Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
sspmlem.y |
|- Y = ( BaseSet ` W ) |
2 |
|
sspmlem.h |
|- H = ( SubSp ` U ) |
3 |
|
sspmlem.1 |
|- ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> ( x F y ) = ( x G y ) ) |
4 |
|
sspmlem.2 |
|- ( W e. NrmCVec -> F : ( Y X. Y ) --> R ) |
5 |
|
sspmlem.3 |
|- ( U e. NrmCVec -> G : ( ( BaseSet ` U ) X. ( BaseSet ` U ) ) --> S ) |
6 |
|
ovres |
|- ( ( x e. Y /\ y e. Y ) -> ( x ( G |` ( Y X. Y ) ) y ) = ( x G y ) ) |
7 |
6
|
adantl |
|- ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> ( x ( G |` ( Y X. Y ) ) y ) = ( x G y ) ) |
8 |
3 7
|
eqtr4d |
|- ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> ( x F y ) = ( x ( G |` ( Y X. Y ) ) y ) ) |
9 |
8
|
ralrimivva |
|- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) -> A. x e. Y A. y e. Y ( x F y ) = ( x ( G |` ( Y X. Y ) ) y ) ) |
10 |
|
eqid |
|- ( Y X. Y ) = ( Y X. Y ) |
11 |
9 10
|
jctil |
|- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) -> ( ( Y X. Y ) = ( Y X. Y ) /\ A. x e. Y A. y e. Y ( x F y ) = ( x ( G |` ( Y X. Y ) ) y ) ) ) |
12 |
2
|
sspnv |
|- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) -> W e. NrmCVec ) |
13 |
|
ffn |
|- ( F : ( Y X. Y ) --> R -> F Fn ( Y X. Y ) ) |
14 |
12 4 13
|
3syl |
|- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) -> F Fn ( Y X. Y ) ) |
15 |
5
|
ffnd |
|- ( U e. NrmCVec -> G Fn ( ( BaseSet ` U ) X. ( BaseSet ` U ) ) ) |
16 |
15
|
adantr |
|- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) -> G Fn ( ( BaseSet ` U ) X. ( BaseSet ` U ) ) ) |
17 |
|
eqid |
|- ( BaseSet ` U ) = ( BaseSet ` U ) |
18 |
17 1 2
|
sspba |
|- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) -> Y C_ ( BaseSet ` U ) ) |
19 |
|
xpss12 |
|- ( ( Y C_ ( BaseSet ` U ) /\ Y C_ ( BaseSet ` U ) ) -> ( Y X. Y ) C_ ( ( BaseSet ` U ) X. ( BaseSet ` U ) ) ) |
20 |
18 18 19
|
syl2anc |
|- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) -> ( Y X. Y ) C_ ( ( BaseSet ` U ) X. ( BaseSet ` U ) ) ) |
21 |
|
fnssres |
|- ( ( G Fn ( ( BaseSet ` U ) X. ( BaseSet ` U ) ) /\ ( Y X. Y ) C_ ( ( BaseSet ` U ) X. ( BaseSet ` U ) ) ) -> ( G |` ( Y X. Y ) ) Fn ( Y X. Y ) ) |
22 |
16 20 21
|
syl2anc |
|- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) -> ( G |` ( Y X. Y ) ) Fn ( Y X. Y ) ) |
23 |
|
eqfnov |
|- ( ( F Fn ( Y X. Y ) /\ ( G |` ( Y X. Y ) ) Fn ( Y X. Y ) ) -> ( F = ( G |` ( Y X. Y ) ) <-> ( ( Y X. Y ) = ( Y X. Y ) /\ A. x e. Y A. y e. Y ( x F y ) = ( x ( G |` ( Y X. Y ) ) y ) ) ) ) |
24 |
14 22 23
|
syl2anc |
|- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) -> ( F = ( G |` ( Y X. Y ) ) <-> ( ( Y X. Y ) = ( Y X. Y ) /\ A. x e. Y A. y e. Y ( x F y ) = ( x ( G |` ( Y X. Y ) ) y ) ) ) ) |
25 |
11 24
|
mpbird |
|- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) -> F = ( G |` ( Y X. Y ) ) ) |