Theorem xrdifh

Description: Class difference of a half-open interval in the extended reals. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Aug-2017)

	Ref	Expression
Hypothesis	xrdifh.1	|- A e. RR*
Assertion	xrdifh	|- ( RR* \ ( A [,] +oo ) ) = ( -oo [,) A )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrdifh.1	|- A e. RR*
2		biortn	|- ( x e. RR* -> ( ( -. A <_ x \/ -. x <_ +oo ) <-> ( -. x e. RR* \/ ( -. A <_ x \/ -. x <_ +oo ) ) ) )
3		pnfge	|- ( x e. RR* -> x <_ +oo )
4	3	notnotd	|- ( x e. RR* -> -. -. x <_ +oo )
5		biorf	|- ( -. -. x <_ +oo -> ( -. A <_ x <-> ( -. x <_ +oo \/ -. A <_ x ) ) )
6	4 5	syl	|- ( x e. RR* -> ( -. A <_ x <-> ( -. x <_ +oo \/ -. A <_ x ) ) )
7		orcom	|- ( ( -. A <_ x \/ -. x <_ +oo ) <-> ( -. x <_ +oo \/ -. A <_ x ) )
8	6 7	bitr4di	|- ( x e. RR* -> ( -. A <_ x <-> ( -. A <_ x \/ -. x <_ +oo ) ) )
9		pnfxr	|- +oo e. RR*
10		elicc1	|- ( ( A e. RR* /\ +oo e. RR* ) -> ( x e. ( A [,] +oo ) <-> ( x e. RR* /\ A <_ x /\ x <_ +oo ) ) )
11	1 9 10	mp2an	|- ( x e. ( A [,] +oo ) <-> ( x e. RR* /\ A <_ x /\ x <_ +oo ) )
12	11	notbii	|- ( -. x e. ( A [,] +oo ) <-> -. ( x e. RR* /\ A <_ x /\ x <_ +oo ) )
13		3ianor	|- ( -. ( x e. RR* /\ A <_ x /\ x <_ +oo ) <-> ( -. x e. RR* \/ -. A <_ x \/ -. x <_ +oo ) )
14		3orass	|- ( ( -. x e. RR* \/ -. A <_ x \/ -. x <_ +oo ) <-> ( -. x e. RR* \/ ( -. A <_ x \/ -. x <_ +oo ) ) )
15	12 13 14	3bitri	|- ( -. x e. ( A [,] +oo ) <-> ( -. x e. RR* \/ ( -. A <_ x \/ -. x <_ +oo ) ) )
16	15	a1i	|- ( x e. RR* -> ( -. x e. ( A [,] +oo ) <-> ( -. x e. RR* \/ ( -. A <_ x \/ -. x <_ +oo ) ) ) )
17	2 8 16	3bitr4rd	|- ( x e. RR* -> ( -. x e. ( A [,] +oo ) <-> -. A <_ x ) )
18		xrltnle	|- ( ( x e. RR* /\ A e. RR* ) -> ( x < A <-> -. A <_ x ) )
19	1 18	mpan2	|- ( x e. RR* -> ( x < A <-> -. A <_ x ) )
20	17 19	bitr4d	|- ( x e. RR* -> ( -. x e. ( A [,] +oo ) <-> x < A ) )
21	20	pm5.32i	|- ( ( x e. RR* /\ -. x e. ( A [,] +oo ) ) <-> ( x e. RR* /\ x < A ) )
22		eldif	|- ( x e. ( RR* \ ( A [,] +oo ) ) <-> ( x e. RR* /\ -. x e. ( A [,] +oo ) ) )
23		3anass	|- ( ( x e. RR* /\ -oo <_ x /\ x < A ) <-> ( x e. RR* /\ ( -oo <_ x /\ x < A ) ) )
24		mnfxr	|- -oo e. RR*
25		elico1	|- ( ( -oo e. RR* /\ A e. RR* ) -> ( x e. ( -oo [,) A ) <-> ( x e. RR* /\ -oo <_ x /\ x < A ) ) )
26	24 1 25	mp2an	|- ( x e. ( -oo [,) A ) <-> ( x e. RR* /\ -oo <_ x /\ x < A ) )
27		mnfle	|- ( x e. RR* -> -oo <_ x )
28	27	biantrurd	|- ( x e. RR* -> ( x < A <-> ( -oo <_ x /\ x < A ) ) )
29	28	pm5.32i	|- ( ( x e. RR* /\ x < A ) <-> ( x e. RR* /\ ( -oo <_ x /\ x < A ) ) )
30	23 26 29	3bitr4i	|- ( x e. ( -oo [,) A ) <-> ( x e. RR* /\ x < A ) )
31	21 22 30	3bitr4i	|- ( x e. ( RR* \ ( A [,] +oo ) ) <-> x e. ( -oo [,) A ) )
32	31	eqriv	|- ( RR* \ ( A [,] +oo ) ) = ( -oo [,) A )