Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
pellfundval |
|- ( D e. ( NN \ []NN ) -> ( PellFund ` D ) = inf ( { a e. ( Pell14QR ` D ) | 1 < a } , RR , < ) ) |
2 |
|
ssrab2 |
|- { a e. ( Pell14QR ` D ) | 1 < a } C_ ( Pell14QR ` D ) |
3 |
|
pell14qrre |
|- ( ( D e. ( NN \ []NN ) /\ a e. ( Pell14QR ` D ) ) -> a e. RR ) |
4 |
3
|
ex |
|- ( D e. ( NN \ []NN ) -> ( a e. ( Pell14QR ` D ) -> a e. RR ) ) |
5 |
4
|
ssrdv |
|- ( D e. ( NN \ []NN ) -> ( Pell14QR ` D ) C_ RR ) |
6 |
2 5
|
sstrid |
|- ( D e. ( NN \ []NN ) -> { a e. ( Pell14QR ` D ) | 1 < a } C_ RR ) |
7 |
|
pell1qrss14 |
|- ( D e. ( NN \ []NN ) -> ( Pell1QR ` D ) C_ ( Pell14QR ` D ) ) |
8 |
|
pellqrex |
|- ( D e. ( NN \ []NN ) -> E. a e. ( Pell1QR ` D ) 1 < a ) |
9 |
|
ssrexv |
|- ( ( Pell1QR ` D ) C_ ( Pell14QR ` D ) -> ( E. a e. ( Pell1QR ` D ) 1 < a -> E. a e. ( Pell14QR ` D ) 1 < a ) ) |
10 |
7 8 9
|
sylc |
|- ( D e. ( NN \ []NN ) -> E. a e. ( Pell14QR ` D ) 1 < a ) |
11 |
|
rabn0 |
|- ( { a e. ( Pell14QR ` D ) | 1 < a } =/= (/) <-> E. a e. ( Pell14QR ` D ) 1 < a ) |
12 |
10 11
|
sylibr |
|- ( D e. ( NN \ []NN ) -> { a e. ( Pell14QR ` D ) | 1 < a } =/= (/) ) |
13 |
|
1re |
|- 1 e. RR |
14 |
|
breq2 |
|- ( a = c -> ( 1 < a <-> 1 < c ) ) |
15 |
14
|
elrab |
|- ( c e. { a e. ( Pell14QR ` D ) | 1 < a } <-> ( c e. ( Pell14QR ` D ) /\ 1 < c ) ) |
16 |
|
pell14qrre |
|- ( ( D e. ( NN \ []NN ) /\ c e. ( Pell14QR ` D ) ) -> c e. RR ) |
17 |
|
ltle |
|- ( ( 1 e. RR /\ c e. RR ) -> ( 1 < c -> 1 <_ c ) ) |
18 |
13 16 17
|
sylancr |
|- ( ( D e. ( NN \ []NN ) /\ c e. ( Pell14QR ` D ) ) -> ( 1 < c -> 1 <_ c ) ) |
19 |
18
|
expimpd |
|- ( D e. ( NN \ []NN ) -> ( ( c e. ( Pell14QR ` D ) /\ 1 < c ) -> 1 <_ c ) ) |
20 |
15 19
|
syl5bi |
|- ( D e. ( NN \ []NN ) -> ( c e. { a e. ( Pell14QR ` D ) | 1 < a } -> 1 <_ c ) ) |
21 |
20
|
ralrimiv |
|- ( D e. ( NN \ []NN ) -> A. c e. { a e. ( Pell14QR ` D ) | 1 < a } 1 <_ c ) |
22 |
|
breq1 |
|- ( b = 1 -> ( b <_ c <-> 1 <_ c ) ) |
23 |
22
|
ralbidv |
|- ( b = 1 -> ( A. c e. { a e. ( Pell14QR ` D ) | 1 < a } b <_ c <-> A. c e. { a e. ( Pell14QR ` D ) | 1 < a } 1 <_ c ) ) |
24 |
23
|
rspcev |
|- ( ( 1 e. RR /\ A. c e. { a e. ( Pell14QR ` D ) | 1 < a } 1 <_ c ) -> E. b e. RR A. c e. { a e. ( Pell14QR ` D ) | 1 < a } b <_ c ) |
25 |
13 21 24
|
sylancr |
|- ( D e. ( NN \ []NN ) -> E. b e. RR A. c e. { a e. ( Pell14QR ` D ) | 1 < a } b <_ c ) |
26 |
|
infrecl |
|- ( ( { a e. ( Pell14QR ` D ) | 1 < a } C_ RR /\ { a e. ( Pell14QR ` D ) | 1 < a } =/= (/) /\ E. b e. RR A. c e. { a e. ( Pell14QR ` D ) | 1 < a } b <_ c ) -> inf ( { a e. ( Pell14QR ` D ) | 1 < a } , RR , < ) e. RR ) |
27 |
6 12 25 26
|
syl3anc |
|- ( D e. ( NN \ []NN ) -> inf ( { a e. ( Pell14QR ` D ) | 1 < a } , RR , < ) e. RR ) |
28 |
1 27
|
eqeltrd |
|- ( D e. ( NN \ []NN ) -> ( PellFund ` D ) e. RR ) |