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Theorem psrdir

Description: Distributive law for the ring of power series (right-distributivity). (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015)

Ref Expression
Hypotheses psrring.s 
|- S = ( I mPwSer R )
psrring.i 
|- ( ph -> I e. V )
psrring.r 
|- ( ph -> R e. Ring )
psrass.d 
|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
psrass.t 
|- .X. = ( .r ` S )
psrass.b 
|- B = ( Base ` S )
psrass.x 
|- ( ph -> X e. B )
psrass.y 
|- ( ph -> Y e. B )
psrass.z 
|- ( ph -> Z e. B )
psrdi.a 
|- .+ = ( +g ` S )
Assertion psrdir 
|- ( ph -> ( ( X .+ Y ) .X. Z ) = ( ( X .X. Z ) .+ ( Y .X. Z ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 psrring.s 
 |-  S = ( I mPwSer R )
2 psrring.i 
 |-  ( ph -> I e. V )
3 psrring.r 
 |-  ( ph -> R e. Ring )
4 psrass.d 
 |-  D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
5 psrass.t 
 |-  .X. = ( .r ` S )
6 psrass.b 
 |-  B = ( Base ` S )
7 psrass.x 
 |-  ( ph -> X e. B )
8 psrass.y 
 |-  ( ph -> Y e. B )
9 psrass.z 
 |-  ( ph -> Z e. B )
10 psrdi.a 
 |-  .+ = ( +g ` S )
11 eqid 
 |-  ( +g ` R ) = ( +g ` R )
12 1 6 11 10 7 8 psradd 
 |-  ( ph -> ( X .+ Y ) = ( X oF ( +g ` R ) Y ) )
13 12 fveq1d 
 |-  ( ph -> ( ( X .+ Y ) ` x ) = ( ( X oF ( +g ` R ) Y ) ` x ) )
14 13 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( ( X .+ Y ) ` x ) = ( ( X oF ( +g ` R ) Y ) ` x ) )
15 ssrab2 
 |-  { y e. D | y oR <_ k } C_ D
16 simpr 
 |-  ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> x e. { y e. D | y oR <_ k } )
17 15 16 sseldi 
 |-  ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> x e. D )
18 eqid 
 |-  ( Base ` R ) = ( Base ` R )
19 1 18 4 6 7 psrelbas 
 |-  ( ph -> X : D --> ( Base ` R ) )
20 19 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> X : D --> ( Base ` R ) )
21 20 ffnd 
 |-  ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> X Fn D )
22 1 18 4 6 8 psrelbas 
 |-  ( ph -> Y : D --> ( Base ` R ) )
23 22 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> Y : D --> ( Base ` R ) )
24 23 ffnd 
 |-  ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> Y Fn D )
25 ovex 
 |-  ( NN0 ^m I ) e. _V
26 4 25 rabex2 
 |-  D e. _V
27 26 a1i 
 |-  ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> D e. _V )
28 inidm 
 |-  ( D i^i D ) = D
29 eqidd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) /\ x e. D ) -> ( X ` x ) = ( X ` x ) )
30 eqidd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) /\ x e. D ) -> ( Y ` x ) = ( Y ` x ) )
31 21 24 27 27 28 29 30 ofval 
 |-  ( ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) /\ x e. D ) -> ( ( X oF ( +g ` R ) Y ) ` x ) = ( ( X ` x ) ( +g ` R ) ( Y ` x ) ) )
32 17 31 mpdan 
 |-  ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( ( X oF ( +g ` R ) Y ) ` x ) = ( ( X ` x ) ( +g ` R ) ( Y ` x ) ) )
33 14 32 eqtrd 
 |-  ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( ( X .+ Y ) ` x ) = ( ( X ` x ) ( +g ` R ) ( Y ` x ) ) )
34 33 oveq1d 
 |-  ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( ( ( X .+ Y ) ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) = ( ( ( X ` x ) ( +g ` R ) ( Y ` x ) ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) )
35 3 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> R e. Ring )
36 20 17 ffvelrnd 
 |-  ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( X ` x ) e. ( Base ` R ) )
37 23 17 ffvelrnd 
 |-  ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( Y ` x ) e. ( Base ` R ) )
38 1 18 4 6 9 psrelbas 
 |-  ( ph -> Z : D --> ( Base ` R ) )
39 38 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> Z : D --> ( Base ` R ) )
40 2 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> I e. V )
41 simplr 
 |-  ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> k e. D )
42 eqid 
 |-  { y e. D | y oR <_ k } = { y e. D | y oR <_ k }
43 4 42 psrbagconcl 
 |-  ( ( I e. V /\ k e. D /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( k oF - x ) e. { y e. D | y oR <_ k } )
44 40 41 16 43 syl3anc 
 |-  ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( k oF - x ) e. { y e. D | y oR <_ k } )
45 15 44 sseldi 
 |-  ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( k oF - x ) e. D )
46 39 45 ffvelrnd 
 |-  ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( Z ` ( k oF - x ) ) e. ( Base ` R ) )
47 eqid 
 |-  ( .r ` R ) = ( .r ` R )
48 18 11 47 ringdir 
 |-  ( ( R e. Ring /\ ( ( X ` x ) e. ( Base ` R ) /\ ( Y ` x ) e. ( Base ` R ) /\ ( Z ` ( k oF - x ) ) e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( ( X ` x ) ( +g ` R ) ( Y ` x ) ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) = ( ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) ( +g ` R ) ( ( Y ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) ) )
49 35 36 37 46 48 syl13anc 
 |-  ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( ( ( X ` x ) ( +g ` R ) ( Y ` x ) ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) = ( ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) ( +g ` R ) ( ( Y ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) ) )
50 34 49 eqtrd 
 |-  ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( ( ( X .+ Y ) ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) = ( ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) ( +g ` R ) ( ( Y ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) ) )
51 50 mpteq2dva 
 |-  ( ( ph /\ k e. D ) -> ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( ( X .+ Y ) ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) ) = ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) ( +g ` R ) ( ( Y ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) ) ) )
52 4 psrbaglefi 
 |-  ( ( I e. V /\ k e. D ) -> { y e. D | y oR <_ k } e. Fin )
53 2 52 sylan 
 |-  ( ( ph /\ k e. D ) -> { y e. D | y oR <_ k } e. Fin )
54 18 47 ringcl 
 |-  ( ( R e. Ring /\ ( X ` x ) e. ( Base ` R ) /\ ( Z ` ( k oF - x ) ) e. ( Base ` R ) ) -> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) e. ( Base ` R ) )
55 35 36 46 54 syl3anc 
 |-  ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) e. ( Base ` R ) )
56 18 47 ringcl 
 |-  ( ( R e. Ring /\ ( Y ` x ) e. ( Base ` R ) /\ ( Z ` ( k oF - x ) ) e. ( Base ` R ) ) -> ( ( Y ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) e. ( Base ` R ) )
57 35 37 46 56 syl3anc 
 |-  ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( ( Y ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) e. ( Base ` R ) )
58 eqidd 
 |-  ( ( ph /\ k e. D ) -> ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) ) = ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) ) )
59 eqidd 
 |-  ( ( ph /\ k e. D ) -> ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( Y ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) ) = ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( Y ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) ) )
60 53 55 57 58 59 offval2 
 |-  ( ( ph /\ k e. D ) -> ( ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) ) oF ( +g ` R ) ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( Y ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) ) ) = ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) ( +g ` R ) ( ( Y ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) ) ) )
61 51 60 eqtr4d 
 |-  ( ( ph /\ k e. D ) -> ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( ( X .+ Y ) ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) ) = ( ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) ) oF ( +g ` R ) ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( Y ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) ) ) )
62 61 oveq2d 
 |-  ( ( ph /\ k e. D ) -> ( R gsum ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( ( X .+ Y ) ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) ) ) = ( R gsum ( ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) ) oF ( +g ` R ) ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( Y ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) )
63 3 adantr 
 |-  ( ( ph /\ k e. D ) -> R e. Ring )
64 ringcmn 
 |-  ( R e. Ring -> R e. CMnd )
65 63 64 syl 
 |-  ( ( ph /\ k e. D ) -> R e. CMnd )
66 eqid 
 |-  ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) ) = ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) )
67 eqid 
 |-  ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( Y ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) ) = ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( Y ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) )
68 18 11 65 53 55 57 66 67 gsummptfidmadd2 
 |-  ( ( ph /\ k e. D ) -> ( R gsum ( ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) ) oF ( +g ` R ) ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( Y ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) = ( ( R gsum ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( Y ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) )
69 62 68 eqtrd 
 |-  ( ( ph /\ k e. D ) -> ( R gsum ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( ( X .+ Y ) ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) ) ) = ( ( R gsum ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( Y ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) )
70 69 mpteq2dva 
 |-  ( ph -> ( k e. D |-> ( R gsum ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( ( X .+ Y ) ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) = ( k e. D |-> ( ( R gsum ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( Y ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) )
71 ringgrp 
 |-  ( R e. Ring -> R e. Grp )
72 3 71 syl 
 |-  ( ph -> R e. Grp )
73 1 6 10 72 7 8 psraddcl 
 |-  ( ph -> ( X .+ Y ) e. B )
74 1 6 47 5 4 73 9 psrmulfval 
 |-  ( ph -> ( ( X .+ Y ) .X. Z ) = ( k e. D |-> ( R gsum ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( ( X .+ Y ) ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) )
75 1 6 5 3 7 9 psrmulcl 
 |-  ( ph -> ( X .X. Z ) e. B )
76 1 6 5 3 8 9 psrmulcl 
 |-  ( ph -> ( Y .X. Z ) e. B )
77 1 6 11 10 75 76 psradd 
 |-  ( ph -> ( ( X .X. Z ) .+ ( Y .X. Z ) ) = ( ( X .X. Z ) oF ( +g ` R ) ( Y .X. Z ) ) )
78 26 a1i 
 |-  ( ph -> D e. _V )
79 ovexd 
 |-  ( ( ph /\ k e. D ) -> ( R gsum ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) ) ) e. _V )
80 ovexd 
 |-  ( ( ph /\ k e. D ) -> ( R gsum ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( Y ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) ) ) e. _V )
81 1 6 47 5 4 7 9 psrmulfval 
 |-  ( ph -> ( X .X. Z ) = ( k e. D |-> ( R gsum ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) )
82 1 6 47 5 4 8 9 psrmulfval 
 |-  ( ph -> ( Y .X. Z ) = ( k e. D |-> ( R gsum ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( Y ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) )
83 78 79 80 81 82 offval2 
 |-  ( ph -> ( ( X .X. Z ) oF ( +g ` R ) ( Y .X. Z ) ) = ( k e. D |-> ( ( R gsum ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( Y ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) )
84 77 83 eqtrd 
 |-  ( ph -> ( ( X .X. Z ) .+ ( Y .X. Z ) ) = ( k e. D |-> ( ( R gsum ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( Y ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) )
85 70 74 84 3eqtr4d 
 |-  ( ph -> ( ( X .+ Y ) .X. Z ) = ( ( X .X. Z ) .+ ( Y .X. Z ) ) )