Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
ovnovollem3.a |
|- ( ph -> A e. V ) |
2 |
|
ovnovollem3.b |
|- ( ph -> B C_ RR ) |
3 |
|
ovnovollem3.m |
|- M = { z e. RR* | E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m { A } ) ^m NN ) ( ( B ^m { A } ) C_ U_ j e. NN X_ k e. { A } ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = ( sum^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) } |
4 |
|
ovnovollem3.n |
|- N = { z e. RR* | E. f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) ( B C_ U. ran ( [,) o. f ) /\ z = ( sum^ ` ( ( vol o. [,) ) o. f ) ) ) } |
5 |
|
snnzg |
|- ( A e. V -> { A } =/= (/) ) |
6 |
1 5
|
syl |
|- ( ph -> { A } =/= (/) ) |
7 |
6
|
neneqd |
|- ( ph -> -. { A } = (/) ) |
8 |
7
|
iffalsed |
|- ( ph -> if ( { A } = (/) , 0 , inf ( M , RR* , < ) ) = inf ( M , RR* , < ) ) |
9 |
|
snfi |
|- { A } e. Fin |
10 |
9
|
a1i |
|- ( ph -> { A } e. Fin ) |
11 |
|
reex |
|- RR e. _V |
12 |
11
|
a1i |
|- ( ph -> RR e. _V ) |
13 |
|
mapss |
|- ( ( RR e. _V /\ B C_ RR ) -> ( B ^m { A } ) C_ ( RR ^m { A } ) ) |
14 |
12 2 13
|
syl2anc |
|- ( ph -> ( B ^m { A } ) C_ ( RR ^m { A } ) ) |
15 |
10 14 3
|
ovnval2 |
|- ( ph -> ( ( voln* ` { A } ) ` ( B ^m { A } ) ) = if ( { A } = (/) , 0 , inf ( M , RR* , < ) ) ) |
16 |
2 4
|
ovolval5 |
|- ( ph -> ( vol* ` B ) = inf ( N , RR* , < ) ) |
17 |
1
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) ) /\ ( B C_ U. ran ( [,) o. f ) /\ z = ( sum^ ` ( ( vol o. [,) ) o. f ) ) ) ) -> A e. V ) |
18 |
|
simplr |
|- ( ( ( ph /\ f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) ) /\ ( B C_ U. ran ( [,) o. f ) /\ z = ( sum^ ` ( ( vol o. [,) ) o. f ) ) ) ) -> f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) ) |
19 |
|
fveq2 |
|- ( n = j -> ( f ` n ) = ( f ` j ) ) |
20 |
19
|
opeq2d |
|- ( n = j -> <. A , ( f ` n ) >. = <. A , ( f ` j ) >. ) |
21 |
20
|
sneqd |
|- ( n = j -> { <. A , ( f ` n ) >. } = { <. A , ( f ` j ) >. } ) |
22 |
21
|
cbvmptv |
|- ( n e. NN |-> { <. A , ( f ` n ) >. } ) = ( j e. NN |-> { <. A , ( f ` j ) >. } ) |
23 |
|
simprl |
|- ( ( ( ph /\ f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) ) /\ ( B C_ U. ran ( [,) o. f ) /\ z = ( sum^ ` ( ( vol o. [,) ) o. f ) ) ) ) -> B C_ U. ran ( [,) o. f ) ) |
24 |
12 2
|
ssexd |
|- ( ph -> B e. _V ) |
25 |
24
|
adantr |
|- ( ( ph /\ f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) ) -> B e. _V ) |
26 |
25
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) ) /\ ( B C_ U. ran ( [,) o. f ) /\ z = ( sum^ ` ( ( vol o. [,) ) o. f ) ) ) ) -> B e. _V ) |
27 |
|
simprr |
|- ( ( ( ph /\ f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) ) /\ ( B C_ U. ran ( [,) o. f ) /\ z = ( sum^ ` ( ( vol o. [,) ) o. f ) ) ) ) -> z = ( sum^ ` ( ( vol o. [,) ) o. f ) ) ) |
28 |
17 18 22 23 26 27
|
ovnovollem1 |
|- ( ( ( ph /\ f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) ) /\ ( B C_ U. ran ( [,) o. f ) /\ z = ( sum^ ` ( ( vol o. [,) ) o. f ) ) ) ) -> E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m { A } ) ^m NN ) ( ( B ^m { A } ) C_ U_ j e. NN X_ k e. { A } ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = ( sum^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) ) |
29 |
28
|
rexlimdva2 |
|- ( ph -> ( E. f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) ( B C_ U. ran ( [,) o. f ) /\ z = ( sum^ ` ( ( vol o. [,) ) o. f ) ) ) -> E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m { A } ) ^m NN ) ( ( B ^m { A } ) C_ U_ j e. NN X_ k e. { A } ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = ( sum^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) ) ) |
30 |
1
|
3ad2ant1 |
|- ( ( ph /\ i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m { A } ) ^m NN ) /\ ( ( B ^m { A } ) C_ U_ j e. NN X_ k e. { A } ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = ( sum^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) ) -> A e. V ) |
31 |
24
|
3ad2ant1 |
|- ( ( ph /\ i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m { A } ) ^m NN ) /\ ( ( B ^m { A } ) C_ U_ j e. NN X_ k e. { A } ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = ( sum^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) ) -> B e. _V ) |
32 |
|
simp2 |
|- ( ( ph /\ i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m { A } ) ^m NN ) /\ ( ( B ^m { A } ) C_ U_ j e. NN X_ k e. { A } ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = ( sum^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) ) -> i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m { A } ) ^m NN ) ) |
33 |
|
simp3l |
|- ( ( ph /\ i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m { A } ) ^m NN ) /\ ( ( B ^m { A } ) C_ U_ j e. NN X_ k e. { A } ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = ( sum^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) ) -> ( B ^m { A } ) C_ U_ j e. NN X_ k e. { A } ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) |
34 |
|
fveq2 |
|- ( j = n -> ( i ` j ) = ( i ` n ) ) |
35 |
34
|
coeq2d |
|- ( j = n -> ( [,) o. ( i ` j ) ) = ( [,) o. ( i ` n ) ) ) |
36 |
35
|
fveq1d |
|- ( j = n -> ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) = ( ( [,) o. ( i ` n ) ) ` k ) ) |
37 |
36
|
ixpeq2dv |
|- ( j = n -> X_ k e. { A } ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) = X_ k e. { A } ( ( [,) o. ( i ` n ) ) ` k ) ) |
38 |
|
fveq2 |
|- ( k = l -> ( ( [,) o. ( i ` n ) ) ` k ) = ( ( [,) o. ( i ` n ) ) ` l ) ) |
39 |
38
|
cbvixpv |
|- X_ k e. { A } ( ( [,) o. ( i ` n ) ) ` k ) = X_ l e. { A } ( ( [,) o. ( i ` n ) ) ` l ) |
40 |
39
|
a1i |
|- ( j = n -> X_ k e. { A } ( ( [,) o. ( i ` n ) ) ` k ) = X_ l e. { A } ( ( [,) o. ( i ` n ) ) ` l ) ) |
41 |
37 40
|
eqtrd |
|- ( j = n -> X_ k e. { A } ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) = X_ l e. { A } ( ( [,) o. ( i ` n ) ) ` l ) ) |
42 |
41
|
cbviunv |
|- U_ j e. NN X_ k e. { A } ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) = U_ n e. NN X_ l e. { A } ( ( [,) o. ( i ` n ) ) ` l ) |
43 |
42
|
sseq2i |
|- ( ( B ^m { A } ) C_ U_ j e. NN X_ k e. { A } ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) <-> ( B ^m { A } ) C_ U_ n e. NN X_ l e. { A } ( ( [,) o. ( i ` n ) ) ` l ) ) |
44 |
43
|
biimpi |
|- ( ( B ^m { A } ) C_ U_ j e. NN X_ k e. { A } ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) -> ( B ^m { A } ) C_ U_ n e. NN X_ l e. { A } ( ( [,) o. ( i ` n ) ) ` l ) ) |
45 |
33 44
|
syl |
|- ( ( ph /\ i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m { A } ) ^m NN ) /\ ( ( B ^m { A } ) C_ U_ j e. NN X_ k e. { A } ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = ( sum^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) ) -> ( B ^m { A } ) C_ U_ n e. NN X_ l e. { A } ( ( [,) o. ( i ` n ) ) ` l ) ) |
46 |
|
simp3r |
|- ( ( ph /\ i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m { A } ) ^m NN ) /\ ( ( B ^m { A } ) C_ U_ j e. NN X_ k e. { A } ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = ( sum^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) ) -> z = ( sum^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) |
47 |
36
|
fveq2d |
|- ( j = n -> ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) = ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` n ) ) ` k ) ) ) |
48 |
47
|
prodeq2ad |
|- ( j = n -> prod_ k e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) = prod_ k e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` n ) ) ` k ) ) ) |
49 |
38
|
fveq2d |
|- ( k = l -> ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` n ) ) ` k ) ) = ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` n ) ) ` l ) ) ) |
50 |
49
|
cbvprodv |
|- prod_ k e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` n ) ) ` k ) ) = prod_ l e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` n ) ) ` l ) ) |
51 |
50
|
a1i |
|- ( j = n -> prod_ k e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` n ) ) ` k ) ) = prod_ l e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` n ) ) ` l ) ) ) |
52 |
48 51
|
eqtrd |
|- ( j = n -> prod_ k e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) = prod_ l e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` n ) ) ` l ) ) ) |
53 |
52
|
cbvmptv |
|- ( j e. NN |-> prod_ k e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) = ( n e. NN |-> prod_ l e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` n ) ) ` l ) ) ) |
54 |
53
|
fveq2i |
|- ( sum^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) = ( sum^ ` ( n e. NN |-> prod_ l e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` n ) ) ` l ) ) ) ) |
55 |
54
|
eqeq2i |
|- ( z = ( sum^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) <-> z = ( sum^ ` ( n e. NN |-> prod_ l e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` n ) ) ` l ) ) ) ) ) |
56 |
55
|
biimpi |
|- ( z = ( sum^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) -> z = ( sum^ ` ( n e. NN |-> prod_ l e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` n ) ) ` l ) ) ) ) ) |
57 |
46 56
|
syl |
|- ( ( ph /\ i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m { A } ) ^m NN ) /\ ( ( B ^m { A } ) C_ U_ j e. NN X_ k e. { A } ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = ( sum^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) ) -> z = ( sum^ ` ( n e. NN |-> prod_ l e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` n ) ) ` l ) ) ) ) ) |
58 |
|
fveq2 |
|- ( m = n -> ( i ` m ) = ( i ` n ) ) |
59 |
58
|
fveq1d |
|- ( m = n -> ( ( i ` m ) ` A ) = ( ( i ` n ) ` A ) ) |
60 |
59
|
cbvmptv |
|- ( m e. NN |-> ( ( i ` m ) ` A ) ) = ( n e. NN |-> ( ( i ` n ) ` A ) ) |
61 |
30 31 32 45 57 60
|
ovnovollem2 |
|- ( ( ph /\ i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m { A } ) ^m NN ) /\ ( ( B ^m { A } ) C_ U_ j e. NN X_ k e. { A } ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = ( sum^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) ) -> E. f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) ( B C_ U. ran ( [,) o. f ) /\ z = ( sum^ ` ( ( vol o. [,) ) o. f ) ) ) ) |
62 |
61
|
3exp |
|- ( ph -> ( i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m { A } ) ^m NN ) -> ( ( ( B ^m { A } ) C_ U_ j e. NN X_ k e. { A } ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = ( sum^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) -> E. f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) ( B C_ U. ran ( [,) o. f ) /\ z = ( sum^ ` ( ( vol o. [,) ) o. f ) ) ) ) ) ) |
63 |
62
|
rexlimdv |
|- ( ph -> ( E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m { A } ) ^m NN ) ( ( B ^m { A } ) C_ U_ j e. NN X_ k e. { A } ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = ( sum^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) -> E. f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) ( B C_ U. ran ( [,) o. f ) /\ z = ( sum^ ` ( ( vol o. [,) ) o. f ) ) ) ) ) |
64 |
29 63
|
impbid |
|- ( ph -> ( E. f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) ( B C_ U. ran ( [,) o. f ) /\ z = ( sum^ ` ( ( vol o. [,) ) o. f ) ) ) <-> E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m { A } ) ^m NN ) ( ( B ^m { A } ) C_ U_ j e. NN X_ k e. { A } ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = ( sum^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) ) ) |
65 |
64
|
rabbidv |
|- ( ph -> { z e. RR* | E. f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) ( B C_ U. ran ( [,) o. f ) /\ z = ( sum^ ` ( ( vol o. [,) ) o. f ) ) ) } = { z e. RR* | E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m { A } ) ^m NN ) ( ( B ^m { A } ) C_ U_ j e. NN X_ k e. { A } ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = ( sum^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) } ) |
66 |
4
|
a1i |
|- ( ph -> N = { z e. RR* | E. f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) ( B C_ U. ran ( [,) o. f ) /\ z = ( sum^ ` ( ( vol o. [,) ) o. f ) ) ) } ) |
67 |
3
|
a1i |
|- ( ph -> M = { z e. RR* | E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m { A } ) ^m NN ) ( ( B ^m { A } ) C_ U_ j e. NN X_ k e. { A } ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = ( sum^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) } ) |
68 |
65 66 67
|
3eqtr4d |
|- ( ph -> N = M ) |
69 |
68
|
infeq1d |
|- ( ph -> inf ( N , RR* , < ) = inf ( M , RR* , < ) ) |
70 |
16 69
|
eqtrd |
|- ( ph -> ( vol* ` B ) = inf ( M , RR* , < ) ) |
71 |
8 15 70
|
3eqtr4d |
|- ( ph -> ( ( voln* ` { A } ) ` ( B ^m { A } ) ) = ( vol* ` B ) ) |