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Theorem pwsdiaglmhm

Description: Diagonal homomorphism into a structure power. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015)

Ref Expression
Hypotheses pwsdiaglmhm.y 
|- Y = ( R ^s I )
pwsdiaglmhm.b 
|- B = ( Base ` R )
pwsdiaglmhm.f 
|- F = ( x e. B |-> ( I X. { x } ) )
Assertion pwsdiaglmhm 
|- ( ( R e. LMod /\ I e. W ) -> F e. ( R LMHom Y ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 pwsdiaglmhm.y 
 |-  Y = ( R ^s I )
2 pwsdiaglmhm.b 
 |-  B = ( Base ` R )
3 pwsdiaglmhm.f 
 |-  F = ( x e. B |-> ( I X. { x } ) )
4 eqid 
 |-  ( .s ` R ) = ( .s ` R )
5 eqid 
 |-  ( .s ` Y ) = ( .s ` Y )
6 eqid 
 |-  ( Scalar ` R ) = ( Scalar ` R )
7 eqid 
 |-  ( Scalar ` Y ) = ( Scalar ` Y )
8 eqid 
 |-  ( Base ` ( Scalar ` R ) ) = ( Base ` ( Scalar ` R ) )
9 simpl 
 |-  ( ( R e. LMod /\ I e. W ) -> R e. LMod )
10 1 pwslmod 
 |-  ( ( R e. LMod /\ I e. W ) -> Y e. LMod )
11 1 6 pwssca 
 |-  ( ( R e. LMod /\ I e. W ) -> ( Scalar ` R ) = ( Scalar ` Y ) )
12 11 eqcomd 
 |-  ( ( R e. LMod /\ I e. W ) -> ( Scalar ` Y ) = ( Scalar ` R ) )
13 lmodgrp 
 |-  ( R e. LMod -> R e. Grp )
14 1 2 3 pwsdiagghm 
 |-  ( ( R e. Grp /\ I e. W ) -> F e. ( R GrpHom Y ) )
15 13 14 sylan 
 |-  ( ( R e. LMod /\ I e. W ) -> F e. ( R GrpHom Y ) )
16 simplr 
 |-  ( ( ( R e. LMod /\ I e. W ) /\ ( a e. ( Base ` ( Scalar ` R ) ) /\ b e. B ) ) -> I e. W )
17 2 6 4 8 lmodvscl 
 |-  ( ( R e. LMod /\ a e. ( Base ` ( Scalar ` R ) ) /\ b e. B ) -> ( a ( .s ` R ) b ) e. B )
18 17 3expb 
 |-  ( ( R e. LMod /\ ( a e. ( Base ` ( Scalar ` R ) ) /\ b e. B ) ) -> ( a ( .s ` R ) b ) e. B )
19 18 adantlr 
 |-  ( ( ( R e. LMod /\ I e. W ) /\ ( a e. ( Base ` ( Scalar ` R ) ) /\ b e. B ) ) -> ( a ( .s ` R ) b ) e. B )
20 3 fvdiagfn 
 |-  ( ( I e. W /\ ( a ( .s ` R ) b ) e. B ) -> ( F ` ( a ( .s ` R ) b ) ) = ( I X. { ( a ( .s ` R ) b ) } ) )
21 16 19 20 syl2anc 
 |-  ( ( ( R e. LMod /\ I e. W ) /\ ( a e. ( Base ` ( Scalar ` R ) ) /\ b e. B ) ) -> ( F ` ( a ( .s ` R ) b ) ) = ( I X. { ( a ( .s ` R ) b ) } ) )
22 3 fvdiagfn 
 |-  ( ( I e. W /\ b e. B ) -> ( F ` b ) = ( I X. { b } ) )
23 22 ad2ant2l 
 |-  ( ( ( R e. LMod /\ I e. W ) /\ ( a e. ( Base ` ( Scalar ` R ) ) /\ b e. B ) ) -> ( F ` b ) = ( I X. { b } ) )
24 23 oveq2d 
 |-  ( ( ( R e. LMod /\ I e. W ) /\ ( a e. ( Base ` ( Scalar ` R ) ) /\ b e. B ) ) -> ( a ( .s ` Y ) ( F ` b ) ) = ( a ( .s ` Y ) ( I X. { b } ) ) )
25 eqid 
 |-  ( Base ` Y ) = ( Base ` Y )
26 simpll 
 |-  ( ( ( R e. LMod /\ I e. W ) /\ ( a e. ( Base ` ( Scalar ` R ) ) /\ b e. B ) ) -> R e. LMod )
27 simprl 
 |-  ( ( ( R e. LMod /\ I e. W ) /\ ( a e. ( Base ` ( Scalar ` R ) ) /\ b e. B ) ) -> a e. ( Base ` ( Scalar ` R ) ) )
28 1 2 25 pwsdiagel 
 |-  ( ( ( R e. LMod /\ I e. W ) /\ b e. B ) -> ( I X. { b } ) e. ( Base ` Y ) )
29 28 adantrl 
 |-  ( ( ( R e. LMod /\ I e. W ) /\ ( a e. ( Base ` ( Scalar ` R ) ) /\ b e. B ) ) -> ( I X. { b } ) e. ( Base ` Y ) )
30 1 25 4 5 6 8 26 16 27 29 pwsvscafval 
 |-  ( ( ( R e. LMod /\ I e. W ) /\ ( a e. ( Base ` ( Scalar ` R ) ) /\ b e. B ) ) -> ( a ( .s ` Y ) ( I X. { b } ) ) = ( ( I X. { a } ) oF ( .s ` R ) ( I X. { b } ) ) )
31 id 
 |-  ( I e. W -> I e. W )
32 vex 
 |-  a e. _V
33 32 a1i 
 |-  ( I e. W -> a e. _V )
34 vex 
 |-  b e. _V
35 34 a1i 
 |-  ( I e. W -> b e. _V )
36 31 33 35 ofc12 
 |-  ( I e. W -> ( ( I X. { a } ) oF ( .s ` R ) ( I X. { b } ) ) = ( I X. { ( a ( .s ` R ) b ) } ) )
37 36 ad2antlr 
 |-  ( ( ( R e. LMod /\ I e. W ) /\ ( a e. ( Base ` ( Scalar ` R ) ) /\ b e. B ) ) -> ( ( I X. { a } ) oF ( .s ` R ) ( I X. { b } ) ) = ( I X. { ( a ( .s ` R ) b ) } ) )
38 24 30 37 3eqtrd 
 |-  ( ( ( R e. LMod /\ I e. W ) /\ ( a e. ( Base ` ( Scalar ` R ) ) /\ b e. B ) ) -> ( a ( .s ` Y ) ( F ` b ) ) = ( I X. { ( a ( .s ` R ) b ) } ) )
39 21 38 eqtr4d 
 |-  ( ( ( R e. LMod /\ I e. W ) /\ ( a e. ( Base ` ( Scalar ` R ) ) /\ b e. B ) ) -> ( F ` ( a ( .s ` R ) b ) ) = ( a ( .s ` Y ) ( F ` b ) ) )
40 2 4 5 6 7 8 9 10 12 15 39 islmhmd 
 |-  ( ( R e. LMod /\ I e. W ) -> F e. ( R LMHom Y ) )