Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
mulgmhm.b |
|- B = ( Base ` G ) |
2 |
|
mulgmhm.m |
|- .x. = ( .g ` G ) |
3 |
|
cmnmnd |
|- ( G e. CMnd -> G e. Mnd ) |
4 |
3
|
adantr |
|- ( ( G e. CMnd /\ M e. NN0 ) -> G e. Mnd ) |
5 |
1 2
|
mulgnn0cl |
|- ( ( G e. Mnd /\ M e. NN0 /\ x e. B ) -> ( M .x. x ) e. B ) |
6 |
3 5
|
syl3an1 |
|- ( ( G e. CMnd /\ M e. NN0 /\ x e. B ) -> ( M .x. x ) e. B ) |
7 |
6
|
3expa |
|- ( ( ( G e. CMnd /\ M e. NN0 ) /\ x e. B ) -> ( M .x. x ) e. B ) |
8 |
7
|
fmpttd |
|- ( ( G e. CMnd /\ M e. NN0 ) -> ( x e. B |-> ( M .x. x ) ) : B --> B ) |
9 |
|
3anass |
|- ( ( M e. NN0 /\ y e. B /\ z e. B ) <-> ( M e. NN0 /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) ) |
10 |
|
eqid |
|- ( +g ` G ) = ( +g ` G ) |
11 |
1 2 10
|
mulgnn0di |
|- ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( M .x. ( y ( +g ` G ) z ) ) = ( ( M .x. y ) ( +g ` G ) ( M .x. z ) ) ) |
12 |
9 11
|
sylan2br |
|- ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) ) -> ( M .x. ( y ( +g ` G ) z ) ) = ( ( M .x. y ) ( +g ` G ) ( M .x. z ) ) ) |
13 |
12
|
anassrs |
|- ( ( ( G e. CMnd /\ M e. NN0 ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( M .x. ( y ( +g ` G ) z ) ) = ( ( M .x. y ) ( +g ` G ) ( M .x. z ) ) ) |
14 |
1 10
|
mndcl |
|- ( ( G e. Mnd /\ y e. B /\ z e. B ) -> ( y ( +g ` G ) z ) e. B ) |
15 |
14
|
3expb |
|- ( ( G e. Mnd /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( y ( +g ` G ) z ) e. B ) |
16 |
4 15
|
sylan |
|- ( ( ( G e. CMnd /\ M e. NN0 ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( y ( +g ` G ) z ) e. B ) |
17 |
|
oveq2 |
|- ( x = ( y ( +g ` G ) z ) -> ( M .x. x ) = ( M .x. ( y ( +g ` G ) z ) ) ) |
18 |
|
eqid |
|- ( x e. B |-> ( M .x. x ) ) = ( x e. B |-> ( M .x. x ) ) |
19 |
|
ovex |
|- ( M .x. ( y ( +g ` G ) z ) ) e. _V |
20 |
17 18 19
|
fvmpt |
|- ( ( y ( +g ` G ) z ) e. B -> ( ( x e. B |-> ( M .x. x ) ) ` ( y ( +g ` G ) z ) ) = ( M .x. ( y ( +g ` G ) z ) ) ) |
21 |
16 20
|
syl |
|- ( ( ( G e. CMnd /\ M e. NN0 ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x e. B |-> ( M .x. x ) ) ` ( y ( +g ` G ) z ) ) = ( M .x. ( y ( +g ` G ) z ) ) ) |
22 |
|
oveq2 |
|- ( x = y -> ( M .x. x ) = ( M .x. y ) ) |
23 |
|
ovex |
|- ( M .x. y ) e. _V |
24 |
22 18 23
|
fvmpt |
|- ( y e. B -> ( ( x e. B |-> ( M .x. x ) ) ` y ) = ( M .x. y ) ) |
25 |
|
oveq2 |
|- ( x = z -> ( M .x. x ) = ( M .x. z ) ) |
26 |
|
ovex |
|- ( M .x. z ) e. _V |
27 |
25 18 26
|
fvmpt |
|- ( z e. B -> ( ( x e. B |-> ( M .x. x ) ) ` z ) = ( M .x. z ) ) |
28 |
24 27
|
oveqan12d |
|- ( ( y e. B /\ z e. B ) -> ( ( ( x e. B |-> ( M .x. x ) ) ` y ) ( +g ` G ) ( ( x e. B |-> ( M .x. x ) ) ` z ) ) = ( ( M .x. y ) ( +g ` G ) ( M .x. z ) ) ) |
29 |
28
|
adantl |
|- ( ( ( G e. CMnd /\ M e. NN0 ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( ( x e. B |-> ( M .x. x ) ) ` y ) ( +g ` G ) ( ( x e. B |-> ( M .x. x ) ) ` z ) ) = ( ( M .x. y ) ( +g ` G ) ( M .x. z ) ) ) |
30 |
13 21 29
|
3eqtr4d |
|- ( ( ( G e. CMnd /\ M e. NN0 ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x e. B |-> ( M .x. x ) ) ` ( y ( +g ` G ) z ) ) = ( ( ( x e. B |-> ( M .x. x ) ) ` y ) ( +g ` G ) ( ( x e. B |-> ( M .x. x ) ) ` z ) ) ) |
31 |
30
|
ralrimivva |
|- ( ( G e. CMnd /\ M e. NN0 ) -> A. y e. B A. z e. B ( ( x e. B |-> ( M .x. x ) ) ` ( y ( +g ` G ) z ) ) = ( ( ( x e. B |-> ( M .x. x ) ) ` y ) ( +g ` G ) ( ( x e. B |-> ( M .x. x ) ) ` z ) ) ) |
32 |
|
eqid |
|- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G ) |
33 |
1 32
|
mndidcl |
|- ( G e. Mnd -> ( 0g ` G ) e. B ) |
34 |
|
oveq2 |
|- ( x = ( 0g ` G ) -> ( M .x. x ) = ( M .x. ( 0g ` G ) ) ) |
35 |
|
ovex |
|- ( M .x. ( 0g ` G ) ) e. _V |
36 |
34 18 35
|
fvmpt |
|- ( ( 0g ` G ) e. B -> ( ( x e. B |-> ( M .x. x ) ) ` ( 0g ` G ) ) = ( M .x. ( 0g ` G ) ) ) |
37 |
4 33 36
|
3syl |
|- ( ( G e. CMnd /\ M e. NN0 ) -> ( ( x e. B |-> ( M .x. x ) ) ` ( 0g ` G ) ) = ( M .x. ( 0g ` G ) ) ) |
38 |
1 2 32
|
mulgnn0z |
|- ( ( G e. Mnd /\ M e. NN0 ) -> ( M .x. ( 0g ` G ) ) = ( 0g ` G ) ) |
39 |
3 38
|
sylan |
|- ( ( G e. CMnd /\ M e. NN0 ) -> ( M .x. ( 0g ` G ) ) = ( 0g ` G ) ) |
40 |
37 39
|
eqtrd |
|- ( ( G e. CMnd /\ M e. NN0 ) -> ( ( x e. B |-> ( M .x. x ) ) ` ( 0g ` G ) ) = ( 0g ` G ) ) |
41 |
8 31 40
|
3jca |
|- ( ( G e. CMnd /\ M e. NN0 ) -> ( ( x e. B |-> ( M .x. x ) ) : B --> B /\ A. y e. B A. z e. B ( ( x e. B |-> ( M .x. x ) ) ` ( y ( +g ` G ) z ) ) = ( ( ( x e. B |-> ( M .x. x ) ) ` y ) ( +g ` G ) ( ( x e. B |-> ( M .x. x ) ) ` z ) ) /\ ( ( x e. B |-> ( M .x. x ) ) ` ( 0g ` G ) ) = ( 0g ` G ) ) ) |
42 |
1 1 10 10 32 32
|
ismhm |
|- ( ( x e. B |-> ( M .x. x ) ) e. ( G MndHom G ) <-> ( ( G e. Mnd /\ G e. Mnd ) /\ ( ( x e. B |-> ( M .x. x ) ) : B --> B /\ A. y e. B A. z e. B ( ( x e. B |-> ( M .x. x ) ) ` ( y ( +g ` G ) z ) ) = ( ( ( x e. B |-> ( M .x. x ) ) ` y ) ( +g ` G ) ( ( x e. B |-> ( M .x. x ) ) ` z ) ) /\ ( ( x e. B |-> ( M .x. x ) ) ` ( 0g ` G ) ) = ( 0g ` G ) ) ) ) |
43 |
4 4 41 42
|
syl21anbrc |
|- ( ( G e. CMnd /\ M e. NN0 ) -> ( x e. B |-> ( M .x. x ) ) e. ( G MndHom G ) ) |