Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
difeq2 |
|- ( u = x -> ( A \ u ) = ( A \ x ) ) |
2 |
1
|
eleq1d |
|- ( u = x -> ( ( A \ u ) e. Y <-> ( A \ x ) e. Y ) ) |
3 |
2
|
elrab |
|- ( x e. { u e. ~P A | ( A \ u ) e. Y } <-> ( x e. ~P A /\ ( A \ x ) e. Y ) ) |
4 |
|
difeq2 |
|- ( u = y -> ( A \ u ) = ( A \ y ) ) |
5 |
4
|
eleq1d |
|- ( u = y -> ( ( A \ u ) e. Y <-> ( A \ y ) e. Y ) ) |
6 |
5
|
elrab |
|- ( y e. { u e. ~P A | ( A \ u ) e. Y } <-> ( y e. ~P A /\ ( A \ y ) e. Y ) ) |
7 |
|
an4 |
|- ( ( ( x e. ~P A /\ ( A \ x ) e. Y ) /\ ( y e. ~P A /\ ( A \ y ) e. Y ) ) <-> ( ( x e. ~P A /\ y e. ~P A ) /\ ( ( A \ x ) e. Y /\ ( A \ y ) e. Y ) ) ) |
8 |
7
|
biimpi |
|- ( ( ( x e. ~P A /\ ( A \ x ) e. Y ) /\ ( y e. ~P A /\ ( A \ y ) e. Y ) ) -> ( ( x e. ~P A /\ y e. ~P A ) /\ ( ( A \ x ) e. Y /\ ( A \ y ) e. Y ) ) ) |
9 |
3 6 8
|
syl2anb |
|- ( ( x e. { u e. ~P A | ( A \ u ) e. Y } /\ y e. { u e. ~P A | ( A \ u ) e. Y } ) -> ( ( x e. ~P A /\ y e. ~P A ) /\ ( ( A \ x ) e. Y /\ ( A \ y ) e. Y ) ) ) |
10 |
|
sorpssi |
|- ( ( [C.] Or Y /\ ( ( A \ x ) e. Y /\ ( A \ y ) e. Y ) ) -> ( ( A \ x ) C_ ( A \ y ) \/ ( A \ y ) C_ ( A \ x ) ) ) |
11 |
10
|
expcom |
|- ( ( ( A \ x ) e. Y /\ ( A \ y ) e. Y ) -> ( [C.] Or Y -> ( ( A \ x ) C_ ( A \ y ) \/ ( A \ y ) C_ ( A \ x ) ) ) ) |
12 |
|
velpw |
|- ( x e. ~P A <-> x C_ A ) |
13 |
|
dfss4 |
|- ( x C_ A <-> ( A \ ( A \ x ) ) = x ) |
14 |
12 13
|
bitri |
|- ( x e. ~P A <-> ( A \ ( A \ x ) ) = x ) |
15 |
|
velpw |
|- ( y e. ~P A <-> y C_ A ) |
16 |
|
dfss4 |
|- ( y C_ A <-> ( A \ ( A \ y ) ) = y ) |
17 |
15 16
|
bitri |
|- ( y e. ~P A <-> ( A \ ( A \ y ) ) = y ) |
18 |
|
sscon |
|- ( ( A \ y ) C_ ( A \ x ) -> ( A \ ( A \ x ) ) C_ ( A \ ( A \ y ) ) ) |
19 |
|
sseq12 |
|- ( ( ( A \ ( A \ x ) ) = x /\ ( A \ ( A \ y ) ) = y ) -> ( ( A \ ( A \ x ) ) C_ ( A \ ( A \ y ) ) <-> x C_ y ) ) |
20 |
18 19
|
syl5ib |
|- ( ( ( A \ ( A \ x ) ) = x /\ ( A \ ( A \ y ) ) = y ) -> ( ( A \ y ) C_ ( A \ x ) -> x C_ y ) ) |
21 |
|
sscon |
|- ( ( A \ x ) C_ ( A \ y ) -> ( A \ ( A \ y ) ) C_ ( A \ ( A \ x ) ) ) |
22 |
|
sseq12 |
|- ( ( ( A \ ( A \ y ) ) = y /\ ( A \ ( A \ x ) ) = x ) -> ( ( A \ ( A \ y ) ) C_ ( A \ ( A \ x ) ) <-> y C_ x ) ) |
23 |
22
|
ancoms |
|- ( ( ( A \ ( A \ x ) ) = x /\ ( A \ ( A \ y ) ) = y ) -> ( ( A \ ( A \ y ) ) C_ ( A \ ( A \ x ) ) <-> y C_ x ) ) |
24 |
21 23
|
syl5ib |
|- ( ( ( A \ ( A \ x ) ) = x /\ ( A \ ( A \ y ) ) = y ) -> ( ( A \ x ) C_ ( A \ y ) -> y C_ x ) ) |
25 |
20 24
|
orim12d |
|- ( ( ( A \ ( A \ x ) ) = x /\ ( A \ ( A \ y ) ) = y ) -> ( ( ( A \ y ) C_ ( A \ x ) \/ ( A \ x ) C_ ( A \ y ) ) -> ( x C_ y \/ y C_ x ) ) ) |
26 |
14 17 25
|
syl2anb |
|- ( ( x e. ~P A /\ y e. ~P A ) -> ( ( ( A \ y ) C_ ( A \ x ) \/ ( A \ x ) C_ ( A \ y ) ) -> ( x C_ y \/ y C_ x ) ) ) |
27 |
26
|
com12 |
|- ( ( ( A \ y ) C_ ( A \ x ) \/ ( A \ x ) C_ ( A \ y ) ) -> ( ( x e. ~P A /\ y e. ~P A ) -> ( x C_ y \/ y C_ x ) ) ) |
28 |
27
|
orcoms |
|- ( ( ( A \ x ) C_ ( A \ y ) \/ ( A \ y ) C_ ( A \ x ) ) -> ( ( x e. ~P A /\ y e. ~P A ) -> ( x C_ y \/ y C_ x ) ) ) |
29 |
11 28
|
syl6 |
|- ( ( ( A \ x ) e. Y /\ ( A \ y ) e. Y ) -> ( [C.] Or Y -> ( ( x e. ~P A /\ y e. ~P A ) -> ( x C_ y \/ y C_ x ) ) ) ) |
30 |
29
|
com3l |
|- ( [C.] Or Y -> ( ( x e. ~P A /\ y e. ~P A ) -> ( ( ( A \ x ) e. Y /\ ( A \ y ) e. Y ) -> ( x C_ y \/ y C_ x ) ) ) ) |
31 |
30
|
impd |
|- ( [C.] Or Y -> ( ( ( x e. ~P A /\ y e. ~P A ) /\ ( ( A \ x ) e. Y /\ ( A \ y ) e. Y ) ) -> ( x C_ y \/ y C_ x ) ) ) |
32 |
9 31
|
syl5 |
|- ( [C.] Or Y -> ( ( x e. { u e. ~P A | ( A \ u ) e. Y } /\ y e. { u e. ~P A | ( A \ u ) e. Y } ) -> ( x C_ y \/ y C_ x ) ) ) |
33 |
32
|
ralrimivv |
|- ( [C.] Or Y -> A. x e. { u e. ~P A | ( A \ u ) e. Y } A. y e. { u e. ~P A | ( A \ u ) e. Y } ( x C_ y \/ y C_ x ) ) |
34 |
|
sorpss |
|- ( [C.] Or { u e. ~P A | ( A \ u ) e. Y } <-> A. x e. { u e. ~P A | ( A \ u ) e. Y } A. y e. { u e. ~P A | ( A \ u ) e. Y } ( x C_ y \/ y C_ x ) ) |
35 |
33 34
|
sylibr |
|- ( [C.] Or Y -> [C.] Or { u e. ~P A | ( A \ u ) e. Y } ) |