| Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
| 1 |
|
weiun.1 |
|- F = ( w e. U_ x e. A B |-> ( iota_ u e. { x e. A | w e. B } A. v e. { x e. A | w e. B } -. v R u ) ) |
| 2 |
|
weiun.2 |
|- T = { <. y , z >. | ( ( y e. U_ x e. A B /\ z e. U_ x e. A B ) /\ ( ( F ` y ) R ( F ` z ) \/ ( ( F ` y ) = ( F ` z ) /\ y [_ ( F ` y ) / x ]_ S z ) ) ) } |
| 3 |
|
sopo |
|- ( S Or B -> S Po B ) |
| 4 |
3
|
ralimi |
|- ( A. x e. A S Or B -> A. x e. A S Po B ) |
| 5 |
1 2
|
weiunpo |
|- ( ( R We A /\ R Se A /\ A. x e. A S Po B ) -> T Po U_ x e. A B ) |
| 6 |
4 5
|
syl3an3 |
|- ( ( R We A /\ R Se A /\ A. x e. A S Or B ) -> T Po U_ x e. A B ) |
| 7 |
|
simplrl |
|- ( ( ( ( R We A /\ R Se A /\ A. x e. A S Or B ) /\ ( q e. U_ x e. A B /\ r e. U_ x e. A B ) ) /\ ( F ` q ) R ( F ` r ) ) -> q e. U_ x e. A B ) |
| 8 |
|
simplrr |
|- ( ( ( ( R We A /\ R Se A /\ A. x e. A S Or B ) /\ ( q e. U_ x e. A B /\ r e. U_ x e. A B ) ) /\ ( F ` q ) R ( F ` r ) ) -> r e. U_ x e. A B ) |
| 9 |
|
animorrl |
|- ( ( ( ( R We A /\ R Se A /\ A. x e. A S Or B ) /\ ( q e. U_ x e. A B /\ r e. U_ x e. A B ) ) /\ ( F ` q ) R ( F ` r ) ) -> ( ( F ` q ) R ( F ` r ) \/ ( ( F ` q ) = ( F ` r ) /\ q [_ ( F ` q ) / x ]_ S r ) ) ) |
| 10 |
1 2
|
weiunlem1 |
|- ( q T r <-> ( ( q e. U_ x e. A B /\ r e. U_ x e. A B ) /\ ( ( F ` q ) R ( F ` r ) \/ ( ( F ` q ) = ( F ` r ) /\ q [_ ( F ` q ) / x ]_ S r ) ) ) ) |
| 11 |
7 8 9 10
|
syl21anbrc |
|- ( ( ( ( R We A /\ R Se A /\ A. x e. A S Or B ) /\ ( q e. U_ x e. A B /\ r e. U_ x e. A B ) ) /\ ( F ` q ) R ( F ` r ) ) -> q T r ) |
| 12 |
11
|
3mix1d |
|- ( ( ( ( R We A /\ R Se A /\ A. x e. A S Or B ) /\ ( q e. U_ x e. A B /\ r e. U_ x e. A B ) ) /\ ( F ` q ) R ( F ` r ) ) -> ( q T r \/ q = r \/ r T q ) ) |
| 13 |
|
csbeq1 |
|- ( s = ( F ` q ) -> [_ s / x ]_ S = [_ ( F ` q ) / x ]_ S ) |
| 14 |
|
csbeq1 |
|- ( s = ( F ` q ) -> [_ s / x ]_ B = [_ ( F ` q ) / x ]_ B ) |
| 15 |
13 14
|
soeq12d |
|- ( s = ( F ` q ) -> ( [_ s / x ]_ S Or [_ s / x ]_ B <-> [_ ( F ` q ) / x ]_ S Or [_ ( F ` q ) / x ]_ B ) ) |
| 16 |
|
simpll3 |
|- ( ( ( ( R We A /\ R Se A /\ A. x e. A S Or B ) /\ ( q e. U_ x e. A B /\ r e. U_ x e. A B ) ) /\ ( F ` q ) = ( F ` r ) ) -> A. x e. A S Or B ) |
| 17 |
|
nfv |
|- F/ s S Or B |
| 18 |
|
nfcsb1v |
|- F/_ x [_ s / x ]_ S |
| 19 |
|
nfcsb1v |
|- F/_ x [_ s / x ]_ B |
| 20 |
18 19
|
nfso |
|- F/ x [_ s / x ]_ S Or [_ s / x ]_ B |
| 21 |
|
csbeq1a |
|- ( x = s -> S = [_ s / x ]_ S ) |
| 22 |
|
csbeq1a |
|- ( x = s -> B = [_ s / x ]_ B ) |
| 23 |
21 22
|
soeq12d |
|- ( x = s -> ( S Or B <-> [_ s / x ]_ S Or [_ s / x ]_ B ) ) |
| 24 |
17 20 23
|
cbvralw |
|- ( A. x e. A S Or B <-> A. s e. A [_ s / x ]_ S Or [_ s / x ]_ B ) |
| 25 |
16 24
|
sylib |
|- ( ( ( ( R We A /\ R Se A /\ A. x e. A S Or B ) /\ ( q e. U_ x e. A B /\ r e. U_ x e. A B ) ) /\ ( F ` q ) = ( F ` r ) ) -> A. s e. A [_ s / x ]_ S Or [_ s / x ]_ B ) |
| 26 |
|
simpl1 |
|- ( ( ( R We A /\ R Se A /\ A. x e. A S Or B ) /\ ( q e. U_ x e. A B /\ r e. U_ x e. A B ) ) -> R We A ) |
| 27 |
|
simpl2 |
|- ( ( ( R We A /\ R Se A /\ A. x e. A S Or B ) /\ ( q e. U_ x e. A B /\ r e. U_ x e. A B ) ) -> R Se A ) |
| 28 |
1 2 26 27
|
weiunlem2 |
|- ( ( ( R We A /\ R Se A /\ A. x e. A S Or B ) /\ ( q e. U_ x e. A B /\ r e. U_ x e. A B ) ) -> ( F : U_ x e. A B --> A /\ A. t e. U_ x e. A B t e. [_ ( F ` t ) / x ]_ B /\ A. s e. A A. t e. [_ s / x ]_ B -. s R ( F ` t ) ) ) |
| 29 |
28
|
simp1d |
|- ( ( ( R We A /\ R Se A /\ A. x e. A S Or B ) /\ ( q e. U_ x e. A B /\ r e. U_ x e. A B ) ) -> F : U_ x e. A B --> A ) |
| 30 |
|
simprl |
|- ( ( ( R We A /\ R Se A /\ A. x e. A S Or B ) /\ ( q e. U_ x e. A B /\ r e. U_ x e. A B ) ) -> q e. U_ x e. A B ) |
| 31 |
29 30
|
ffvelcdmd |
|- ( ( ( R We A /\ R Se A /\ A. x e. A S Or B ) /\ ( q e. U_ x e. A B /\ r e. U_ x e. A B ) ) -> ( F ` q ) e. A ) |
| 32 |
31
|
adantr |
|- ( ( ( ( R We A /\ R Se A /\ A. x e. A S Or B ) /\ ( q e. U_ x e. A B /\ r e. U_ x e. A B ) ) /\ ( F ` q ) = ( F ` r ) ) -> ( F ` q ) e. A ) |
| 33 |
15 25 32
|
rspcdva |
|- ( ( ( ( R We A /\ R Se A /\ A. x e. A S Or B ) /\ ( q e. U_ x e. A B /\ r e. U_ x e. A B ) ) /\ ( F ` q ) = ( F ` r ) ) -> [_ ( F ` q ) / x ]_ S Or [_ ( F ` q ) / x ]_ B ) |
| 34 |
|
id |
|- ( t = q -> t = q ) |
| 35 |
|
fveq2 |
|- ( t = q -> ( F ` t ) = ( F ` q ) ) |
| 36 |
35
|
csbeq1d |
|- ( t = q -> [_ ( F ` t ) / x ]_ B = [_ ( F ` q ) / x ]_ B ) |
| 37 |
34 36
|
eleq12d |
|- ( t = q -> ( t e. [_ ( F ` t ) / x ]_ B <-> q e. [_ ( F ` q ) / x ]_ B ) ) |
| 38 |
28
|
simp2d |
|- ( ( ( R We A /\ R Se A /\ A. x e. A S Or B ) /\ ( q e. U_ x e. A B /\ r e. U_ x e. A B ) ) -> A. t e. U_ x e. A B t e. [_ ( F ` t ) / x ]_ B ) |
| 39 |
38
|
adantr |
|- ( ( ( ( R We A /\ R Se A /\ A. x e. A S Or B ) /\ ( q e. U_ x e. A B /\ r e. U_ x e. A B ) ) /\ ( F ` q ) = ( F ` r ) ) -> A. t e. U_ x e. A B t e. [_ ( F ` t ) / x ]_ B ) |
| 40 |
|
simplrl |
|- ( ( ( ( R We A /\ R Se A /\ A. x e. A S Or B ) /\ ( q e. U_ x e. A B /\ r e. U_ x e. A B ) ) /\ ( F ` q ) = ( F ` r ) ) -> q e. U_ x e. A B ) |
| 41 |
37 39 40
|
rspcdva |
|- ( ( ( ( R We A /\ R Se A /\ A. x e. A S Or B ) /\ ( q e. U_ x e. A B /\ r e. U_ x e. A B ) ) /\ ( F ` q ) = ( F ` r ) ) -> q e. [_ ( F ` q ) / x ]_ B ) |
| 42 |
|
id |
|- ( t = r -> t = r ) |
| 43 |
|
fveq2 |
|- ( t = r -> ( F ` t ) = ( F ` r ) ) |
| 44 |
43
|
csbeq1d |
|- ( t = r -> [_ ( F ` t ) / x ]_ B = [_ ( F ` r ) / x ]_ B ) |
| 45 |
42 44
|
eleq12d |
|- ( t = r -> ( t e. [_ ( F ` t ) / x ]_ B <-> r e. [_ ( F ` r ) / x ]_ B ) ) |
| 46 |
|
simplrr |
|- ( ( ( ( R We A /\ R Se A /\ A. x e. A S Or B ) /\ ( q e. U_ x e. A B /\ r e. U_ x e. A B ) ) /\ ( F ` q ) = ( F ` r ) ) -> r e. U_ x e. A B ) |
| 47 |
45 39 46
|
rspcdva |
|- ( ( ( ( R We A /\ R Se A /\ A. x e. A S Or B ) /\ ( q e. U_ x e. A B /\ r e. U_ x e. A B ) ) /\ ( F ` q ) = ( F ` r ) ) -> r e. [_ ( F ` r ) / x ]_ B ) |
| 48 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( R We A /\ R Se A /\ A. x e. A S Or B ) /\ ( q e. U_ x e. A B /\ r e. U_ x e. A B ) ) /\ ( F ` q ) = ( F ` r ) ) -> ( F ` q ) = ( F ` r ) ) |
| 49 |
48
|
csbeq1d |
|- ( ( ( ( R We A /\ R Se A /\ A. x e. A S Or B ) /\ ( q e. U_ x e. A B /\ r e. U_ x e. A B ) ) /\ ( F ` q ) = ( F ` r ) ) -> [_ ( F ` q ) / x ]_ B = [_ ( F ` r ) / x ]_ B ) |
| 50 |
47 49
|
eleqtrrd |
|- ( ( ( ( R We A /\ R Se A /\ A. x e. A S Or B ) /\ ( q e. U_ x e. A B /\ r e. U_ x e. A B ) ) /\ ( F ` q ) = ( F ` r ) ) -> r e. [_ ( F ` q ) / x ]_ B ) |
| 51 |
|
solin |
|- ( ( [_ ( F ` q ) / x ]_ S Or [_ ( F ` q ) / x ]_ B /\ ( q e. [_ ( F ` q ) / x ]_ B /\ r e. [_ ( F ` q ) / x ]_ B ) ) -> ( q [_ ( F ` q ) / x ]_ S r \/ q = r \/ r [_ ( F ` q ) / x ]_ S q ) ) |
| 52 |
33 41 50 51
|
syl12anc |
|- ( ( ( ( R We A /\ R Se A /\ A. x e. A S Or B ) /\ ( q e. U_ x e. A B /\ r e. U_ x e. A B ) ) /\ ( F ` q ) = ( F ` r ) ) -> ( q [_ ( F ` q ) / x ]_ S r \/ q = r \/ r [_ ( F ` q ) / x ]_ S q ) ) |
| 53 |
|
simpllr |
|- ( ( ( ( ( R We A /\ R Se A /\ A. x e. A S Or B ) /\ ( q e. U_ x e. A B /\ r e. U_ x e. A B ) ) /\ ( F ` q ) = ( F ` r ) ) /\ q [_ ( F ` q ) / x ]_ S r ) -> ( q e. U_ x e. A B /\ r e. U_ x e. A B ) ) |
| 54 |
48
|
anim1i |
|- ( ( ( ( ( R We A /\ R Se A /\ A. x e. A S Or B ) /\ ( q e. U_ x e. A B /\ r e. U_ x e. A B ) ) /\ ( F ` q ) = ( F ` r ) ) /\ q [_ ( F ` q ) / x ]_ S r ) -> ( ( F ` q ) = ( F ` r ) /\ q [_ ( F ` q ) / x ]_ S r ) ) |
| 55 |
54
|
olcd |
|- ( ( ( ( ( R We A /\ R Se A /\ A. x e. A S Or B ) /\ ( q e. U_ x e. A B /\ r e. U_ x e. A B ) ) /\ ( F ` q ) = ( F ` r ) ) /\ q [_ ( F ` q ) / x ]_ S r ) -> ( ( F ` q ) R ( F ` r ) \/ ( ( F ` q ) = ( F ` r ) /\ q [_ ( F ` q ) / x ]_ S r ) ) ) |
| 56 |
53 55 10
|
sylanbrc |
|- ( ( ( ( ( R We A /\ R Se A /\ A. x e. A S Or B ) /\ ( q e. U_ x e. A B /\ r e. U_ x e. A B ) ) /\ ( F ` q ) = ( F ` r ) ) /\ q [_ ( F ` q ) / x ]_ S r ) -> q T r ) |
| 57 |
56
|
ex |
|- ( ( ( ( R We A /\ R Se A /\ A. x e. A S Or B ) /\ ( q e. U_ x e. A B /\ r e. U_ x e. A B ) ) /\ ( F ` q ) = ( F ` r ) ) -> ( q [_ ( F ` q ) / x ]_ S r -> q T r ) ) |
| 58 |
|
idd |
|- ( ( ( ( R We A /\ R Se A /\ A. x e. A S Or B ) /\ ( q e. U_ x e. A B /\ r e. U_ x e. A B ) ) /\ ( F ` q ) = ( F ` r ) ) -> ( q = r -> q = r ) ) |
| 59 |
46
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( R We A /\ R Se A /\ A. x e. A S Or B ) /\ ( q e. U_ x e. A B /\ r e. U_ x e. A B ) ) /\ ( F ` q ) = ( F ` r ) ) /\ r [_ ( F ` q ) / x ]_ S q ) -> r e. U_ x e. A B ) |
| 60 |
40
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( R We A /\ R Se A /\ A. x e. A S Or B ) /\ ( q e. U_ x e. A B /\ r e. U_ x e. A B ) ) /\ ( F ` q ) = ( F ` r ) ) /\ r [_ ( F ` q ) / x ]_ S q ) -> q e. U_ x e. A B ) |
| 61 |
|
simplr |
|- ( ( ( ( ( R We A /\ R Se A /\ A. x e. A S Or B ) /\ ( q e. U_ x e. A B /\ r e. U_ x e. A B ) ) /\ ( F ` q ) = ( F ` r ) ) /\ r [_ ( F ` q ) / x ]_ S q ) -> ( F ` q ) = ( F ` r ) ) |
| 62 |
61
|
eqcomd |
|- ( ( ( ( ( R We A /\ R Se A /\ A. x e. A S Or B ) /\ ( q e. U_ x e. A B /\ r e. U_ x e. A B ) ) /\ ( F ` q ) = ( F ` r ) ) /\ r [_ ( F ` q ) / x ]_ S q ) -> ( F ` r ) = ( F ` q ) ) |
| 63 |
61
|
csbeq1d |
|- ( ( ( ( ( R We A /\ R Se A /\ A. x e. A S Or B ) /\ ( q e. U_ x e. A B /\ r e. U_ x e. A B ) ) /\ ( F ` q ) = ( F ` r ) ) /\ r [_ ( F ` q ) / x ]_ S q ) -> [_ ( F ` q ) / x ]_ S = [_ ( F ` r ) / x ]_ S ) |
| 64 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( ( R We A /\ R Se A /\ A. x e. A S Or B ) /\ ( q e. U_ x e. A B /\ r e. U_ x e. A B ) ) /\ ( F ` q ) = ( F ` r ) ) /\ r [_ ( F ` q ) / x ]_ S q ) -> r [_ ( F ` q ) / x ]_ S q ) |
| 65 |
63 64
|
breqdi |
|- ( ( ( ( ( R We A /\ R Se A /\ A. x e. A S Or B ) /\ ( q e. U_ x e. A B /\ r e. U_ x e. A B ) ) /\ ( F ` q ) = ( F ` r ) ) /\ r [_ ( F ` q ) / x ]_ S q ) -> r [_ ( F ` r ) / x ]_ S q ) |
| 66 |
62 65
|
jca |
|- ( ( ( ( ( R We A /\ R Se A /\ A. x e. A S Or B ) /\ ( q e. U_ x e. A B /\ r e. U_ x e. A B ) ) /\ ( F ` q ) = ( F ` r ) ) /\ r [_ ( F ` q ) / x ]_ S q ) -> ( ( F ` r ) = ( F ` q ) /\ r [_ ( F ` r ) / x ]_ S q ) ) |
| 67 |
66
|
olcd |
|- ( ( ( ( ( R We A /\ R Se A /\ A. x e. A S Or B ) /\ ( q e. U_ x e. A B /\ r e. U_ x e. A B ) ) /\ ( F ` q ) = ( F ` r ) ) /\ r [_ ( F ` q ) / x ]_ S q ) -> ( ( F ` r ) R ( F ` q ) \/ ( ( F ` r ) = ( F ` q ) /\ r [_ ( F ` r ) / x ]_ S q ) ) ) |
| 68 |
1 2
|
weiunlem1 |
|- ( r T q <-> ( ( r e. U_ x e. A B /\ q e. U_ x e. A B ) /\ ( ( F ` r ) R ( F ` q ) \/ ( ( F ` r ) = ( F ` q ) /\ r [_ ( F ` r ) / x ]_ S q ) ) ) ) |
| 69 |
59 60 67 68
|
syl21anbrc |
|- ( ( ( ( ( R We A /\ R Se A /\ A. x e. A S Or B ) /\ ( q e. U_ x e. A B /\ r e. U_ x e. A B ) ) /\ ( F ` q ) = ( F ` r ) ) /\ r [_ ( F ` q ) / x ]_ S q ) -> r T q ) |
| 70 |
69
|
ex |
|- ( ( ( ( R We A /\ R Se A /\ A. x e. A S Or B ) /\ ( q e. U_ x e. A B /\ r e. U_ x e. A B ) ) /\ ( F ` q ) = ( F ` r ) ) -> ( r [_ ( F ` q ) / x ]_ S q -> r T q ) ) |
| 71 |
57 58 70
|
3orim123d |
|- ( ( ( ( R We A /\ R Se A /\ A. x e. A S Or B ) /\ ( q e. U_ x e. A B /\ r e. U_ x e. A B ) ) /\ ( F ` q ) = ( F ` r ) ) -> ( ( q [_ ( F ` q ) / x ]_ S r \/ q = r \/ r [_ ( F ` q ) / x ]_ S q ) -> ( q T r \/ q = r \/ r T q ) ) ) |
| 72 |
52 71
|
mpd |
|- ( ( ( ( R We A /\ R Se A /\ A. x e. A S Or B ) /\ ( q e. U_ x e. A B /\ r e. U_ x e. A B ) ) /\ ( F ` q ) = ( F ` r ) ) -> ( q T r \/ q = r \/ r T q ) ) |
| 73 |
|
simplrr |
|- ( ( ( ( R We A /\ R Se A /\ A. x e. A S Or B ) /\ ( q e. U_ x e. A B /\ r e. U_ x e. A B ) ) /\ ( F ` r ) R ( F ` q ) ) -> r e. U_ x e. A B ) |
| 74 |
|
simplrl |
|- ( ( ( ( R We A /\ R Se A /\ A. x e. A S Or B ) /\ ( q e. U_ x e. A B /\ r e. U_ x e. A B ) ) /\ ( F ` r ) R ( F ` q ) ) -> q e. U_ x e. A B ) |
| 75 |
|
animorrl |
|- ( ( ( ( R We A /\ R Se A /\ A. x e. A S Or B ) /\ ( q e. U_ x e. A B /\ r e. U_ x e. A B ) ) /\ ( F ` r ) R ( F ` q ) ) -> ( ( F ` r ) R ( F ` q ) \/ ( ( F ` r ) = ( F ` q ) /\ r [_ ( F ` r ) / x ]_ S q ) ) ) |
| 76 |
73 74 75 68
|
syl21anbrc |
|- ( ( ( ( R We A /\ R Se A /\ A. x e. A S Or B ) /\ ( q e. U_ x e. A B /\ r e. U_ x e. A B ) ) /\ ( F ` r ) R ( F ` q ) ) -> r T q ) |
| 77 |
76
|
3mix3d |
|- ( ( ( ( R We A /\ R Se A /\ A. x e. A S Or B ) /\ ( q e. U_ x e. A B /\ r e. U_ x e. A B ) ) /\ ( F ` r ) R ( F ` q ) ) -> ( q T r \/ q = r \/ r T q ) ) |
| 78 |
|
weso |
|- ( R We A -> R Or A ) |
| 79 |
26 78
|
syl |
|- ( ( ( R We A /\ R Se A /\ A. x e. A S Or B ) /\ ( q e. U_ x e. A B /\ r e. U_ x e. A B ) ) -> R Or A ) |
| 80 |
|
simprr |
|- ( ( ( R We A /\ R Se A /\ A. x e. A S Or B ) /\ ( q e. U_ x e. A B /\ r e. U_ x e. A B ) ) -> r e. U_ x e. A B ) |
| 81 |
29 80
|
ffvelcdmd |
|- ( ( ( R We A /\ R Se A /\ A. x e. A S Or B ) /\ ( q e. U_ x e. A B /\ r e. U_ x e. A B ) ) -> ( F ` r ) e. A ) |
| 82 |
|
solin |
|- ( ( R Or A /\ ( ( F ` q ) e. A /\ ( F ` r ) e. A ) ) -> ( ( F ` q ) R ( F ` r ) \/ ( F ` q ) = ( F ` r ) \/ ( F ` r ) R ( F ` q ) ) ) |
| 83 |
79 31 81 82
|
syl12anc |
|- ( ( ( R We A /\ R Se A /\ A. x e. A S Or B ) /\ ( q e. U_ x e. A B /\ r e. U_ x e. A B ) ) -> ( ( F ` q ) R ( F ` r ) \/ ( F ` q ) = ( F ` r ) \/ ( F ` r ) R ( F ` q ) ) ) |
| 84 |
12 72 77 83
|
mpjao3dan |
|- ( ( ( R We A /\ R Se A /\ A. x e. A S Or B ) /\ ( q e. U_ x e. A B /\ r e. U_ x e. A B ) ) -> ( q T r \/ q = r \/ r T q ) ) |
| 85 |
6 84
|
issod |
|- ( ( R We A /\ R Se A /\ A. x e. A S Or B ) -> T Or U_ x e. A B ) |