Metamath Proof Explorer


Theorem tendoipl

Description: Property of the additive inverse endomorphism. (Contributed by NM, 12-Jun-2013)

Ref Expression
Hypotheses tendoicl.h
|- H = ( LHyp ` K )
tendoicl.t
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
tendoicl.e
|- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
tendoicl.i
|- I = ( s e. E |-> ( f e. T |-> `' ( s ` f ) ) )
tendoi.b
|- B = ( Base ` K )
tendoi.p
|- P = ( s e. E , t e. E |-> ( f e. T |-> ( ( s ` f ) o. ( t ` f ) ) ) )
tendoi.o
|- O = ( f e. T |-> ( _I |` B ) )
Assertion tendoipl
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E ) -> ( ( I ` S ) P S ) = O )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 tendoicl.h
 |-  H = ( LHyp ` K )
2 tendoicl.t
 |-  T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
3 tendoicl.e
 |-  E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
4 tendoicl.i
 |-  I = ( s e. E |-> ( f e. T |-> `' ( s ` f ) ) )
5 tendoi.b
 |-  B = ( Base ` K )
6 tendoi.p
 |-  P = ( s e. E , t e. E |-> ( f e. T |-> ( ( s ` f ) o. ( t ` f ) ) ) )
7 tendoi.o
 |-  O = ( f e. T |-> ( _I |` B ) )
8 simpl
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
9 1 2 3 4 tendoicl
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E ) -> ( I ` S ) e. E )
10 simpr
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E ) -> S e. E )
11 1 2 3 6 tendoplcl
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( I ` S ) e. E /\ S e. E ) -> ( ( I ` S ) P S ) e. E )
12 8 9 10 11 syl3anc
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E ) -> ( ( I ` S ) P S ) e. E )
13 5 1 2 3 7 tendo0cl
 |-  ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> O e. E )
14 13 adantr
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E ) -> O e. E )
15 4 2 tendoi2
 |-  ( ( S e. E /\ g e. T ) -> ( ( I ` S ) ` g ) = `' ( S ` g ) )
16 15 adantll
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E ) /\ g e. T ) -> ( ( I ` S ) ` g ) = `' ( S ` g ) )
17 16 coeq1d
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E ) /\ g e. T ) -> ( ( ( I ` S ) ` g ) o. ( S ` g ) ) = ( `' ( S ` g ) o. ( S ` g ) ) )
18 simpll
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E ) /\ g e. T ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
19 1 2 3 tendocl
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ g e. T ) -> ( S ` g ) e. T )
20 19 3expa
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E ) /\ g e. T ) -> ( S ` g ) e. T )
21 5 1 2 ltrn1o
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S ` g ) e. T ) -> ( S ` g ) : B -1-1-onto-> B )
22 18 20 21 syl2anc
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E ) /\ g e. T ) -> ( S ` g ) : B -1-1-onto-> B )
23 f1ococnv1
 |-  ( ( S ` g ) : B -1-1-onto-> B -> ( `' ( S ` g ) o. ( S ` g ) ) = ( _I |` B ) )
24 22 23 syl
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E ) /\ g e. T ) -> ( `' ( S ` g ) o. ( S ` g ) ) = ( _I |` B ) )
25 17 24 eqtrd
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E ) /\ g e. T ) -> ( ( ( I ` S ) ` g ) o. ( S ` g ) ) = ( _I |` B ) )
26 9 adantr
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E ) /\ g e. T ) -> ( I ` S ) e. E )
27 simplr
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E ) /\ g e. T ) -> S e. E )
28 simpr
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E ) /\ g e. T ) -> g e. T )
29 6 2 tendopl2
 |-  ( ( ( I ` S ) e. E /\ S e. E /\ g e. T ) -> ( ( ( I ` S ) P S ) ` g ) = ( ( ( I ` S ) ` g ) o. ( S ` g ) ) )
30 26 27 28 29 syl3anc
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E ) /\ g e. T ) -> ( ( ( I ` S ) P S ) ` g ) = ( ( ( I ` S ) ` g ) o. ( S ` g ) ) )
31 7 5 tendo02
 |-  ( g e. T -> ( O ` g ) = ( _I |` B ) )
32 31 adantl
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E ) /\ g e. T ) -> ( O ` g ) = ( _I |` B ) )
33 25 30 32 3eqtr4d
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E ) /\ g e. T ) -> ( ( ( I ` S ) P S ) ` g ) = ( O ` g ) )
34 33 ralrimiva
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E ) -> A. g e. T ( ( ( I ` S ) P S ) ` g ) = ( O ` g ) )
35 1 2 3 tendoeq1
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( ( I ` S ) P S ) e. E /\ O e. E ) /\ A. g e. T ( ( ( I ` S ) P S ) ` g ) = ( O ` g ) ) -> ( ( I ` S ) P S ) = O )
36 8 12 14 34 35 syl121anc
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E ) -> ( ( I ` S ) P S ) = O )