Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
rlimresb.1 |
|- ( ph -> F : A --> CC ) |
2 |
|
rlimresb.2 |
|- ( ph -> A C_ RR ) |
3 |
|
rlimresb.3 |
|- ( ph -> B e. RR ) |
4 |
|
rlimcl |
|- ( ( x e. A |-> ( F ` x ) ) ~~>r C -> C e. CC ) |
5 |
4
|
a1i |
|- ( ph -> ( ( x e. A |-> ( F ` x ) ) ~~>r C -> C e. CC ) ) |
6 |
|
rlimcl |
|- ( ( x e. ( A i^i ( B [,) +oo ) ) |-> ( F ` x ) ) ~~>r C -> C e. CC ) |
7 |
6
|
a1i |
|- ( ph -> ( ( x e. ( A i^i ( B [,) +oo ) ) |-> ( F ` x ) ) ~~>r C -> C e. CC ) ) |
8 |
2
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( z e. ( B [,) +oo ) /\ ( x e. A /\ z <_ x ) ) ) -> A C_ RR ) |
9 |
|
simprrl |
|- ( ( ph /\ ( z e. ( B [,) +oo ) /\ ( x e. A /\ z <_ x ) ) ) -> x e. A ) |
10 |
8 9
|
sseldd |
|- ( ( ph /\ ( z e. ( B [,) +oo ) /\ ( x e. A /\ z <_ x ) ) ) -> x e. RR ) |
11 |
3
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( z e. ( B [,) +oo ) /\ ( x e. A /\ z <_ x ) ) ) -> B e. RR ) |
12 |
|
elicopnf |
|- ( B e. RR -> ( z e. ( B [,) +oo ) <-> ( z e. RR /\ B <_ z ) ) ) |
13 |
3 12
|
syl |
|- ( ph -> ( z e. ( B [,) +oo ) <-> ( z e. RR /\ B <_ z ) ) ) |
14 |
13
|
biimpa |
|- ( ( ph /\ z e. ( B [,) +oo ) ) -> ( z e. RR /\ B <_ z ) ) |
15 |
14
|
adantrr |
|- ( ( ph /\ ( z e. ( B [,) +oo ) /\ ( x e. A /\ z <_ x ) ) ) -> ( z e. RR /\ B <_ z ) ) |
16 |
15
|
simpld |
|- ( ( ph /\ ( z e. ( B [,) +oo ) /\ ( x e. A /\ z <_ x ) ) ) -> z e. RR ) |
17 |
15
|
simprd |
|- ( ( ph /\ ( z e. ( B [,) +oo ) /\ ( x e. A /\ z <_ x ) ) ) -> B <_ z ) |
18 |
|
simprrr |
|- ( ( ph /\ ( z e. ( B [,) +oo ) /\ ( x e. A /\ z <_ x ) ) ) -> z <_ x ) |
19 |
11 16 10 17 18
|
letrd |
|- ( ( ph /\ ( z e. ( B [,) +oo ) /\ ( x e. A /\ z <_ x ) ) ) -> B <_ x ) |
20 |
|
elicopnf |
|- ( B e. RR -> ( x e. ( B [,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ B <_ x ) ) ) |
21 |
11 20
|
syl |
|- ( ( ph /\ ( z e. ( B [,) +oo ) /\ ( x e. A /\ z <_ x ) ) ) -> ( x e. ( B [,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ B <_ x ) ) ) |
22 |
10 19 21
|
mpbir2and |
|- ( ( ph /\ ( z e. ( B [,) +oo ) /\ ( x e. A /\ z <_ x ) ) ) -> x e. ( B [,) +oo ) ) |
23 |
22
|
anassrs |
|- ( ( ( ph /\ z e. ( B [,) +oo ) ) /\ ( x e. A /\ z <_ x ) ) -> x e. ( B [,) +oo ) ) |
24 |
23
|
anassrs |
|- ( ( ( ( ph /\ z e. ( B [,) +oo ) ) /\ x e. A ) /\ z <_ x ) -> x e. ( B [,) +oo ) ) |
25 |
|
biimt |
|- ( x e. ( B [,) +oo ) -> ( ( abs ` ( ( F ` x ) - C ) ) < y <-> ( x e. ( B [,) +oo ) -> ( abs ` ( ( F ` x ) - C ) ) < y ) ) ) |
26 |
24 25
|
syl |
|- ( ( ( ( ph /\ z e. ( B [,) +oo ) ) /\ x e. A ) /\ z <_ x ) -> ( ( abs ` ( ( F ` x ) - C ) ) < y <-> ( x e. ( B [,) +oo ) -> ( abs ` ( ( F ` x ) - C ) ) < y ) ) ) |
27 |
26
|
pm5.74da |
|- ( ( ( ph /\ z e. ( B [,) +oo ) ) /\ x e. A ) -> ( ( z <_ x -> ( abs ` ( ( F ` x ) - C ) ) < y ) <-> ( z <_ x -> ( x e. ( B [,) +oo ) -> ( abs ` ( ( F ` x ) - C ) ) < y ) ) ) ) |
28 |
|
bi2.04 |
|- ( ( z <_ x -> ( x e. ( B [,) +oo ) -> ( abs ` ( ( F ` x ) - C ) ) < y ) ) <-> ( x e. ( B [,) +oo ) -> ( z <_ x -> ( abs ` ( ( F ` x ) - C ) ) < y ) ) ) |
29 |
27 28
|
bitrdi |
|- ( ( ( ph /\ z e. ( B [,) +oo ) ) /\ x e. A ) -> ( ( z <_ x -> ( abs ` ( ( F ` x ) - C ) ) < y ) <-> ( x e. ( B [,) +oo ) -> ( z <_ x -> ( abs ` ( ( F ` x ) - C ) ) < y ) ) ) ) |
30 |
29
|
pm5.74da |
|- ( ( ph /\ z e. ( B [,) +oo ) ) -> ( ( x e. A -> ( z <_ x -> ( abs ` ( ( F ` x ) - C ) ) < y ) ) <-> ( x e. A -> ( x e. ( B [,) +oo ) -> ( z <_ x -> ( abs ` ( ( F ` x ) - C ) ) < y ) ) ) ) ) |
31 |
|
elin |
|- ( x e. ( A i^i ( B [,) +oo ) ) <-> ( x e. A /\ x e. ( B [,) +oo ) ) ) |
32 |
31
|
imbi1i |
|- ( ( x e. ( A i^i ( B [,) +oo ) ) -> ( z <_ x -> ( abs ` ( ( F ` x ) - C ) ) < y ) ) <-> ( ( x e. A /\ x e. ( B [,) +oo ) ) -> ( z <_ x -> ( abs ` ( ( F ` x ) - C ) ) < y ) ) ) |
33 |
|
impexp |
|- ( ( ( x e. A /\ x e. ( B [,) +oo ) ) -> ( z <_ x -> ( abs ` ( ( F ` x ) - C ) ) < y ) ) <-> ( x e. A -> ( x e. ( B [,) +oo ) -> ( z <_ x -> ( abs ` ( ( F ` x ) - C ) ) < y ) ) ) ) |
34 |
32 33
|
bitri |
|- ( ( x e. ( A i^i ( B [,) +oo ) ) -> ( z <_ x -> ( abs ` ( ( F ` x ) - C ) ) < y ) ) <-> ( x e. A -> ( x e. ( B [,) +oo ) -> ( z <_ x -> ( abs ` ( ( F ` x ) - C ) ) < y ) ) ) ) |
35 |
30 34
|
bitr4di |
|- ( ( ph /\ z e. ( B [,) +oo ) ) -> ( ( x e. A -> ( z <_ x -> ( abs ` ( ( F ` x ) - C ) ) < y ) ) <-> ( x e. ( A i^i ( B [,) +oo ) ) -> ( z <_ x -> ( abs ` ( ( F ` x ) - C ) ) < y ) ) ) ) |
36 |
35
|
ralbidv2 |
|- ( ( ph /\ z e. ( B [,) +oo ) ) -> ( A. x e. A ( z <_ x -> ( abs ` ( ( F ` x ) - C ) ) < y ) <-> A. x e. ( A i^i ( B [,) +oo ) ) ( z <_ x -> ( abs ` ( ( F ` x ) - C ) ) < y ) ) ) |
37 |
36
|
rexbidva |
|- ( ph -> ( E. z e. ( B [,) +oo ) A. x e. A ( z <_ x -> ( abs ` ( ( F ` x ) - C ) ) < y ) <-> E. z e. ( B [,) +oo ) A. x e. ( A i^i ( B [,) +oo ) ) ( z <_ x -> ( abs ` ( ( F ` x ) - C ) ) < y ) ) ) |
38 |
37
|
ralbidv |
|- ( ph -> ( A. y e. RR+ E. z e. ( B [,) +oo ) A. x e. A ( z <_ x -> ( abs ` ( ( F ` x ) - C ) ) < y ) <-> A. y e. RR+ E. z e. ( B [,) +oo ) A. x e. ( A i^i ( B [,) +oo ) ) ( z <_ x -> ( abs ` ( ( F ` x ) - C ) ) < y ) ) ) |
39 |
38
|
adantr |
|- ( ( ph /\ C e. CC ) -> ( A. y e. RR+ E. z e. ( B [,) +oo ) A. x e. A ( z <_ x -> ( abs ` ( ( F ` x ) - C ) ) < y ) <-> A. y e. RR+ E. z e. ( B [,) +oo ) A. x e. ( A i^i ( B [,) +oo ) ) ( z <_ x -> ( abs ` ( ( F ` x ) - C ) ) < y ) ) ) |
40 |
1
|
ffvelrnda |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( F ` x ) e. CC ) |
41 |
40
|
ralrimiva |
|- ( ph -> A. x e. A ( F ` x ) e. CC ) |
42 |
41
|
adantr |
|- ( ( ph /\ C e. CC ) -> A. x e. A ( F ` x ) e. CC ) |
43 |
2
|
adantr |
|- ( ( ph /\ C e. CC ) -> A C_ RR ) |
44 |
|
simpr |
|- ( ( ph /\ C e. CC ) -> C e. CC ) |
45 |
3
|
adantr |
|- ( ( ph /\ C e. CC ) -> B e. RR ) |
46 |
42 43 44 45
|
rlim3 |
|- ( ( ph /\ C e. CC ) -> ( ( x e. A |-> ( F ` x ) ) ~~>r C <-> A. y e. RR+ E. z e. ( B [,) +oo ) A. x e. A ( z <_ x -> ( abs ` ( ( F ` x ) - C ) ) < y ) ) ) |
47 |
|
elinel1 |
|- ( x e. ( A i^i ( B [,) +oo ) ) -> x e. A ) |
48 |
47 40
|
sylan2 |
|- ( ( ph /\ x e. ( A i^i ( B [,) +oo ) ) ) -> ( F ` x ) e. CC ) |
49 |
48
|
ralrimiva |
|- ( ph -> A. x e. ( A i^i ( B [,) +oo ) ) ( F ` x ) e. CC ) |
50 |
49
|
adantr |
|- ( ( ph /\ C e. CC ) -> A. x e. ( A i^i ( B [,) +oo ) ) ( F ` x ) e. CC ) |
51 |
|
inss1 |
|- ( A i^i ( B [,) +oo ) ) C_ A |
52 |
51 2
|
sstrid |
|- ( ph -> ( A i^i ( B [,) +oo ) ) C_ RR ) |
53 |
52
|
adantr |
|- ( ( ph /\ C e. CC ) -> ( A i^i ( B [,) +oo ) ) C_ RR ) |
54 |
50 53 44 45
|
rlim3 |
|- ( ( ph /\ C e. CC ) -> ( ( x e. ( A i^i ( B [,) +oo ) ) |-> ( F ` x ) ) ~~>r C <-> A. y e. RR+ E. z e. ( B [,) +oo ) A. x e. ( A i^i ( B [,) +oo ) ) ( z <_ x -> ( abs ` ( ( F ` x ) - C ) ) < y ) ) ) |
55 |
39 46 54
|
3bitr4d |
|- ( ( ph /\ C e. CC ) -> ( ( x e. A |-> ( F ` x ) ) ~~>r C <-> ( x e. ( A i^i ( B [,) +oo ) ) |-> ( F ` x ) ) ~~>r C ) ) |
56 |
55
|
ex |
|- ( ph -> ( C e. CC -> ( ( x e. A |-> ( F ` x ) ) ~~>r C <-> ( x e. ( A i^i ( B [,) +oo ) ) |-> ( F ` x ) ) ~~>r C ) ) ) |
57 |
5 7 56
|
pm5.21ndd |
|- ( ph -> ( ( x e. A |-> ( F ` x ) ) ~~>r C <-> ( x e. ( A i^i ( B [,) +oo ) ) |-> ( F ` x ) ) ~~>r C ) ) |
58 |
1
|
feqmptd |
|- ( ph -> F = ( x e. A |-> ( F ` x ) ) ) |
59 |
58
|
breq1d |
|- ( ph -> ( F ~~>r C <-> ( x e. A |-> ( F ` x ) ) ~~>r C ) ) |
60 |
|
resres |
|- ( ( F |` A ) |` ( B [,) +oo ) ) = ( F |` ( A i^i ( B [,) +oo ) ) ) |
61 |
|
ffn |
|- ( F : A --> CC -> F Fn A ) |
62 |
|
fnresdm |
|- ( F Fn A -> ( F |` A ) = F ) |
63 |
1 61 62
|
3syl |
|- ( ph -> ( F |` A ) = F ) |
64 |
63
|
reseq1d |
|- ( ph -> ( ( F |` A ) |` ( B [,) +oo ) ) = ( F |` ( B [,) +oo ) ) ) |
65 |
58
|
reseq1d |
|- ( ph -> ( F |` ( A i^i ( B [,) +oo ) ) ) = ( ( x e. A |-> ( F ` x ) ) |` ( A i^i ( B [,) +oo ) ) ) ) |
66 |
|
resmpt |
|- ( ( A i^i ( B [,) +oo ) ) C_ A -> ( ( x e. A |-> ( F ` x ) ) |` ( A i^i ( B [,) +oo ) ) ) = ( x e. ( A i^i ( B [,) +oo ) ) |-> ( F ` x ) ) ) |
67 |
51 66
|
ax-mp |
|- ( ( x e. A |-> ( F ` x ) ) |` ( A i^i ( B [,) +oo ) ) ) = ( x e. ( A i^i ( B [,) +oo ) ) |-> ( F ` x ) ) |
68 |
65 67
|
eqtrdi |
|- ( ph -> ( F |` ( A i^i ( B [,) +oo ) ) ) = ( x e. ( A i^i ( B [,) +oo ) ) |-> ( F ` x ) ) ) |
69 |
60 64 68
|
3eqtr3a |
|- ( ph -> ( F |` ( B [,) +oo ) ) = ( x e. ( A i^i ( B [,) +oo ) ) |-> ( F ` x ) ) ) |
70 |
69
|
breq1d |
|- ( ph -> ( ( F |` ( B [,) +oo ) ) ~~>r C <-> ( x e. ( A i^i ( B [,) +oo ) ) |-> ( F ` x ) ) ~~>r C ) ) |
71 |
57 59 70
|
3bitr4d |
|- ( ph -> ( F ~~>r C <-> ( F |` ( B [,) +oo ) ) ~~>r C ) ) |