |
24
|
adantl |
|- ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> ( G ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) ) |
26 |
23 25
|
eqtr4d |
|- ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> ( F ` ( 0g ` S ) ) = ( G ` ( 0g ` S ) ) ) |
27 |
15 20 26
|
elrabd |
|- ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> ( 0g ` S ) e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } ) |
28 |
|
fveq2 |
|- ( z = ( x ( +g ` S ) y ) -> ( F ` z ) = ( F ` ( x ( +g ` S ) y ) ) ) |
29 |
|
fveq2 |
|- ( z = ( x ( +g ` S ) y ) -> ( G ` z ) = ( G ` ( x ( +g ` S ) y ) ) ) |
30 |
28 29
|
eqeq12d |
|- ( z = ( x ( +g ` S ) y ) -> ( ( F ` z ) = ( G ` z ) <-> ( F ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( G ` ( x ( +g ` S ) y ) ) ) ) |
31 |
17
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ ( y e. ( Base ` S ) /\ ( F ` y ) = ( G ` y ) ) ) -> S e. Mnd ) |
32 |
|
simplrl |
|- ( ( ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ ( y e. ( Base ` S ) /\ ( F ` y ) = ( G ` y ) ) ) -> x e. ( Base ` S ) ) |
33 |
|
simprl |
|- ( ( ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ ( y e. ( Base ` S ) /\ ( F ` y ) = ( G ` y ) ) ) -> y e. ( Base ` S ) ) |
34 |
|
eqid |
|- ( +g ` S ) = ( +g ` S ) |
35 |
1 34
|
mndcl |
|- ( ( S e. Mnd /\ x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( x ( +g ` S ) y ) e. ( Base ` S ) ) |
36 |
31 32 33 35
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ ( y e. ( Base ` S ) /\ ( F ` y ) = ( G ` y ) ) ) -> ( x ( +g ` S ) y ) e. ( Base ` S ) ) |
37 |
|
simplll |
|- ( ( ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ ( y e. ( Base ` S ) /\ ( F ` y ) = ( G ` y ) ) ) -> F e. ( S MndHom T ) ) |
38 |
|
eqid |
|- ( +g ` T ) = ( +g ` T ) |
39 |
1 34 38
|
mhmlin |
|- ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( F ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( F ` x ) ( +g ` T ) ( F ` y ) ) ) |
40 |
37 32 33 39
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ ( y e. ( Base ` S ) /\ ( F ` y ) = ( G ` y ) ) ) -> ( F ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( F ` x ) ( +g ` T ) ( F ` y ) ) ) |
41 |
|
simpllr |
|- ( ( ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ ( y e. ( Base ` S ) /\ ( F ` y ) = ( G ` y ) ) ) -> G e. ( S MndHom T ) ) |
42 |
1 34 38
|
mhmlin |
|- ( ( G e. ( S MndHom T ) /\ x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( G ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( G ` x ) ( +g ` T ) ( G ` y ) ) ) |
43 |
41 32 33 42
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ ( y e. ( Base ` S ) /\ ( F ` y ) = ( G ` y ) ) ) -> ( G ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( G ` x ) ( +g ` T ) ( G ` y ) ) ) |
44 |
|
simplrr |
|- ( ( ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ ( y e. ( Base ` S ) /\ ( F ` y ) = ( G ` y ) ) ) -> ( F ` x ) = ( G ` x ) ) |
45 |
|
simprr |
|- ( ( ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ ( y e. ( Base ` S ) /\ ( F ` y ) = ( G ` y ) ) ) -> ( F ` y ) = ( G ` y ) ) |
46 |
44 45
|
oveq12d |
|- ( ( ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ ( y e. ( Base ` S ) /\ ( F ` y ) = ( G ` y ) ) ) -> ( ( F ` x ) ( +g ` T ) ( F ` y ) ) = ( ( G ` x ) ( +g ` T ) ( G ` y ) ) ) |
47 |
43 46
|
eqtr4d |
|- ( ( ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ ( y e. ( Base ` S ) /\ ( F ` y ) = ( G ` y ) ) ) -> ( G ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( F ` x ) ( +g ` T ) ( F ` y ) ) ) |
48 |
40 47
|
eqtr4d |
|- ( ( ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ ( y e. ( Base ` S ) /\ ( F ` y ) = ( G ` y ) ) ) -> ( F ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( G ` ( x ( +g ` S ) y ) ) ) |
49 |
30 36 48
|
elrabd |
|- ( ( ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ ( y e. ( Base ` S ) /\ ( F ` y ) = ( G ` y ) ) ) -> ( x ( +g ` S ) y ) e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } ) |
50 |
49
|
expr |
|- ( ( ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( ( F ` y ) = ( G ` y ) -> ( x ( +g ` S ) y ) e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } ) ) |
51 |
50
|
ralrimiva |
|- ( ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) -> A. y e. ( Base ` S ) ( ( F ` y ) = ( G ` y ) -> ( x ( +g ` S ) y ) e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } ) ) |
52 |
|
fveq2 |
|- ( z = y -> ( F ` z ) = ( F ` y ) ) |
53 |
|
fveq2 |
|- ( z = y -> ( G ` z ) = ( G ` y ) ) |
54 |
52 53
|
eqeq12d |
|- ( z = y -> ( ( F ` z ) = ( G ` z ) <-> ( F ` y ) = ( G ` y ) ) ) |
55 |
54
|
ralrab |
|- ( A. y e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } ( x ( +g ` S ) y ) e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } <-> A. y e. ( Base ` S ) ( ( F ` y ) = ( G ` y ) -> ( x ( +g ` S ) y ) e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } ) ) |
56 |
51 55
|
sylibr |
|- ( ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) -> A. y e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } ( x ( +g ` S ) y ) e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } ) |
57 |
56
|
expr |
|- ( ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ x e. ( Base ` S ) ) -> ( ( F ` x ) = ( G ` x ) -> A. y e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } ( x ( +g ` S ) y ) e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } ) ) |
58 |
57
|
ralrimiva |
|- ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> A. x e. ( Base ` S ) ( ( F ` x ) = ( G ` x ) -> A. y e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } ( x ( +g ` S ) y ) e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } ) ) |
59 |
|
fveq2 |
|- ( z = x -> ( F ` z ) = ( F ` x ) ) |
60 |
|
fveq2 |
|- ( z = x -> ( G ` z ) = ( G ` x ) ) |
61 |
59 60
|
eqeq12d |
|- ( z = x -> ( ( F ` z ) = ( G ` z ) <-> ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) |
62 |
61
|
ralrab |
|- ( A. x e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } A. y e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } ( x ( +g ` S ) y ) e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } <-> A. x e. ( Base ` S ) ( ( F ` x ) = ( G ` x ) -> A. y e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } ( x ( +g ` S ) y ) e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } ) ) |
63 |
58 62
|
sylibr |
|- ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> A. x e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } A. y e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } ( x ( +g ` S ) y ) e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } ) |
64 |
1 18 34
|
issubm |
|- ( S e. Mnd -> ( { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } e. ( SubMnd ` S ) <-> ( { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } C_ ( Base ` S ) /\ ( 0g ` S ) e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } /\ A. x e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } A. y e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } ( x ( +g ` S ) y ) e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } ) ) ) |
65 |
17 64
|
syl |
|- ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> ( { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } e. ( SubMnd ` S ) <-> ( { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } C_ ( Base ` S ) /\ ( 0g ` S ) e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } /\ A. x e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } A. y e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } ( x ( +g ` S ) y ) e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } ) ) ) |
66 |
12 27 63 65
|
mpbir3and |
|- ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } e. ( SubMnd ` S ) ) |
67 |
10 66
|
eqeltrd |
|- ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> dom ( F i^i G ) e. ( SubMnd ` S ) ) |