Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
eluzelz |
|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ ) |
2 |
|
eluzel2 |
|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ ) |
3 |
|
2z |
|- 2 e. ZZ |
4 |
|
ifcl |
|- ( ( M e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> if ( M <_ 2 , M , 2 ) e. ZZ ) |
5 |
2 3 4
|
sylancl |
|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> if ( M <_ 2 , M , 2 ) e. ZZ ) |
6 |
3
|
a1i |
|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> 2 e. ZZ ) |
7 |
2
|
zred |
|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. RR ) |
8 |
|
2re |
|- 2 e. RR |
9 |
|
min2 |
|- ( ( M e. RR /\ 2 e. RR ) -> if ( M <_ 2 , M , 2 ) <_ 2 ) |
10 |
7 8 9
|
sylancl |
|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> if ( M <_ 2 , M , 2 ) <_ 2 ) |
11 |
|
eluz2 |
|- ( 2 e. ( ZZ>= ` if ( M <_ 2 , M , 2 ) ) <-> ( if ( M <_ 2 , M , 2 ) e. ZZ /\ 2 e. ZZ /\ if ( M <_ 2 , M , 2 ) <_ 2 ) ) |
12 |
5 6 10 11
|
syl3anbrc |
|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> 2 e. ( ZZ>= ` if ( M <_ 2 , M , 2 ) ) ) |
13 |
|
ppival2g |
|- ( ( N e. ZZ /\ 2 e. ( ZZ>= ` if ( M <_ 2 , M , 2 ) ) ) -> ( ppi ` N ) = ( # ` ( ( if ( M <_ 2 , M , 2 ) ... N ) i^i Prime ) ) ) |
14 |
1 12 13
|
syl2anc |
|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ppi ` N ) = ( # ` ( ( if ( M <_ 2 , M , 2 ) ... N ) i^i Prime ) ) ) |
15 |
|
min1 |
|- ( ( M e. RR /\ 2 e. RR ) -> if ( M <_ 2 , M , 2 ) <_ M ) |
16 |
7 8 15
|
sylancl |
|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> if ( M <_ 2 , M , 2 ) <_ M ) |
17 |
|
eluz2 |
|- ( M e. ( ZZ>= ` if ( M <_ 2 , M , 2 ) ) <-> ( if ( M <_ 2 , M , 2 ) e. ZZ /\ M e. ZZ /\ if ( M <_ 2 , M , 2 ) <_ M ) ) |
18 |
5 2 16 17
|
syl3anbrc |
|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( ZZ>= ` if ( M <_ 2 , M , 2 ) ) ) |
19 |
|
id |
|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) ) |
20 |
|
elfzuzb |
|- ( M e. ( if ( M <_ 2 , M , 2 ) ... N ) <-> ( M e. ( ZZ>= ` if ( M <_ 2 , M , 2 ) ) /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) ) |
21 |
18 19 20
|
sylanbrc |
|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( if ( M <_ 2 , M , 2 ) ... N ) ) |
22 |
|
fzsplit |
|- ( M e. ( if ( M <_ 2 , M , 2 ) ... N ) -> ( if ( M <_ 2 , M , 2 ) ... N ) = ( ( if ( M <_ 2 , M , 2 ) ... M ) u. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) |
23 |
21 22
|
syl |
|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( if ( M <_ 2 , M , 2 ) ... N ) = ( ( if ( M <_ 2 , M , 2 ) ... M ) u. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) |
24 |
23
|
ineq1d |
|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( if ( M <_ 2 , M , 2 ) ... N ) i^i Prime ) = ( ( ( if ( M <_ 2 , M , 2 ) ... M ) u. ( ( M + 1 ) ... N ) ) i^i Prime ) ) |
25 |
|
indir |
|- ( ( ( if ( M <_ 2 , M , 2 ) ... M ) u. ( ( M + 1 ) ... N ) ) i^i Prime ) = ( ( ( if ( M <_ 2 , M , 2 ) ... M ) i^i Prime ) u. ( ( ( M + 1 ) ... N ) i^i Prime ) ) |
26 |
24 25
|
eqtrdi |
|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( if ( M <_ 2 , M , 2 ) ... N ) i^i Prime ) = ( ( ( if ( M <_ 2 , M , 2 ) ... M ) i^i Prime ) u. ( ( ( M + 1 ) ... N ) i^i Prime ) ) ) |
27 |
26
|
fveq2d |
|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( # ` ( ( if ( M <_ 2 , M , 2 ) ... N ) i^i Prime ) ) = ( # ` ( ( ( if ( M <_ 2 , M , 2 ) ... M ) i^i Prime ) u. ( ( ( M + 1 ) ... N ) i^i Prime ) ) ) ) |
28 |
|
fzfi |
|- ( if ( M <_ 2 , M , 2 ) ... M ) e. Fin |
29 |
|
inss1 |
|- ( ( if ( M <_ 2 , M , 2 ) ... M ) i^i Prime ) C_ ( if ( M <_ 2 , M , 2 ) ... M ) |
30 |
|
ssfi |
|- ( ( ( if ( M <_ 2 , M , 2 ) ... M ) e. Fin /\ ( ( if ( M <_ 2 , M , 2 ) ... M ) i^i Prime ) C_ ( if ( M <_ 2 , M , 2 ) ... M ) ) -> ( ( if ( M <_ 2 , M , 2 ) ... M ) i^i Prime ) e. Fin ) |
31 |
28 29 30
|
mp2an |
|- ( ( if ( M <_ 2 , M , 2 ) ... M ) i^i Prime ) e. Fin |
32 |
|
fzfi |
|- ( ( M + 1 ) ... N ) e. Fin |
33 |
|
inss1 |
|- ( ( ( M + 1 ) ... N ) i^i Prime ) C_ ( ( M + 1 ) ... N ) |
34 |
|
ssfi |
|- ( ( ( ( M + 1 ) ... N ) e. Fin /\ ( ( ( M + 1 ) ... N ) i^i Prime ) C_ ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( ( ( M + 1 ) ... N ) i^i Prime ) e. Fin ) |
35 |
32 33 34
|
mp2an |
|- ( ( ( M + 1 ) ... N ) i^i Prime ) e. Fin |
36 |
7
|
ltp1d |
|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M < ( M + 1 ) ) |
37 |
|
fzdisj |
|- ( M < ( M + 1 ) -> ( ( if ( M <_ 2 , M , 2 ) ... M ) i^i ( ( M + 1 ) ... N ) ) = (/) ) |
38 |
36 37
|
syl |
|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( if ( M <_ 2 , M , 2 ) ... M ) i^i ( ( M + 1 ) ... N ) ) = (/) ) |
39 |
38
|
ineq1d |
|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ( if ( M <_ 2 , M , 2 ) ... M ) i^i ( ( M + 1 ) ... N ) ) i^i Prime ) = ( (/) i^i Prime ) ) |
40 |
|
inindir |
|- ( ( ( if ( M <_ 2 , M , 2 ) ... M ) i^i ( ( M + 1 ) ... N ) ) i^i Prime ) = ( ( ( if ( M <_ 2 , M , 2 ) ... M ) i^i Prime ) i^i ( ( ( M + 1 ) ... N ) i^i Prime ) ) |
41 |
|
0in |
|- ( (/) i^i Prime ) = (/) |
42 |
39 40 41
|
3eqtr3g |
|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ( if ( M <_ 2 , M , 2 ) ... M ) i^i Prime ) i^i ( ( ( M + 1 ) ... N ) i^i Prime ) ) = (/) ) |
43 |
|
hashun |
|- ( ( ( ( if ( M <_ 2 , M , 2 ) ... M ) i^i Prime ) e. Fin /\ ( ( ( M + 1 ) ... N ) i^i Prime ) e. Fin /\ ( ( ( if ( M <_ 2 , M , 2 ) ... M ) i^i Prime ) i^i ( ( ( M + 1 ) ... N ) i^i Prime ) ) = (/) ) -> ( # ` ( ( ( if ( M <_ 2 , M , 2 ) ... M ) i^i Prime ) u. ( ( ( M + 1 ) ... N ) i^i Prime ) ) ) = ( ( # ` ( ( if ( M <_ 2 , M , 2 ) ... M ) i^i Prime ) ) + ( # ` ( ( ( M + 1 ) ... N ) i^i Prime ) ) ) ) |
44 |
31 35 42 43
|
mp3an12i |
|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( # ` ( ( ( if ( M <_ 2 , M , 2 ) ... M ) i^i Prime ) u. ( ( ( M + 1 ) ... N ) i^i Prime ) ) ) = ( ( # ` ( ( if ( M <_ 2 , M , 2 ) ... M ) i^i Prime ) ) + ( # ` ( ( ( M + 1 ) ... N ) i^i Prime ) ) ) ) |
45 |
14 27 44
|
3eqtrd |
|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ppi ` N ) = ( ( # ` ( ( if ( M <_ 2 , M , 2 ) ... M ) i^i Prime ) ) + ( # ` ( ( ( M + 1 ) ... N ) i^i Prime ) ) ) ) |
46 |
|
ppival2g |
|- ( ( M e. ZZ /\ 2 e. ( ZZ>= ` if ( M <_ 2 , M , 2 ) ) ) -> ( ppi ` M ) = ( # ` ( ( if ( M <_ 2 , M , 2 ) ... M ) i^i Prime ) ) ) |
47 |
2 12 46
|
syl2anc |
|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ppi ` M ) = ( # ` ( ( if ( M <_ 2 , M , 2 ) ... M ) i^i Prime ) ) ) |
48 |
45 47
|
oveq12d |
|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ppi ` N ) - ( ppi ` M ) ) = ( ( ( # ` ( ( if ( M <_ 2 , M , 2 ) ... M ) i^i Prime ) ) + ( # ` ( ( ( M + 1 ) ... N ) i^i Prime ) ) ) - ( # ` ( ( if ( M <_ 2 , M , 2 ) ... M ) i^i Prime ) ) ) ) |
49 |
|
hashcl |
|- ( ( ( if ( M <_ 2 , M , 2 ) ... M ) i^i Prime ) e. Fin -> ( # ` ( ( if ( M <_ 2 , M , 2 ) ... M ) i^i Prime ) ) e. NN0 ) |
50 |
31 49
|
ax-mp |
|- ( # ` ( ( if ( M <_ 2 , M , 2 ) ... M ) i^i Prime ) ) e. NN0 |
51 |
50
|
nn0cni |
|- ( # ` ( ( if ( M <_ 2 , M , 2 ) ... M ) i^i Prime ) ) e. CC |
52 |
|
hashcl |
|- ( ( ( ( M + 1 ) ... N ) i^i Prime ) e. Fin -> ( # ` ( ( ( M + 1 ) ... N ) i^i Prime ) ) e. NN0 ) |
53 |
35 52
|
ax-mp |
|- ( # ` ( ( ( M + 1 ) ... N ) i^i Prime ) ) e. NN0 |
54 |
53
|
nn0cni |
|- ( # ` ( ( ( M + 1 ) ... N ) i^i Prime ) ) e. CC |
55 |
|
pncan2 |
|- ( ( ( # ` ( ( if ( M <_ 2 , M , 2 ) ... M ) i^i Prime ) ) e. CC /\ ( # ` ( ( ( M + 1 ) ... N ) i^i Prime ) ) e. CC ) -> ( ( ( # ` ( ( if ( M <_ 2 , M , 2 ) ... M ) i^i Prime ) ) + ( # ` ( ( ( M + 1 ) ... N ) i^i Prime ) ) ) - ( # ` ( ( if ( M <_ 2 , M , 2 ) ... M ) i^i Prime ) ) ) = ( # ` ( ( ( M + 1 ) ... N ) i^i Prime ) ) ) |
56 |
51 54 55
|
mp2an |
|- ( ( ( # ` ( ( if ( M <_ 2 , M , 2 ) ... M ) i^i Prime ) ) + ( # ` ( ( ( M + 1 ) ... N ) i^i Prime ) ) ) - ( # ` ( ( if ( M <_ 2 , M , 2 ) ... M ) i^i Prime ) ) ) = ( # ` ( ( ( M + 1 ) ... N ) i^i Prime ) ) |
57 |
48 56
|
eqtrdi |
|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ppi ` N ) - ( ppi ` M ) ) = ( # ` ( ( ( M + 1 ) ... N ) i^i Prime ) ) ) |