Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
prdsbas.p |
|- P = ( S Xs_ R ) |
2 |
|
prdsbas.s |
|- ( ph -> S e. V ) |
3 |
|
prdsbas.r |
|- ( ph -> R e. W ) |
4 |
|
prdsbas.b |
|- B = ( Base ` P ) |
5 |
|
prdsbas.i |
|- ( ph -> dom R = I ) |
6 |
|
prdsvsca.k |
|- K = ( Base ` S ) |
7 |
|
prdsvsca.m |
|- .x. = ( .s ` P ) |
8 |
1 2 3 4 5
|
prdsbas |
|- ( ph -> B = X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) ) |
9 |
|
eqid |
|- ( +g ` P ) = ( +g ` P ) |
10 |
1 2 3 4 5 9
|
prdsplusg |
|- ( ph -> ( +g ` P ) = ( f e. B , g e. B |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) |
11 |
|
eqid |
|- ( .r ` P ) = ( .r ` P ) |
12 |
1 2 3 4 5 11
|
prdsmulr |
|- ( ph -> ( .r ` P ) = ( f e. B , g e. B |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) |
13 |
|
eqidd |
|- ( ph -> ( f e. K , g e. B |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) = ( f e. K , g e. B |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) |
14 |
|
eqidd |
|- ( ph -> ( f e. B , g e. B |-> ( S gsum ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) = ( f e. B , g e. B |-> ( S gsum ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) ) |
15 |
|
eqidd |
|- ( ph -> ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) = ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) ) |
16 |
|
eqidd |
|- ( ph -> { <. f , g >. | ( { f , g } C_ B /\ A. x e. I ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } = { <. f , g >. | ( { f , g } C_ B /\ A. x e. I ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } ) |
17 |
|
eqidd |
|- ( ph -> ( f e. B , g e. B |-> sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) = ( f e. B , g e. B |-> sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) ) |
18 |
|
eqidd |
|- ( ph -> ( f e. B , g e. B |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) = ( f e. B , g e. B |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) |
19 |
|
eqidd |
|- ( ph -> ( a e. ( B X. B ) , c e. B |-> ( d e. ( ( 2nd ` a ) ( f e. B , g e. B |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) c ) , e e. ( ( f e. B , g e. B |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ` a ) |-> ( x e. I |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. ( comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) = ( a e. ( B X. B ) , c e. B |-> ( d e. ( ( 2nd ` a ) ( f e. B , g e. B |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) c ) , e e. ( ( f e. B , g e. B |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ` a ) |-> ( x e. I |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. ( comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) ) |
20 |
1 6 5 8 10 12 13 14 15 16 17 18 19 2 3
|
prdsval |
|- ( ph -> P = ( ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( +g ` P ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( .r ` P ) >. } u. { <. ( Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. K , g e. B |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( S gsum ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } ) u. ( { <. ( TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , { <. f , g >. | ( { f , g } C_ B /\ A. x e. I ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } >. , <. ( dist ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) >. } u. { <. ( Hom ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) >. , <. ( comp ` ndx ) , ( a e. ( B X. B ) , c e. B |-> ( d e. ( ( 2nd ` a ) ( f e. B , g e. B |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) c ) , e e. ( ( f e. B , g e. B |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ` a ) |-> ( x e. I |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. ( comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) >. } ) ) ) |
21 |
|
vscaid |
|- .s = Slot ( .s ` ndx ) |
22 |
|
ovssunirn |
|- ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) C_ U. ran ( .s ` ( R ` x ) ) |
23 |
21
|
strfvss |
|- ( .s ` ( R ` x ) ) C_ U. ran ( R ` x ) |
24 |
|
fvssunirn |
|- ( R ` x ) C_ U. ran R |
25 |
|
rnss |
|- ( ( R ` x ) C_ U. ran R -> ran ( R ` x ) C_ ran U. ran R ) |
26 |
|
uniss |
|- ( ran ( R ` x ) C_ ran U. ran R -> U. ran ( R ` x ) C_ U. ran U. ran R ) |
27 |
24 25 26
|
mp2b |
|- U. ran ( R ` x ) C_ U. ran U. ran R |
28 |
23 27
|
sstri |
|- ( .s ` ( R ` x ) ) C_ U. ran U. ran R |
29 |
|
rnss |
|- ( ( .s ` ( R ` x ) ) C_ U. ran U. ran R -> ran ( .s ` ( R ` x ) ) C_ ran U. ran U. ran R ) |
30 |
|
uniss |
|- ( ran ( .s ` ( R ` x ) ) C_ ran U. ran U. ran R -> U. ran ( .s ` ( R ` x ) ) C_ U. ran U. ran U. ran R ) |
31 |
28 29 30
|
mp2b |
|- U. ran ( .s ` ( R ` x ) ) C_ U. ran U. ran U. ran R |
32 |
22 31
|
sstri |
|- ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) C_ U. ran U. ran U. ran R |
33 |
|
ovex |
|- ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) e. _V |
34 |
33
|
elpw |
|- ( ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) e. ~P U. ran U. ran U. ran R <-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) C_ U. ran U. ran U. ran R ) |
35 |
32 34
|
mpbir |
|- ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) e. ~P U. ran U. ran U. ran R |
36 |
35
|
a1i |
|- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) e. ~P U. ran U. ran U. ran R ) |
37 |
36
|
fmpttd |
|- ( ph -> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) : I --> ~P U. ran U. ran U. ran R ) |
38 |
|
rnexg |
|- ( R e. W -> ran R e. _V ) |
39 |
|
uniexg |
|- ( ran R e. _V -> U. ran R e. _V ) |
40 |
3 38 39
|
3syl |
|- ( ph -> U. ran R e. _V ) |
41 |
|
rnexg |
|- ( U. ran R e. _V -> ran U. ran R e. _V ) |
42 |
|
uniexg |
|- ( ran U. ran R e. _V -> U. ran U. ran R e. _V ) |
43 |
40 41 42
|
3syl |
|- ( ph -> U. ran U. ran R e. _V ) |
44 |
|
rnexg |
|- ( U. ran U. ran R e. _V -> ran U. ran U. ran R e. _V ) |
45 |
|
uniexg |
|- ( ran U. ran U. ran R e. _V -> U. ran U. ran U. ran R e. _V ) |
46 |
|
pwexg |
|- ( U. ran U. ran U. ran R e. _V -> ~P U. ran U. ran U. ran R e. _V ) |
47 |
43 44 45 46
|
4syl |
|- ( ph -> ~P U. ran U. ran U. ran R e. _V ) |
48 |
3
|
dmexd |
|- ( ph -> dom R e. _V ) |
49 |
5 48
|
eqeltrrd |
|- ( ph -> I e. _V ) |
50 |
47 49
|
elmapd |
|- ( ph -> ( ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) e. ( ~P U. ran U. ran U. ran R ^m I ) <-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) : I --> ~P U. ran U. ran U. ran R ) ) |
51 |
37 50
|
mpbird |
|- ( ph -> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) e. ( ~P U. ran U. ran U. ran R ^m I ) ) |
52 |
51
|
ralrimivw |
|- ( ph -> A. g e. B ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) e. ( ~P U. ran U. ran U. ran R ^m I ) ) |
53 |
52
|
ralrimivw |
|- ( ph -> A. f e. K A. g e. B ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) e. ( ~P U. ran U. ran U. ran R ^m I ) ) |
54 |
|
eqid |
|- ( f e. K , g e. B |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) = ( f e. K , g e. B |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) |
55 |
54
|
fmpo |
|- ( A. f e. K A. g e. B ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) e. ( ~P U. ran U. ran U. ran R ^m I ) <-> ( f e. K , g e. B |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) : ( K X. B ) --> ( ~P U. ran U. ran U. ran R ^m I ) ) |
56 |
53 55
|
sylib |
|- ( ph -> ( f e. K , g e. B |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) : ( K X. B ) --> ( ~P U. ran U. ran U. ran R ^m I ) ) |
57 |
6
|
fvexi |
|- K e. _V |
58 |
4
|
fvexi |
|- B e. _V |
59 |
57 58
|
xpex |
|- ( K X. B ) e. _V |
60 |
|
ovex |
|- ( ~P U. ran U. ran U. ran R ^m I ) e. _V |
61 |
|
fex2 |
|- ( ( ( f e. K , g e. B |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) : ( K X. B ) --> ( ~P U. ran U. ran U. ran R ^m I ) /\ ( K X. B ) e. _V /\ ( ~P U. ran U. ran U. ran R ^m I ) e. _V ) -> ( f e. K , g e. B |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) e. _V ) |
62 |
59 60 61
|
mp3an23 |
|- ( ( f e. K , g e. B |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) : ( K X. B ) --> ( ~P U. ran U. ran U. ran R ^m I ) -> ( f e. K , g e. B |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) e. _V ) |
63 |
56 62
|
syl |
|- ( ph -> ( f e. K , g e. B |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) e. _V ) |
64 |
|
snsstp2 |
|- { <. ( .s ` ndx ) , ( f e. K , g e. B |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } C_ { <. ( Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. K , g e. B |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( S gsum ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } |
65 |
|
ssun2 |
|- { <. ( Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. K , g e. B |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( S gsum ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } C_ ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( +g ` P ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( .r ` P ) >. } u. { <. ( Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. K , g e. B |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( S gsum ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } ) |
66 |
64 65
|
sstri |
|- { <. ( .s ` ndx ) , ( f e. K , g e. B |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } C_ ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( +g ` P ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( .r ` P ) >. } u. { <. ( Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. K , g e. B |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( S gsum ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } ) |
67 |
|
ssun1 |
|- ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( +g ` P ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( .r ` P ) >. } u. { <. ( Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. K , g e. B |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( S gsum ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } ) C_ ( ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( +g ` P ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( .r ` P ) >. } u. { <. ( Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. K , g e. B |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( S gsum ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } ) u. ( { <. ( TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , { <. f , g >. | ( { f , g } C_ B /\ A. x e. I ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } >. , <. ( dist ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) >. } u. { <. ( Hom ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) >. , <. ( comp ` ndx ) , ( a e. ( B X. B ) , c e. B |-> ( d e. ( ( 2nd ` a ) ( f e. B , g e. B |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) c ) , e e. ( ( f e. B , g e. B |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ` a ) |-> ( x e. I |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. ( comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) >. } ) ) |
68 |
66 67
|
sstri |
|- { <. ( .s ` ndx ) , ( f e. K , g e. B |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } C_ ( ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( +g ` P ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( .r ` P ) >. } u. { <. ( Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. K , g e. B |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( S gsum ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } ) u. ( { <. ( TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , { <. f , g >. | ( { f , g } C_ B /\ A. x e. I ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } >. , <. ( dist ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) >. } u. { <. ( Hom ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) >. , <. ( comp ` ndx ) , ( a e. ( B X. B ) , c e. B |-> ( d e. ( ( 2nd ` a ) ( f e. B , g e. B |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) c ) , e e. ( ( f e. B , g e. B |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ` a ) |-> ( x e. I |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. ( comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) >. } ) ) |
69 |
20 7 21 63 68
|
prdsbaslem |
|- ( ph -> .x. = ( f e. K , g e. B |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) |