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Theorem wfrlem17

Description: Without using ax-rep , show that all restrictions of wrecs are sets. (Contributed by Scott Fenton, 31-Jul-2020)

Ref Expression
Hypotheses wfrlem17.1 
|- R We A
wfrlem17.2 
|- R Se A
wfrlem17.3 
|- F = wrecs ( R , A , G )
Assertion wfrlem17 
|- ( X e. dom F -> ( F |` Pred ( R , A , X ) ) e. _V )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 wfrlem17.1 
 |-  R We A
2 wfrlem17.2 
 |-  R Se A
3 wfrlem17.3 
 |-  F = wrecs ( R , A , G )
4 1 2 3 wfrfun 
 |-  Fun F
5 funfvop 
 |-  ( ( Fun F /\ X e. dom F ) -> <. X , ( F ` X ) >. e. F )
6 4 5 mpan 
 |-  ( X e. dom F -> <. X , ( F ` X ) >. e. F )
7 df-wrecs 
 |-  wrecs ( R , A , G ) = U. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) }
8 3 7 eqtri 
 |-  F = U. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) }
9 8 eleq2i 
 |-  ( <. X , ( F ` X ) >. e. F <-> <. X , ( F ` X ) >. e. U. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } )
10 eluni 
 |-  ( <. X , ( F ` X ) >. e. U. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } <-> E. g ( <. X , ( F ` X ) >. e. g /\ g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) )
11 9 10 bitri 
 |-  ( <. X , ( F ` X ) >. e. F <-> E. g ( <. X , ( F ` X ) >. e. g /\ g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) )
12 6 11 sylib 
 |-  ( X e. dom F -> E. g ( <. X , ( F ` X ) >. e. g /\ g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) )
13 simprr 
 |-  ( ( X e. dom F /\ ( <. X , ( F ` X ) >. e. g /\ g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) ) -> g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } )
14 eqid 
 |-  { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } = { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) }
15 vex 
 |-  g e. _V
16 14 15 wfrlem3a 
 |-  ( g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } <-> E. z ( g Fn z /\ ( z C_ A /\ A. w e. z Pred ( R , A , w ) C_ z ) /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( G ` ( g |` Pred ( R , A , w ) ) ) ) )
17 13 16 sylib 
 |-  ( ( X e. dom F /\ ( <. X , ( F ` X ) >. e. g /\ g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) ) -> E. z ( g Fn z /\ ( z C_ A /\ A. w e. z Pred ( R , A , w ) C_ z ) /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( G ` ( g |` Pred ( R , A , w ) ) ) ) )
18 3simpa 
 |-  ( ( g Fn z /\ ( z C_ A /\ A. w e. z Pred ( R , A , w ) C_ z ) /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( G ` ( g |` Pred ( R , A , w ) ) ) ) -> ( g Fn z /\ ( z C_ A /\ A. w e. z Pred ( R , A , w ) C_ z ) ) )
19 simprlr 
 |-  ( ( X e. dom F /\ ( ( <. X , ( F ` X ) >. e. g /\ g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) /\ ( g Fn z /\ ( z C_ A /\ A. w e. z Pred ( R , A , w ) C_ z ) ) ) ) -> g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } )
20 elssuni 
 |-  ( g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } -> g C_ U. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } )
21 20 8 sseqtrrdi 
 |-  ( g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } -> g C_ F )
22 19 21 syl 
 |-  ( ( X e. dom F /\ ( ( <. X , ( F ` X ) >. e. g /\ g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) /\ ( g Fn z /\ ( z C_ A /\ A. w e. z Pred ( R , A , w ) C_ z ) ) ) ) -> g C_ F )
23 predeq3 
 |-  ( w = X -> Pred ( R , A , w ) = Pred ( R , A , X ) )
24 23 sseq1d 
 |-  ( w = X -> ( Pred ( R , A , w ) C_ z <-> Pred ( R , A , X ) C_ z ) )
25 simprrr 
 |-  ( ( ( <. X , ( F ` X ) >. e. g /\ g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) /\ ( g Fn z /\ ( z C_ A /\ A. w e. z Pred ( R , A , w ) C_ z ) ) ) -> A. w e. z Pred ( R , A , w ) C_ z )
26 25 adantl 
 |-  ( ( X e. dom F /\ ( ( <. X , ( F ` X ) >. e. g /\ g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) /\ ( g Fn z /\ ( z C_ A /\ A. w e. z Pred ( R , A , w ) C_ z ) ) ) ) -> A. w e. z Pred ( R , A , w ) C_ z )
27 simprll 
 |-  ( ( X e. dom F /\ ( ( <. X , ( F ` X ) >. e. g /\ g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) /\ ( g Fn z /\ ( z C_ A /\ A. w e. z Pred ( R , A , w ) C_ z ) ) ) ) -> <. X , ( F ` X ) >. e. g )
28 df-br 
 |-  ( X g ( F ` X ) <-> <. X , ( F ` X ) >. e. g )
29 27 28 sylibr 
 |-  ( ( X e. dom F /\ ( ( <. X , ( F ` X ) >. e. g /\ g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) /\ ( g Fn z /\ ( z C_ A /\ A. w e. z Pred ( R , A , w ) C_ z ) ) ) ) -> X g ( F ` X ) )
30 fvex 
 |-  ( F ` X ) e. _V
31 breldmg 
 |-  ( ( X e. dom F /\ ( F ` X ) e. _V /\ X g ( F ` X ) ) -> X e. dom g )
32 30 31 mp3an2 
 |-  ( ( X e. dom F /\ X g ( F ` X ) ) -> X e. dom g )
33 29 32 syldan 
 |-  ( ( X e. dom F /\ ( ( <. X , ( F ` X ) >. e. g /\ g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) /\ ( g Fn z /\ ( z C_ A /\ A. w e. z Pred ( R , A , w ) C_ z ) ) ) ) -> X e. dom g )
34 simprrl 
 |-  ( ( X e. dom F /\ ( ( <. X , ( F ` X ) >. e. g /\ g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) /\ ( g Fn z /\ ( z C_ A /\ A. w e. z Pred ( R , A , w ) C_ z ) ) ) ) -> g Fn z )
35 34 fndmd 
 |-  ( ( X e. dom F /\ ( ( <. X , ( F ` X ) >. e. g /\ g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) /\ ( g Fn z /\ ( z C_ A /\ A. w e. z Pred ( R , A , w ) C_ z ) ) ) ) -> dom g = z )
36 33 35 eleqtrd 
 |-  ( ( X e. dom F /\ ( ( <. X , ( F ` X ) >. e. g /\ g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) /\ ( g Fn z /\ ( z C_ A /\ A. w e. z Pred ( R , A , w ) C_ z ) ) ) ) -> X e. z )
37 24 26 36 rspcdva 
 |-  ( ( X e. dom F /\ ( ( <. X , ( F ` X ) >. e. g /\ g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) /\ ( g Fn z /\ ( z C_ A /\ A. w e. z Pred ( R , A , w ) C_ z ) ) ) ) -> Pred ( R , A , X ) C_ z )
38 37 35 sseqtrrd 
 |-  ( ( X e. dom F /\ ( ( <. X , ( F ` X ) >. e. g /\ g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) /\ ( g Fn z /\ ( z C_ A /\ A. w e. z Pred ( R , A , w ) C_ z ) ) ) ) -> Pred ( R , A , X ) C_ dom g )
39 fun2ssres 
 |-  ( ( Fun F /\ g C_ F /\ Pred ( R , A , X ) C_ dom g ) -> ( F |` Pred ( R , A , X ) ) = ( g |` Pred ( R , A , X ) ) )
40 4 22 38 39 mp3an2i 
 |-  ( ( X e. dom F /\ ( ( <. X , ( F ` X ) >. e. g /\ g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) /\ ( g Fn z /\ ( z C_ A /\ A. w e. z Pred ( R , A , w ) C_ z ) ) ) ) -> ( F |` Pred ( R , A , X ) ) = ( g |` Pred ( R , A , X ) ) )
41 15 resex 
 |-  ( g |` Pred ( R , A , X ) ) e. _V
42 40 41 eqeltrdi 
 |-  ( ( X e. dom F /\ ( ( <. X , ( F ` X ) >. e. g /\ g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) /\ ( g Fn z /\ ( z C_ A /\ A. w e. z Pred ( R , A , w ) C_ z ) ) ) ) -> ( F |` Pred ( R , A , X ) ) e. _V )
43 42 expr 
 |-  ( ( X e. dom F /\ ( <. X , ( F ` X ) >. e. g /\ g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) ) -> ( ( g Fn z /\ ( z C_ A /\ A. w e. z Pred ( R , A , w ) C_ z ) ) -> ( F |` Pred ( R , A , X ) ) e. _V ) )
44 18 43 syl5 
 |-  ( ( X e. dom F /\ ( <. X , ( F ` X ) >. e. g /\ g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) ) -> ( ( g Fn z /\ ( z C_ A /\ A. w e. z Pred ( R , A , w ) C_ z ) /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( G ` ( g |` Pred ( R , A , w ) ) ) ) -> ( F |` Pred ( R , A , X ) ) e. _V ) )
45 44 exlimdv 
 |-  ( ( X e. dom F /\ ( <. X , ( F ` X ) >. e. g /\ g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) ) -> ( E. z ( g Fn z /\ ( z C_ A /\ A. w e. z Pred ( R , A , w ) C_ z ) /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( G ` ( g |` Pred ( R , A , w ) ) ) ) -> ( F |` Pred ( R , A , X ) ) e. _V ) )
46 17 45 mpd 
 |-  ( ( X e. dom F /\ ( <. X , ( F ` X ) >. e. g /\ g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) ) -> ( F |` Pred ( R , A , X ) ) e. _V )
47 12 46 exlimddv 
 |-  ( X e. dom F -> ( F |` Pred ( R , A , X ) ) e. _V )