Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
plyadd.1 |
|- ( ph -> F e. ( Poly ` S ) ) |
2 |
|
plyadd.2 |
|- ( ph -> G e. ( Poly ` S ) ) |
3 |
|
plyadd.3 |
|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x + y ) e. S ) |
4 |
|
plymul.4 |
|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x x. y ) e. S ) |
5 |
|
elply2 |
|- ( F e. ( Poly ` S ) <-> ( S C_ CC /\ E. m e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( a " ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) ) |
6 |
5
|
simprbi |
|- ( F e. ( Poly ` S ) -> E. m e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( a " ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) |
7 |
1 6
|
syl |
|- ( ph -> E. m e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( a " ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) |
8 |
|
elply2 |
|- ( G e. ( Poly ` S ) <-> ( S C_ CC /\ E. n e. NN0 E. b e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( b " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) ) |
9 |
8
|
simprbi |
|- ( G e. ( Poly ` S ) -> E. n e. NN0 E. b e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( b " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) |
10 |
2 9
|
syl |
|- ( ph -> E. n e. NN0 E. b e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( b " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) |
11 |
|
reeanv |
|- ( E. m e. NN0 E. n e. NN0 ( E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( a " ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) /\ E. b e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( b " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) <-> ( E. m e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( a " ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) /\ E. n e. NN0 E. b e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( b " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) ) |
12 |
|
reeanv |
|- ( E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) E. b e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( ( a " ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) /\ ( ( b " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) <-> ( E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( a " ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) /\ E. b e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( b " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) ) |
13 |
|
simp1l |
|- ( ( ( ph /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ ( a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) /\ b e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) /\ ( ( ( a " ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) /\ ( ( b " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) ) -> ph ) |
14 |
13 1
|
syl |
|- ( ( ( ph /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ ( a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) /\ b e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) /\ ( ( ( a " ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) /\ ( ( b " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) ) -> F e. ( Poly ` S ) ) |
15 |
13 2
|
syl |
|- ( ( ( ph /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ ( a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) /\ b e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) /\ ( ( ( a " ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) /\ ( ( b " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) ) -> G e. ( Poly ` S ) ) |
16 |
13 3
|
sylan |
|- ( ( ( ( ph /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ ( a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) /\ b e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) /\ ( ( ( a " ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) /\ ( ( b " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x + y ) e. S ) |
17 |
|
simp1rl |
|- ( ( ( ph /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ ( a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) /\ b e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) /\ ( ( ( a " ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) /\ ( ( b " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) ) -> m e. NN0 ) |
18 |
|
simp1rr |
|- ( ( ( ph /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ ( a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) /\ b e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) /\ ( ( ( a " ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) /\ ( ( b " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) ) -> n e. NN0 ) |
19 |
|
simp2l |
|- ( ( ( ph /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ ( a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) /\ b e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) /\ ( ( ( a " ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) /\ ( ( b " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) ) -> a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) |
20 |
|
simp2r |
|- ( ( ( ph /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ ( a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) /\ b e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) /\ ( ( ( a " ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) /\ ( ( b " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) ) -> b e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) |
21 |
|
simp3ll |
|- ( ( ( ph /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ ( a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) /\ b e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) /\ ( ( ( a " ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) /\ ( ( b " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) ) -> ( a " ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) = { 0 } ) |
22 |
|
simp3rl |
|- ( ( ( ph /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ ( a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) /\ b e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) /\ ( ( ( a " ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) /\ ( ( b " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) ) -> ( b " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } ) |
23 |
|
simp3lr |
|- ( ( ( ph /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ ( a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) /\ b e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) /\ ( ( ( a " ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) /\ ( ( b " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) ) -> F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) |
24 |
|
oveq1 |
|- ( z = w -> ( z ^ k ) = ( w ^ k ) ) |
25 |
24
|
oveq2d |
|- ( z = w -> ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) = ( ( a ` k ) x. ( w ^ k ) ) ) |
26 |
25
|
sumeq2sdv |
|- ( z = w -> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) = sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( w ^ k ) ) ) |
27 |
|
fveq2 |
|- ( k = j -> ( a ` k ) = ( a ` j ) ) |
28 |
|
oveq2 |
|- ( k = j -> ( w ^ k ) = ( w ^ j ) ) |
29 |
27 28
|
oveq12d |
|- ( k = j -> ( ( a ` k ) x. ( w ^ k ) ) = ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) |
30 |
29
|
cbvsumv |
|- sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( w ^ k ) ) = sum_ j e. ( 0 ... m ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) |
31 |
26 30
|
eqtrdi |
|- ( z = w -> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) = sum_ j e. ( 0 ... m ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) |
32 |
31
|
cbvmptv |
|- ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... m ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) |
33 |
23 32
|
eqtrdi |
|- ( ( ( ph /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ ( a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) /\ b e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) /\ ( ( ( a " ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) /\ ( ( b " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) ) -> F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... m ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) |
34 |
|
simp3rr |
|- ( ( ( ph /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ ( a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) /\ b e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) /\ ( ( ( a " ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) /\ ( ( b " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) ) -> G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) |
35 |
24
|
oveq2d |
|- ( z = w -> ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) = ( ( b ` k ) x. ( w ^ k ) ) ) |
36 |
35
|
sumeq2sdv |
|- ( z = w -> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) = sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( w ^ k ) ) ) |
37 |
|
fveq2 |
|- ( k = j -> ( b ` k ) = ( b ` j ) ) |
38 |
37 28
|
oveq12d |
|- ( k = j -> ( ( b ` k ) x. ( w ^ k ) ) = ( ( b ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) |
39 |
38
|
cbvsumv |
|- sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( w ^ k ) ) = sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( b ` j ) x. ( w ^ j ) ) |
40 |
36 39
|
eqtrdi |
|- ( z = w -> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) = sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( b ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) |
41 |
40
|
cbvmptv |
|- ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( b ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) |
42 |
34 41
|
eqtrdi |
|- ( ( ( ph /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ ( a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) /\ b e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) /\ ( ( ( a " ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) /\ ( ( b " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) ) -> G = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( b ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) |
43 |
13 4
|
sylan |
|- ( ( ( ( ph /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ ( a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) /\ b e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) /\ ( ( ( a " ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) /\ ( ( b " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x x. y ) e. S ) |
44 |
14 15 16 17 18 19 20 21 22 33 42 43
|
plymullem |
|- ( ( ( ph /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ ( a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) /\ b e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) /\ ( ( ( a " ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) /\ ( ( b " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) ) -> ( F oF x. G ) e. ( Poly ` S ) ) |
45 |
44
|
3expia |
|- ( ( ( ph /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ ( a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) /\ b e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) -> ( ( ( ( a " ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) /\ ( ( b " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) -> ( F oF x. G ) e. ( Poly ` S ) ) ) |
46 |
45
|
rexlimdvva |
|- ( ( ph /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) -> ( E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) E. b e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( ( a " ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) /\ ( ( b " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) -> ( F oF x. G ) e. ( Poly ` S ) ) ) |
47 |
12 46
|
syl5bir |
|- ( ( ph /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) -> ( ( E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( a " ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) /\ E. b e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( b " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) -> ( F oF x. G ) e. ( Poly ` S ) ) ) |
48 |
47
|
rexlimdvva |
|- ( ph -> ( E. m e. NN0 E. n e. NN0 ( E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( a " ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) /\ E. b e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( b " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) -> ( F oF x. G ) e. ( Poly ` S ) ) ) |
49 |
11 48
|
syl5bir |
|- ( ph -> ( ( E. m e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( a " ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) /\ E. n e. NN0 E. b e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( b " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( b ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) -> ( F oF x. G ) e. ( Poly ` S ) ) ) |
50 |
7 10 49
|
mp2and |
|- ( ph -> ( F oF x. G ) e. ( Poly ` S ) ) |