Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
eldifn |
|- ( z e. ( _om \ A ) -> -. z e. A ) |
2 |
1
|
adantl |
|- ( ( ( (/) e. A /\ A. x e. _om ( x e. A -> suc x e. A ) ) /\ z e. ( _om \ A ) ) -> -. z e. A ) |
3 |
|
eldifi |
|- ( z e. ( _om \ A ) -> z e. _om ) |
4 |
|
elndif |
|- ( (/) e. A -> -. (/) e. ( _om \ A ) ) |
5 |
|
eleq1 |
|- ( z = (/) -> ( z e. ( _om \ A ) <-> (/) e. ( _om \ A ) ) ) |
6 |
5
|
biimpcd |
|- ( z e. ( _om \ A ) -> ( z = (/) -> (/) e. ( _om \ A ) ) ) |
7 |
6
|
necon3bd |
|- ( z e. ( _om \ A ) -> ( -. (/) e. ( _om \ A ) -> z =/= (/) ) ) |
8 |
4 7
|
mpan9 |
|- ( ( (/) e. A /\ z e. ( _om \ A ) ) -> z =/= (/) ) |
9 |
|
nnsuc |
|- ( ( z e. _om /\ z =/= (/) ) -> E. y e. _om z = suc y ) |
10 |
3 8 9
|
syl2an2 |
|- ( ( (/) e. A /\ z e. ( _om \ A ) ) -> E. y e. _om z = suc y ) |
11 |
10
|
ad4ant13 |
|- ( ( ( ( (/) e. A /\ A. x e. _om ( x e. A -> suc x e. A ) ) /\ z e. ( _om \ A ) ) /\ ( ( _om \ A ) i^i z ) = (/) ) -> E. y e. _om z = suc y ) |
12 |
|
eleq1w |
|- ( x = y -> ( x e. A <-> y e. A ) ) |
13 |
|
suceq |
|- ( x = y -> suc x = suc y ) |
14 |
13
|
eleq1d |
|- ( x = y -> ( suc x e. A <-> suc y e. A ) ) |
15 |
12 14
|
imbi12d |
|- ( x = y -> ( ( x e. A -> suc x e. A ) <-> ( y e. A -> suc y e. A ) ) ) |
16 |
15
|
rspccv |
|- ( A. x e. _om ( x e. A -> suc x e. A ) -> ( y e. _om -> ( y e. A -> suc y e. A ) ) ) |
17 |
|
vex |
|- y e. _V |
18 |
17
|
sucid |
|- y e. suc y |
19 |
|
eleq2 |
|- ( z = suc y -> ( y e. z <-> y e. suc y ) ) |
20 |
18 19
|
mpbiri |
|- ( z = suc y -> y e. z ) |
21 |
|
eleq1 |
|- ( z = suc y -> ( z e. _om <-> suc y e. _om ) ) |
22 |
|
peano2b |
|- ( y e. _om <-> suc y e. _om ) |
23 |
21 22
|
bitr4di |
|- ( z = suc y -> ( z e. _om <-> y e. _om ) ) |
24 |
|
minel |
|- ( ( y e. z /\ ( ( _om \ A ) i^i z ) = (/) ) -> -. y e. ( _om \ A ) ) |
25 |
|
neldif |
|- ( ( y e. _om /\ -. y e. ( _om \ A ) ) -> y e. A ) |
26 |
24 25
|
sylan2 |
|- ( ( y e. _om /\ ( y e. z /\ ( ( _om \ A ) i^i z ) = (/) ) ) -> y e. A ) |
27 |
26
|
exp32 |
|- ( y e. _om -> ( y e. z -> ( ( ( _om \ A ) i^i z ) = (/) -> y e. A ) ) ) |
28 |
23 27
|
syl6bi |
|- ( z = suc y -> ( z e. _om -> ( y e. z -> ( ( ( _om \ A ) i^i z ) = (/) -> y e. A ) ) ) ) |
29 |
20 28
|
mpid |
|- ( z = suc y -> ( z e. _om -> ( ( ( _om \ A ) i^i z ) = (/) -> y e. A ) ) ) |
30 |
3 29
|
syl5 |
|- ( z = suc y -> ( z e. ( _om \ A ) -> ( ( ( _om \ A ) i^i z ) = (/) -> y e. A ) ) ) |
31 |
30
|
impd |
|- ( z = suc y -> ( ( z e. ( _om \ A ) /\ ( ( _om \ A ) i^i z ) = (/) ) -> y e. A ) ) |
32 |
|
eleq1a |
|- ( suc y e. A -> ( z = suc y -> z e. A ) ) |
33 |
32
|
com12 |
|- ( z = suc y -> ( suc y e. A -> z e. A ) ) |
34 |
31 33
|
imim12d |
|- ( z = suc y -> ( ( y e. A -> suc y e. A ) -> ( ( z e. ( _om \ A ) /\ ( ( _om \ A ) i^i z ) = (/) ) -> z e. A ) ) ) |
35 |
34
|
com13 |
|- ( ( z e. ( _om \ A ) /\ ( ( _om \ A ) i^i z ) = (/) ) -> ( ( y e. A -> suc y e. A ) -> ( z = suc y -> z e. A ) ) ) |
36 |
16 35
|
sylan9 |
|- ( ( A. x e. _om ( x e. A -> suc x e. A ) /\ ( z e. ( _om \ A ) /\ ( ( _om \ A ) i^i z ) = (/) ) ) -> ( y e. _om -> ( z = suc y -> z e. A ) ) ) |
37 |
36
|
rexlimdv |
|- ( ( A. x e. _om ( x e. A -> suc x e. A ) /\ ( z e. ( _om \ A ) /\ ( ( _om \ A ) i^i z ) = (/) ) ) -> ( E. y e. _om z = suc y -> z e. A ) ) |
38 |
37
|
exp32 |
|- ( A. x e. _om ( x e. A -> suc x e. A ) -> ( z e. ( _om \ A ) -> ( ( ( _om \ A ) i^i z ) = (/) -> ( E. y e. _om z = suc y -> z e. A ) ) ) ) |
39 |
38
|
a1i |
|- ( (/) e. A -> ( A. x e. _om ( x e. A -> suc x e. A ) -> ( z e. ( _om \ A ) -> ( ( ( _om \ A ) i^i z ) = (/) -> ( E. y e. _om z = suc y -> z e. A ) ) ) ) ) |
40 |
39
|
imp41 |
|- ( ( ( ( (/) e. A /\ A. x e. _om ( x e. A -> suc x e. A ) ) /\ z e. ( _om \ A ) ) /\ ( ( _om \ A ) i^i z ) = (/) ) -> ( E. y e. _om z = suc y -> z e. A ) ) |
41 |
11 40
|
mpd |
|- ( ( ( ( (/) e. A /\ A. x e. _om ( x e. A -> suc x e. A ) ) /\ z e. ( _om \ A ) ) /\ ( ( _om \ A ) i^i z ) = (/) ) -> z e. A ) |
42 |
2 41
|
mtand |
|- ( ( ( (/) e. A /\ A. x e. _om ( x e. A -> suc x e. A ) ) /\ z e. ( _om \ A ) ) -> -. ( ( _om \ A ) i^i z ) = (/) ) |
43 |
42
|
nrexdv |
|- ( ( (/) e. A /\ A. x e. _om ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> -. E. z e. ( _om \ A ) ( ( _om \ A ) i^i z ) = (/) ) |
44 |
|
ordom |
|- Ord _om |
45 |
|
difss |
|- ( _om \ A ) C_ _om |
46 |
|
tz7.5 |
|- ( ( Ord _om /\ ( _om \ A ) C_ _om /\ ( _om \ A ) =/= (/) ) -> E. z e. ( _om \ A ) ( ( _om \ A ) i^i z ) = (/) ) |
47 |
44 45 46
|
mp3an12 |
|- ( ( _om \ A ) =/= (/) -> E. z e. ( _om \ A ) ( ( _om \ A ) i^i z ) = (/) ) |
48 |
47
|
necon1bi |
|- ( -. E. z e. ( _om \ A ) ( ( _om \ A ) i^i z ) = (/) -> ( _om \ A ) = (/) ) |
49 |
43 48
|
syl |
|- ( ( (/) e. A /\ A. x e. _om ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> ( _om \ A ) = (/) ) |
50 |
|
ssdif0 |
|- ( _om C_ A <-> ( _om \ A ) = (/) ) |
51 |
49 50
|
sylibr |
|- ( ( (/) e. A /\ A. x e. _om ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> _om C_ A ) |