Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
ssps.y |
|- Y = ( BaseSet ` W ) |
2 |
|
ssps.s |
|- S = ( .sOLD ` U ) |
3 |
|
ssps.r |
|- R = ( .sOLD ` W ) |
4 |
|
ssps.h |
|- H = ( SubSp ` U ) |
5 |
|
eqid |
|- ( BaseSet ` U ) = ( BaseSet ` U ) |
6 |
5 2
|
nvsf |
|- ( U e. NrmCVec -> S : ( CC X. ( BaseSet ` U ) ) --> ( BaseSet ` U ) ) |
7 |
6
|
ffund |
|- ( U e. NrmCVec -> Fun S ) |
8 |
7
|
funresd |
|- ( U e. NrmCVec -> Fun ( S |` ( CC X. Y ) ) ) |
9 |
8
|
adantr |
|- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) -> Fun ( S |` ( CC X. Y ) ) ) |
10 |
4
|
sspnv |
|- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) -> W e. NrmCVec ) |
11 |
1 3
|
nvsf |
|- ( W e. NrmCVec -> R : ( CC X. Y ) --> Y ) |
12 |
10 11
|
syl |
|- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) -> R : ( CC X. Y ) --> Y ) |
13 |
12
|
ffnd |
|- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) -> R Fn ( CC X. Y ) ) |
14 |
|
fnresdm |
|- ( R Fn ( CC X. Y ) -> ( R |` ( CC X. Y ) ) = R ) |
15 |
13 14
|
syl |
|- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) -> ( R |` ( CC X. Y ) ) = R ) |
16 |
|
eqid |
|- ( +v ` U ) = ( +v ` U ) |
17 |
|
eqid |
|- ( +v ` W ) = ( +v ` W ) |
18 |
|
eqid |
|- ( normCV ` U ) = ( normCV ` U ) |
19 |
|
eqid |
|- ( normCV ` W ) = ( normCV ` W ) |
20 |
16 17 2 3 18 19 4
|
isssp |
|- ( U e. NrmCVec -> ( W e. H <-> ( W e. NrmCVec /\ ( ( +v ` W ) C_ ( +v ` U ) /\ R C_ S /\ ( normCV ` W ) C_ ( normCV ` U ) ) ) ) ) |
21 |
20
|
simplbda |
|- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) -> ( ( +v ` W ) C_ ( +v ` U ) /\ R C_ S /\ ( normCV ` W ) C_ ( normCV ` U ) ) ) |
22 |
21
|
simp2d |
|- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) -> R C_ S ) |
23 |
|
ssres |
|- ( R C_ S -> ( R |` ( CC X. Y ) ) C_ ( S |` ( CC X. Y ) ) ) |
24 |
22 23
|
syl |
|- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) -> ( R |` ( CC X. Y ) ) C_ ( S |` ( CC X. Y ) ) ) |
25 |
15 24
|
eqsstrrd |
|- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) -> R C_ ( S |` ( CC X. Y ) ) ) |
26 |
9 13 25
|
3jca |
|- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) -> ( Fun ( S |` ( CC X. Y ) ) /\ R Fn ( CC X. Y ) /\ R C_ ( S |` ( CC X. Y ) ) ) ) |
27 |
|
oprssov |
|- ( ( ( Fun ( S |` ( CC X. Y ) ) /\ R Fn ( CC X. Y ) /\ R C_ ( S |` ( CC X. Y ) ) ) /\ ( x e. CC /\ y e. Y ) ) -> ( x ( S |` ( CC X. Y ) ) y ) = ( x R y ) ) |
28 |
26 27
|
sylan |
|- ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) /\ ( x e. CC /\ y e. Y ) ) -> ( x ( S |` ( CC X. Y ) ) y ) = ( x R y ) ) |
29 |
28
|
eqcomd |
|- ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) /\ ( x e. CC /\ y e. Y ) ) -> ( x R y ) = ( x ( S |` ( CC X. Y ) ) y ) ) |
30 |
29
|
ralrimivva |
|- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) -> A. x e. CC A. y e. Y ( x R y ) = ( x ( S |` ( CC X. Y ) ) y ) ) |
31 |
|
eqid |
|- ( CC X. Y ) = ( CC X. Y ) |
32 |
30 31
|
jctil |
|- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) -> ( ( CC X. Y ) = ( CC X. Y ) /\ A. x e. CC A. y e. Y ( x R y ) = ( x ( S |` ( CC X. Y ) ) y ) ) ) |
33 |
6
|
ffnd |
|- ( U e. NrmCVec -> S Fn ( CC X. ( BaseSet ` U ) ) ) |
34 |
33
|
adantr |
|- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) -> S Fn ( CC X. ( BaseSet ` U ) ) ) |
35 |
|
ssid |
|- CC C_ CC |
36 |
5 1 4
|
sspba |
|- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) -> Y C_ ( BaseSet ` U ) ) |
37 |
|
xpss12 |
|- ( ( CC C_ CC /\ Y C_ ( BaseSet ` U ) ) -> ( CC X. Y ) C_ ( CC X. ( BaseSet ` U ) ) ) |
38 |
35 36 37
|
sylancr |
|- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) -> ( CC X. Y ) C_ ( CC X. ( BaseSet ` U ) ) ) |
39 |
|
fnssres |
|- ( ( S Fn ( CC X. ( BaseSet ` U ) ) /\ ( CC X. Y ) C_ ( CC X. ( BaseSet ` U ) ) ) -> ( S |` ( CC X. Y ) ) Fn ( CC X. Y ) ) |
40 |
34 38 39
|
syl2anc |
|- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) -> ( S |` ( CC X. Y ) ) Fn ( CC X. Y ) ) |
41 |
|
eqfnov |
|- ( ( R Fn ( CC X. Y ) /\ ( S |` ( CC X. Y ) ) Fn ( CC X. Y ) ) -> ( R = ( S |` ( CC X. Y ) ) <-> ( ( CC X. Y ) = ( CC X. Y ) /\ A. x e. CC A. y e. Y ( x R y ) = ( x ( S |` ( CC X. Y ) ) y ) ) ) ) |
42 |
13 40 41
|
syl2anc |
|- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) -> ( R = ( S |` ( CC X. Y ) ) <-> ( ( CC X. Y ) = ( CC X. Y ) /\ A. x e. CC A. y e. Y ( x R y ) = ( x ( S |` ( CC X. Y ) ) y ) ) ) ) |
43 |
32 42
|
mpbird |
|- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) -> R = ( S |` ( CC X. Y ) ) ) |