angmndaddcpbl

Description: Addition of angles is compatible with angle congruence. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Aug-2026)

	Ref	Expression
Hypotheses	angmndadd.p	$⊢ P = {Base}_{G}$
	angmndadd.a	$⊢ A = \{d \in (P^{(0 ..^3)}) \| (d (0) \neq d (1) \land d (1) \neq d (2))\}$
	angmndadd.i	$⊢ I = Itv (G)$
	angmndadd.d	$⊢ \underset{˙}{-} = dist (G)$
	angmndadd.c	$⊢ \underset{˙}{\sim} = \sim_{𝒢}^{∠} (G)$
	angmndadd.l	$⊢ L = {Line}_{𝒢} (G)$
	angmndadd.g	$⊢ φ \to G \in 𝒢_{Tarski}$
	angmndadd.o	$⊢ \underset{˙}{+} = (e \in A, f \in A ⟼ if (e (0) \in (e (1) L e (2)), ⟨“ f (0) f (1) (ι s \in P \| (⟨“ f (2) f (1) s ”⟩ \underset{˙}{\sim} e \land f (1) \underset{˙}{-} s = e (1) \underset{˙}{-} e (0))) ”⟩, ⟨“ e (0) e (1) (ι s \in P \| (⟨“ e (2) e (1) s ”⟩ \underset{˙}{\sim} f \land e (1) \underset{˙}{-} s = f (1) \underset{˙}{-} f (0) \land (e (1) L e (2)) \cap (s I e (0)) \neq \emptyset)) ”⟩))$
	angmndaddcpbl.c	$⊢ φ \to C \in A$
	angmndaddcpbl.d	$⊢ φ \to D \in A$
	angmndaddcpbl.e	$⊢ φ \to E \in A$
	angmndaddcpbl.f	$⊢ φ \to F \in A$
	angmndaddcpbl.2	$⊢ φ \to E \underset{˙}{\sim} C$
	angmndaddcpbl.3	$⊢ φ \to F \underset{˙}{\sim} D$
Assertion	angmndaddcpbl	$⊢ φ \to (E \underset{˙}{+} F) \underset{˙}{\sim} (C \underset{˙}{+} D)$

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		angmndadd.p	$⊢ P = {Base}_{G}$
2		angmndadd.a	$⊢ A = \{d \in (P^{(0 ..^3)}) \| (d (0) \neq d (1) \land d (1) \neq d (2))\}$
3		angmndadd.i	$⊢ I = Itv (G)$
4		angmndadd.d	$⊢ \underset{˙}{-} = dist (G)$
5		angmndadd.c	$⊢ \underset{˙}{\sim} = \sim_{𝒢}^{∠} (G)$
6		angmndadd.l	$⊢ L = {Line}_{𝒢} (G)$
7		angmndadd.g	$⊢ φ \to G \in 𝒢_{Tarski}$
8		angmndadd.o	$⊢ \underset{˙}{+} = (e \in A, f \in A ⟼ if (e (0) \in (e (1) L e (2)), ⟨“ f (0) f (1) (ι s \in P \| (⟨“ f (2) f (1) s ”⟩ \underset{˙}{\sim} e \land f (1) \underset{˙}{-} s = e (1) \underset{˙}{-} e (0))) ”⟩, ⟨“ e (0) e (1) (ι s \in P \| (⟨“ e (2) e (1) s ”⟩ \underset{˙}{\sim} f \land e (1) \underset{˙}{-} s = f (1) \underset{˙}{-} f (0) \land (e (1) L e (2)) \cap (s I e (0)) \neq \emptyset)) ”⟩))$
9		angmndaddcpbl.c	$⊢ φ \to C \in A$
10		angmndaddcpbl.d	$⊢ φ \to D \in A$
11		angmndaddcpbl.e	$⊢ φ \to E \in A$
12		angmndaddcpbl.f	$⊢ φ \to F \in A$
13		angmndaddcpbl.2	$⊢ φ \to E \underset{˙}{\sim} C$
14		angmndaddcpbl.3	$⊢ φ \to F \underset{˙}{\sim} D$
15		simp-6r	$⊢ (((((((((((((((((((((φ \land a \in P) \land b \in P) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \to E = ⟨“ x y z ”⟩$
16	15	ad7antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \to E = ⟨“ x y z ”⟩$
17		simp-7r	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \to F = ⟨“ u v w ”⟩$
18	16 17	oveq12d	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \to E \underset{˙}{+} F = ⟨“ x y z ”⟩ \underset{˙}{+} ⟨“ u v w ”⟩$
19	7	ad6antr	$⊢ ((((((φ \land a \in P) \land b \in P) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \to G \in 𝒢_{Tarski}$
20	19	ad6antr	$⊢ ((((((((((((φ \land a \in P) \land b \in P) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \to G \in 𝒢_{Tarski}$
21	20	ad6antr	$⊢ ((((((((((((((((((φ \land a \in P) \land b \in P) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \to G \in 𝒢_{Tarski}$
22	21	ad7antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \to G \in 𝒢_{Tarski}$
23	22	ad3antrrr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \to G \in 𝒢_{Tarski}$
24		simp-7r	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \to u \in P$
25	24	ad3antrrr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \to u \in P$
26		simp-6r	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \to v \in P$
27	26	ad3antrrr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \to v \in P$
28		simp-5r	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \to w \in P$
29	28	ad3antrrr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \to w \in P$
30		simp-6r	$⊢ ((((((((((((((((((φ \land a \in P) \land b \in P) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \to x \in P$
31	30	ad7antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \to x \in P$
32	31	ad3antrrr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \to x \in P$
33		simp-5r	$⊢ ((((((((((((((((((φ \land a \in P) \land b \in P) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \to y \in P$
34	33	adantr	$⊢ (((((((((((((((((((φ \land a \in P) \land b \in P) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \to y \in P$
35	34	ad6antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \to y \in P$
36	35	ad3antrrr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \to y \in P$
37		simp-11r	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \to z \in P$
38	37	ad3antrrr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \to z \in P$
39		simpllr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \to u \neq v$
40	39	ad3antrrr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \to u \neq v$
41		simplr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \to v \neq w$
42	41	ad3antrrr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \to v \neq w$
43		simp-9r	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \to x \neq y$
44	43	ad3antrrr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \to x \neq y$
45		simp-8r	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \to y \neq z$
46	45	ad3antrrr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \to y \neq z$
47		simpr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \to x \in (y L z)$
48	47	ad3antrrr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \to x \in (y L z)$
49		simpllr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \to t \in P$
50		simplr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \to ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩$
51		simpr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \to v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x$
52	1 2 3 4 5 6 23 25 27 29 32 36 38 40 42 44 46 8 48 49 50 51	angmndaddov2	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \to ⟨“ x y z ”⟩ \underset{˙}{+} ⟨“ u v w ”⟩ = ⟨“ u v t ”⟩$
53	18 52	eqtrd	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \to E \underset{˙}{+} F = ⟨“ u v t ”⟩$
54	23	ad3antrrr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \land h \in P) \land ⟨“ k j h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ a b c ”⟩) \land j \underset{˙}{-} h = b \underset{˙}{-} a) \to G \in 𝒢_{Tarski}$
55	29	ad3antrrr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \land h \in P) \land ⟨“ k j h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ a b c ”⟩) \land j \underset{˙}{-} h = b \underset{˙}{-} a) \to w \in P$
56		simp-10r	$⊢ ((((((((((((((((((φ \land a \in P) \land b \in P) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \to k \in P$
57	56	ad10antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \to k \in P$
58	57	ad3antrrr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \land h \in P) \land ⟨“ k j h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ a b c ”⟩) \land j \underset{˙}{-} h = b \underset{˙}{-} a) \to k \in P$
59		simp-6r	$⊢ ((((((((((((φ \land a \in P) \land b \in P) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \to i \in P$
60	59	ad6antr	$⊢ ((((((((((((((((((φ \land a \in P) \land b \in P) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \to i \in P$
61	60	ad10antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \to i \in P$
62	61	ad3antrrr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \land h \in P) \land ⟨“ k j h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ a b c ”⟩) \land j \underset{˙}{-} h = b \underset{˙}{-} a) \to i \in P$
63		simp-11r	$⊢ ((((((((((((((((((φ \land a \in P) \land b \in P) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \to j \in P$
64	63	ad10antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \to j \in P$
65	64	ad3antrrr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \land h \in P) \land ⟨“ k j h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ a b c ”⟩) \land j \underset{˙}{-} h = b \underset{˙}{-} a) \to j \in P$
66		simpllr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \land h \in P) \land ⟨“ k j h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ a b c ”⟩) \land j \underset{˙}{-} h = b \underset{˙}{-} a) \to h \in P$
67	25	ad3antrrr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \land h \in P) \land ⟨“ k j h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ a b c ”⟩) \land j \underset{˙}{-} h = b \underset{˙}{-} a) \to u \in P$
68	27	ad3antrrr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \land h \in P) \land ⟨“ k j h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ a b c ”⟩) \land j \underset{˙}{-} h = b \underset{˙}{-} a) \to v \in P$
69	49	ad3antrrr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \land h \in P) \land ⟨“ k j h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ a b c ”⟩) \land j \underset{˙}{-} h = b \underset{˙}{-} a) \to t \in P$
70	42	ad3antrrr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \land h \in P) \land ⟨“ k j h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ a b c ”⟩) \land j \underset{˙}{-} h = b \underset{˙}{-} a) \to v \neq w$
71		simp-7r	$⊢ ((((((((((((((((((φ \land a \in P) \land b \in P) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \to j \neq k$
72	71	ad10antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \to j \neq k$
73	72	ad3antrrr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \land h \in P) \land ⟨“ k j h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ a b c ”⟩) \land j \underset{˙}{-} h = b \underset{˙}{-} a) \to j \neq k$
74	32	ad3antrrr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \land h \in P) \land ⟨“ k j h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ a b c ”⟩) \land j \underset{˙}{-} h = b \underset{˙}{-} a) \to x \in P$
75	36	ad3antrrr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \land h \in P) \land ⟨“ k j h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ a b c ”⟩) \land j \underset{˙}{-} h = b \underset{˙}{-} a) \to y \in P$
76	38	ad3antrrr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \land h \in P) \land ⟨“ k j h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ a b c ”⟩) \land j \underset{˙}{-} h = b \underset{˙}{-} a) \to z \in P$
77		eqid	$⊢ {hl}_{𝒢} (G) = {hl}_{𝒢} (G)$
78	5	a1i	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \land h \in P) \land ⟨“ k j h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ a b c ”⟩) \land j \underset{˙}{-} h = b \underset{˙}{-} a) \to \underset{˙}{\sim} = \sim_{𝒢}^{∠} (G)$
79	50	ad3antrrr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \land h \in P) \land ⟨“ k j h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ a b c ”⟩) \land j \underset{˙}{-} h = b \underset{˙}{-} a) \to ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩$
80	78 79	breqdi	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \land h \in P) \land ⟨“ k j h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ a b c ”⟩) \land j \underset{˙}{-} h = b \underset{˙}{-} a) \to ⟨“ w v t ”⟩ \sim_{𝒢}^{∠} (G) ⟨“ x y z ”⟩$
81	1 3 54 77 55 68 69 74 75 76 80	cgracom	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \land h \in P) \land ⟨“ k j h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ a b c ”⟩) \land j \underset{˙}{-} h = b \underset{˙}{-} a) \to ⟨“ x y z ”⟩ \sim_{𝒢}^{∠} (G) ⟨“ w v t ”⟩$
82	1 3 6 22 31 35 37 43 47 45	lnrot2	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \to z \in (x L y)$
83	82	orcd	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \to (z \in (x L y) \lor x = y)$
84	83	ad6antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \land h \in P) \land ⟨“ k j h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ a b c ”⟩) \land j \underset{˙}{-} h = b \underset{˙}{-} a) \to (z \in (x L y) \lor x = y)$
85	1 3 4 54 74 75 76 55 68 69 81 6 84	cgracol	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \land h \in P) \land ⟨“ k j h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ a b c ”⟩) \land j \underset{˙}{-} h = b \underset{˙}{-} a) \to (t \in (w L v) \lor w = v)$
86	70	necomd	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \land h \in P) \land ⟨“ k j h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ a b c ”⟩) \land j \underset{˙}{-} h = b \underset{˙}{-} a) \to w \neq v$
87	86	neneqd	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \land h \in P) \land ⟨“ k j h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ a b c ”⟩) \land j \underset{˙}{-} h = b \underset{˙}{-} a) \to \neg w = v$
88	85 87	olcnd	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \land h \in P) \land ⟨“ k j h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ a b c ”⟩) \land j \underset{˙}{-} h = b \underset{˙}{-} a) \to t \in (w L v)$
89	1 3 6 54 68 55 69 70 88	lncom	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \land h \in P) \land ⟨“ k j h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ a b c ”⟩) \land j \underset{˙}{-} h = b \underset{˙}{-} a) \to t \in (v L w)$
90	1 4 3 54 67 69	tgbtwntriv2	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \land h \in P) \land ⟨“ k j h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ a b c ”⟩) \land j \underset{˙}{-} h = b \underset{˙}{-} a) \to t \in (u I t)$
91	89 90	elind	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \land h \in P) \land ⟨“ k j h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ a b c ”⟩) \land j \underset{˙}{-} h = b \underset{˙}{-} a) \to t \in ((v L w) \cap (u I t))$
92	91	ne0d	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \land h \in P) \land ⟨“ k j h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ a b c ”⟩) \land j \underset{˙}{-} h = b \underset{˙}{-} a) \to (v L w) \cap (u I t) \neq \emptyset$
93		simp-11r	$⊢ (((((((((((φ \land a \in P) \land b \in P) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \to a \in P$
94	93	ad7antr	$⊢ ((((((((((((((((((φ \land a \in P) \land b \in P) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \to a \in P$
95	94	ad10antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \to a \in P$
96	95	ad3antrrr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \land h \in P) \land ⟨“ k j h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ a b c ”⟩) \land j \underset{˙}{-} h = b \underset{˙}{-} a) \to a \in P$
97		simp-10r	$⊢ (((((((((((φ \land a \in P) \land b \in P) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \to b \in P$
98	97	ad7antr	$⊢ ((((((((((((((((((φ \land a \in P) \land b \in P) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \to b \in P$
99	98	ad10antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \to b \in P$
100	99	ad3antrrr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \land h \in P) \land ⟨“ k j h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ a b c ”⟩) \land j \underset{˙}{-} h = b \underset{˙}{-} a) \to b \in P$
101		simp-9r	$⊢ (((((((((((φ \land a \in P) \land b \in P) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \to c \in P$
102	101	ad7antr	$⊢ ((((((((((((((((((φ \land a \in P) \land b \in P) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \to c \in P$
103	102	ad10antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \to c \in P$
104	103	ad3antrrr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \land h \in P) \land ⟨“ k j h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ a b c ”⟩) \land j \underset{˙}{-} h = b \underset{˙}{-} a) \to c \in P$
105		simplr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \land h \in P) \land ⟨“ k j h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ a b c ”⟩) \land j \underset{˙}{-} h = b \underset{˙}{-} a) \to ⟨“ k j h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ a b c ”⟩$
106	78 105	breqdi	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \land h \in P) \land ⟨“ k j h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ a b c ”⟩) \land j \underset{˙}{-} h = b \underset{˙}{-} a) \to ⟨“ k j h ”⟩ \sim_{𝒢}^{∠} (G) ⟨“ a b c ”⟩$
107	1 3 54 77 58 65 66 96 100 104 106	cgracom	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \land h \in P) \land ⟨“ k j h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ a b c ”⟩) \land j \underset{˙}{-} h = b \underset{˙}{-} a) \to ⟨“ a b c ”⟩ \sim_{𝒢}^{∠} (G) ⟨“ k j h ”⟩$
108	94	ad7antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \to a \in P$
109	98	ad7antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \to b \in P$
110	102	ad7antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \to c \in P$
111	5	a1i	$⊢ ((((((((((((((((((φ \land a \in P) \land b \in P) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \to \underset{˙}{\sim} = \sim_{𝒢}^{∠} (G)$
112		simpllr	$⊢ ((((((((((((((((((φ \land a \in P) \land b \in P) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \to E = ⟨“ x y z ”⟩$
113	13	ad6antr	$⊢ ((((((φ \land a \in P) \land b \in P) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \to E \underset{˙}{\sim} C$
114	113	ad6antr	$⊢ ((((((((((((φ \land a \in P) \land b \in P) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \to E \underset{˙}{\sim} C$
115	114	ad6antr	$⊢ ((((((((((((((((((φ \land a \in P) \land b \in P) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \to E \underset{˙}{\sim} C$
116		simp-9r	$⊢ ((((((((((((φ \land a \in P) \land b \in P) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \to C = ⟨“ a b c ”⟩$
117	116	ad6antr	$⊢ ((((((((((((((((((φ \land a \in P) \land b \in P) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \to C = ⟨“ a b c ”⟩$
118	115 117	breqtrd	$⊢ ((((((((((((((((((φ \land a \in P) \land b \in P) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \to E \underset{˙}{\sim} ⟨“ a b c ”⟩$
119	112 118	eqbrtrrd	$⊢ ((((((((((((((((((φ \land a \in P) \land b \in P) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \to ⟨“ x y z ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ a b c ”⟩$
120	111 119	breqdi	$⊢ ((((((((((((((((((φ \land a \in P) \land b \in P) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \to ⟨“ x y z ”⟩ \sim_{𝒢}^{∠} (G) ⟨“ a b c ”⟩$
121	120	ad7antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \to ⟨“ x y z ”⟩ \sim_{𝒢}^{∠} (G) ⟨“ a b c ”⟩$
122	1 3 4 22 31 35 37 108 109 110 121 6 83	cgracol	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \to (c \in (a L b) \lor a = b)$
123	122	ad6antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \land h \in P) \land ⟨“ k j h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ a b c ”⟩) \land j \underset{˙}{-} h = b \underset{˙}{-} a) \to (c \in (a L b) \lor a = b)$
124	1 3 4 54 96 100 104 58 65 66 107 6 123	cgracol	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \land h \in P) \land ⟨“ k j h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ a b c ”⟩) \land j \underset{˙}{-} h = b \underset{˙}{-} a) \to (h \in (k L j) \lor k = j)$
125	73	necomd	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \land h \in P) \land ⟨“ k j h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ a b c ”⟩) \land j \underset{˙}{-} h = b \underset{˙}{-} a) \to k \neq j$
126	125	neneqd	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \land h \in P) \land ⟨“ k j h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ a b c ”⟩) \land j \underset{˙}{-} h = b \underset{˙}{-} a) \to \neg k = j$
127	124 126	olcnd	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \land h \in P) \land ⟨“ k j h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ a b c ”⟩) \land j \underset{˙}{-} h = b \underset{˙}{-} a) \to h \in (k L j)$
128	1 3 6 54 65 58 66 73 127	lncom	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \land h \in P) \land ⟨“ k j h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ a b c ”⟩) \land j \underset{˙}{-} h = b \underset{˙}{-} a) \to h \in (j L k)$
129	1 4 3 54 62 66	tgbtwntriv2	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \land h \in P) \land ⟨“ k j h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ a b c ”⟩) \land j \underset{˙}{-} h = b \underset{˙}{-} a) \to h \in (i I h)$
130	128 129	elind	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \land h \in P) \land ⟨“ k j h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ a b c ”⟩) \land j \underset{˙}{-} h = b \underset{˙}{-} a) \to h \in ((j L k) \cap (i I h))$
131	130	ne0d	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \land h \in P) \land ⟨“ k j h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ a b c ”⟩) \land j \underset{˙}{-} h = b \underset{˙}{-} a) \to (j L k) \cap (i I h) \neq \emptyset$
132	17	ad3antrrr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \land h \in P) \land ⟨“ k j h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ a b c ”⟩) \land j \underset{˙}{-} h = b \underset{˙}{-} a) \to F = ⟨“ u v w ”⟩$
133	14	ad6antr	$⊢ ((((((φ \land a \in P) \land b \in P) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \to F \underset{˙}{\sim} D$
134	133	ad6antr	$⊢ ((((((((((((φ \land a \in P) \land b \in P) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \to F \underset{˙}{\sim} D$
135	134	ad6antr	$⊢ ((((((((((((((((((φ \land a \in P) \land b \in P) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \to F \underset{˙}{\sim} D$
136	135	ad10antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \to F \underset{˙}{\sim} D$
137	136	ad3antrrr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \land h \in P) \land ⟨“ k j h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ a b c ”⟩) \land j \underset{˙}{-} h = b \underset{˙}{-} a) \to F \underset{˙}{\sim} D$
138	132 137	eqbrtrrd	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \land h \in P) \land ⟨“ k j h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ a b c ”⟩) \land j \underset{˙}{-} h = b \underset{˙}{-} a) \to ⟨“ u v w ”⟩ \underset{˙}{\sim} D$
139		simp-9r	$⊢ ((((((((((((((((((φ \land a \in P) \land b \in P) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \to D = ⟨“ i j k ”⟩$
140	139	ad7antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \to D = ⟨“ i j k ”⟩$
141	140	ad6antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \land h \in P) \land ⟨“ k j h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ a b c ”⟩) \land j \underset{˙}{-} h = b \underset{˙}{-} a) \to D = ⟨“ i j k ”⟩$
142	138 141	breqtrd	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \land h \in P) \land ⟨“ k j h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ a b c ”⟩) \land j \underset{˙}{-} h = b \underset{˙}{-} a) \to ⟨“ u v w ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ i j k ”⟩$
143	5	eqcomi	$⊢ \sim_{𝒢}^{∠} (G) = \underset{˙}{\sim}$
144	143	a1i	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \land h \in P) \land ⟨“ k j h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ a b c ”⟩) \land j \underset{˙}{-} h = b \underset{˙}{-} a) \to \sim_{𝒢}^{∠} (G) = \underset{˙}{\sim}$
145	121	ad6antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \land h \in P) \land ⟨“ k j h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ a b c ”⟩) \land j \underset{˙}{-} h = b \underset{˙}{-} a) \to ⟨“ x y z ”⟩ \sim_{𝒢}^{∠} (G) ⟨“ a b c ”⟩$
146	1 3 54 77 74 75 76 96 100 104 145	cgracom	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \land h \in P) \land ⟨“ k j h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ a b c ”⟩) \land j \underset{˙}{-} h = b \underset{˙}{-} a) \to ⟨“ a b c ”⟩ \sim_{𝒢}^{∠} (G) ⟨“ x y z ”⟩$
147	1 3 54 77 58 65 66 96 100 104 106 74 75 76 146	cgratr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \land h \in P) \land ⟨“ k j h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ a b c ”⟩) \land j \underset{˙}{-} h = b \underset{˙}{-} a) \to ⟨“ k j h ”⟩ \sim_{𝒢}^{∠} (G) ⟨“ x y z ”⟩$
148	1 3 54 77 58 65 66 74 75 76 147	cgracom	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \land h \in P) \land ⟨“ k j h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ a b c ”⟩) \land j \underset{˙}{-} h = b \underset{˙}{-} a) \to ⟨“ x y z ”⟩ \sim_{𝒢}^{∠} (G) ⟨“ k j h ”⟩$
149	1 3 54 77 55 68 69 74 75 76 80 58 65 66 148	cgratr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \land h \in P) \land ⟨“ k j h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ a b c ”⟩) \land j \underset{˙}{-} h = b \underset{˙}{-} a) \to ⟨“ w v t ”⟩ \sim_{𝒢}^{∠} (G) ⟨“ k j h ”⟩$
150	144 149	breqdi	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \land h \in P) \land ⟨“ k j h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ a b c ”⟩) \land j \underset{˙}{-} h = b \underset{˙}{-} a) \to ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ k j h ”⟩$
151	1 3 6 5 54 55 58 62 65 66 67 68 69 70 73 92 131 142 150	tgaaddcpbl2	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \land h \in P) \land ⟨“ k j h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ a b c ”⟩) \land j \underset{˙}{-} h = b \underset{˙}{-} a) \to ⟨“ u v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ i j h ”⟩$
152	117	ad7antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \to C = ⟨“ a b c ”⟩$
153	152	ad6antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \land h \in P) \land ⟨“ k j h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ a b c ”⟩) \land j \underset{˙}{-} h = b \underset{˙}{-} a) \to C = ⟨“ a b c ”⟩$
154	153 141	oveq12d	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \land h \in P) \land ⟨“ k j h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ a b c ”⟩) \land j \underset{˙}{-} h = b \underset{˙}{-} a) \to C \underset{˙}{+} D = ⟨“ a b c ”⟩ \underset{˙}{+} ⟨“ i j k ”⟩$
155		simp-8r	$⊢ ((((((((((((((((((φ \land a \in P) \land b \in P) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \to i \neq j$
156	155	ad10antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \to i \neq j$
157	156	ad3antrrr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \land h \in P) \land ⟨“ k j h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ a b c ”⟩) \land j \underset{˙}{-} h = b \underset{˙}{-} a) \to i \neq j$
158		simp-7r	$⊢ (((((((((((φ \land a \in P) \land b \in P) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \to a \neq b$
159	158	ad7antr	$⊢ ((((((((((((((((((φ \land a \in P) \land b \in P) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \to a \neq b$
160	159	ad10antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \to a \neq b$
161	160	ad3antrrr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \land h \in P) \land ⟨“ k j h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ a b c ”⟩) \land j \underset{˙}{-} h = b \underset{˙}{-} a) \to a \neq b$
162		simp-6r	$⊢ (((((((((((φ \land a \in P) \land b \in P) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \to b \neq c$
163	162	ad7antr	$⊢ ((((((((((((((((((φ \land a \in P) \land b \in P) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \to b \neq c$
164	163	ad10antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \to b \neq c$
165	164	ad3antrrr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \land h \in P) \land ⟨“ k j h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ a b c ”⟩) \land j \underset{˙}{-} h = b \underset{˙}{-} a) \to b \neq c$
166	163	ad7antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \to b \neq c$
167	159	ad7antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \to a \neq b$
168	167	neneqd	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \to \neg a = b$
169	122 168	olcnd	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \to c \in (a L b)$
170	1 3 6 22 109 110 108 166 169 167	lnrot1	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \to a \in (b L c)$
171	170	ad3antrrr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \to a \in (b L c)$
172	171	ad3antrrr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \land h \in P) \land ⟨“ k j h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ a b c ”⟩) \land j \underset{˙}{-} h = b \underset{˙}{-} a) \to a \in (b L c)$
173		simpr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \land h \in P) \land ⟨“ k j h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ a b c ”⟩) \land j \underset{˙}{-} h = b \underset{˙}{-} a) \to j \underset{˙}{-} h = b \underset{˙}{-} a$
174	1 2 3 4 5 6 54 62 65 58 96 100 104 157 73 161 165 8 172 66 105 173	angmndaddov2	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \land h \in P) \land ⟨“ k j h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ a b c ”⟩) \land j \underset{˙}{-} h = b \underset{˙}{-} a) \to ⟨“ a b c ”⟩ \underset{˙}{+} ⟨“ i j k ”⟩ = ⟨“ i j h ”⟩$
175	154 174	eqtrd	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \land h \in P) \land ⟨“ k j h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ a b c ”⟩) \land j \underset{˙}{-} h = b \underset{˙}{-} a) \to C \underset{˙}{+} D = ⟨“ i j h ”⟩$
176	151 175	breqtrrd	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \land h \in P) \land ⟨“ k j h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ a b c ”⟩) \land j \underset{˙}{-} h = b \underset{˙}{-} a) \to ⟨“ u v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} (C \underset{˙}{+} D)$
177	176	anasss	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \land h \in P) \land (⟨“ k j h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ a b c ”⟩ \land j \underset{˙}{-} h = b \underset{˙}{-} a)) \to ⟨“ u v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} (C \underset{˙}{+} D)$
178	1 2 3 4 5 6 23 61 64 57 95 99 103 156 72 160 164 171	angmndaddov2lem	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \to \exists! h \in P (⟨“ k j h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ a b c ”⟩ \land j \underset{˙}{-} h = b \underset{˙}{-} a)$
179		reurex	$⊢ \exists! h \in P (⟨“ k j h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ a b c ”⟩ \land j \underset{˙}{-} h = b \underset{˙}{-} a) \to \exists h \in P (⟨“ k j h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ a b c ”⟩ \land j \underset{˙}{-} h = b \underset{˙}{-} a)$
180	178 179	syl	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \to \exists h \in P (⟨“ k j h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ a b c ”⟩ \land j \underset{˙}{-} h = b \underset{˙}{-} a)$
181	177 180	r19.29a	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \to ⟨“ u v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} (C \underset{˙}{+} D)$
182	53 181	eqbrtrd	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩) \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \to (E \underset{˙}{+} F) \underset{˙}{\sim} (C \underset{˙}{+} D)$
183	182	anasss	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \land t \in P) \land (⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩ \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x)) \to (E \underset{˙}{+} F) \underset{˙}{\sim} (C \underset{˙}{+} D)$
184	1 2 3 4 5 6 22 24 26 28 31 35 37 39 41 43 45 47	angmndaddov2lem	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \to \exists! t \in P (⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩ \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x)$
185		reurex	$⊢ \exists! t \in P (⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩ \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x) \to \exists t \in P (⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩ \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x)$
186	184 185	syl	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \to \exists t \in P (⟨“ w v t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ x y z ”⟩ \land v \underset{˙}{-} t = y \underset{˙}{-} x)$
187	183 186	r19.29a	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land x \in (y L z)) \to (E \underset{˙}{+} F) \underset{˙}{\sim} (C \underset{˙}{+} D)$
188	15	ad8antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \to E = ⟨“ x y z ”⟩$
189		simp-8r	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \to F = ⟨“ u v w ”⟩$
190	188 189	oveq12d	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \to E \underset{˙}{+} F = ⟨“ x y z ”⟩ \underset{˙}{+} ⟨“ u v w ”⟩$
191	21	ad5antr	$⊢ (((((((((((((((((((((((φ \land a \in P) \land b \in P) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \to G \in 𝒢_{Tarski}$
192	191	ad6antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \to G \in 𝒢_{Tarski}$
193		simp-11r	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \to u \in P$
194		simp-10r	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \to v \in P$
195		simp-9r	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \to w \in P$
196	30	ad5antr	$⊢ (((((((((((((((((((((((φ \land a \in P) \land b \in P) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \to x \in P$
197	196	ad6antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \to x \in P$
198	33	ad5antr	$⊢ (((((((((((((((((((((((φ \land a \in P) \land b \in P) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \to y \in P$
199	198	ad6antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \to y \in P$
200		simp-4r	$⊢ ((((((((((((((((((φ \land a \in P) \land b \in P) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \to z \in P$
201	200	ad5antr	$⊢ (((((((((((((((((((((((φ \land a \in P) \land b \in P) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \to z \in P$
202	201	ad6antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \to z \in P$
203		simp-7r	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \to u \neq v$
204		simp-6r	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \to v \neq w$
205		simplr	$⊢ ((((((((((((((((((φ \land a \in P) \land b \in P) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \to x \neq y$
206	205	ad5antr	$⊢ (((((((((((((((((((((((φ \land a \in P) \land b \in P) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \to x \neq y$
207	206	ad6antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \to x \neq y$
208		simp-6r	$⊢ (((((((((((((((((((((((φ \land a \in P) \land b \in P) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \to y \neq z$
209	208	ad6antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \to y \neq z$
210		simp-5r	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \to \neg x \in (y L z)$
211		simp-4r	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \to t \in P$
212		simpllr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \to ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩$
213		simplr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \to y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u$
214		simpr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \to (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset$
215	1 2 3 4 5 6 192 193 194 195 197 199 202 203 204 207 209 8 210 211 212 213 214	angmndaddov1	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \to ⟨“ x y z ”⟩ \underset{˙}{+} ⟨“ u v w ”⟩ = ⟨“ x y t ”⟩$
216	190 215	eqtrd	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \to E \underset{˙}{+} F = ⟨“ x y t ”⟩$
217	192	ad4antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \land h \in P) \land ⟨“ c b h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ i j k ”⟩) \land b \underset{˙}{-} h = j \underset{˙}{-} i) \land (b L c) \cap (h I a) \neq \emptyset) \to G \in 𝒢_{Tarski}$
218	202	ad4antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \land h \in P) \land ⟨“ c b h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ i j k ”⟩) \land b \underset{˙}{-} h = j \underset{˙}{-} i) \land (b L c) \cap (h I a) \neq \emptyset) \to z \in P$
219	102	ad5antr	$⊢ (((((((((((((((((((((((φ \land a \in P) \land b \in P) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \to c \in P$
220	219	ad6antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \to c \in P$
221	220	ad4antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \land h \in P) \land ⟨“ c b h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ i j k ”⟩) \land b \underset{˙}{-} h = j \underset{˙}{-} i) \land (b L c) \cap (h I a) \neq \emptyset) \to c \in P$
222	94	ad5antr	$⊢ (((((((((((((((((((((((φ \land a \in P) \land b \in P) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \to a \in P$
223	222	ad6antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \to a \in P$
224	223	ad4antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \land h \in P) \land ⟨“ c b h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ i j k ”⟩) \land b \underset{˙}{-} h = j \underset{˙}{-} i) \land (b L c) \cap (h I a) \neq \emptyset) \to a \in P$
225	98	ad5antr	$⊢ (((((((((((((((((((((((φ \land a \in P) \land b \in P) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \to b \in P$
226	225	ad6antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \to b \in P$
227	226	ad4antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \land h \in P) \land ⟨“ c b h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ i j k ”⟩) \land b \underset{˙}{-} h = j \underset{˙}{-} i) \land (b L c) \cap (h I a) \neq \emptyset) \to b \in P$
228		simp-4r	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \land h \in P) \land ⟨“ c b h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ i j k ”⟩) \land b \underset{˙}{-} h = j \underset{˙}{-} i) \land (b L c) \cap (h I a) \neq \emptyset) \to h \in P$
229	197	ad4antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \land h \in P) \land ⟨“ c b h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ i j k ”⟩) \land b \underset{˙}{-} h = j \underset{˙}{-} i) \land (b L c) \cap (h I a) \neq \emptyset) \to x \in P$
230	199	ad4antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \land h \in P) \land ⟨“ c b h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ i j k ”⟩) \land b \underset{˙}{-} h = j \underset{˙}{-} i) \land (b L c) \cap (h I a) \neq \emptyset) \to y \in P$
231	211	ad4antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \land h \in P) \land ⟨“ c b h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ i j k ”⟩) \land b \underset{˙}{-} h = j \underset{˙}{-} i) \land (b L c) \cap (h I a) \neq \emptyset) \to t \in P$
232	209	ad4antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \land h \in P) \land ⟨“ c b h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ i j k ”⟩) \land b \underset{˙}{-} h = j \underset{˙}{-} i) \land (b L c) \cap (h I a) \neq \emptyset) \to y \neq z$
233	163	ad5antr	$⊢ (((((((((((((((((((((((φ \land a \in P) \land b \in P) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \to b \neq c$
234	233	ad6antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \to b \neq c$
235	234	ad4antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \land h \in P) \land ⟨“ c b h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ i j k ”⟩) \land b \underset{˙}{-} h = j \underset{˙}{-} i) \land (b L c) \cap (h I a) \neq \emptyset) \to b \neq c$
236	21	ad8antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \to G \in 𝒢_{Tarski}$
237	236	ad4antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land l \in (y L z)) \land l \in (t I x)) \to G \in 𝒢_{Tarski}$
238		simp-5r	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land l \in (y L z)) \land l \in (t I x)) \to t \in P$
239	236	ad3antrrr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land l \in (y L z)) \to G \in 𝒢_{Tarski}$
240	33	ad8antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \to y \in P$
241	240	ad3antrrr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land l \in (y L z)) \to y \in P$
242	200	ad8antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \to z \in P$
243	242	ad3antrrr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land l \in (y L z)) \to z \in P$
244		simp-9r	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \to y \neq z$
245	244	ad3antrrr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land l \in (y L z)) \to y \neq z$
246	1 3 6 239 241 243 245	tgelrnln	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land l \in (y L z)) \to y L z \in ran L$
247		simpr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land l \in (y L z)) \to l \in (y L z)$
248	1 6 3 239 246 247	tglnpt	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land l \in (y L z)) \to l \in P$
249	248	adantr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land l \in (y L z)) \land l \in (t I x)) \to l \in P$
250	30	ad8antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \to x \in P$
251	250	ad4antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land l \in (y L z)) \land l \in (t I x)) \to x \in P$
252		simpr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land l \in (y L z)) \land l \in (t I x)) \to l \in (t I x)$
253	1 4 3 237 238 249 251 252	tgbtwncom	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land l \in (y L z)) \land l \in (t I x)) \to l \in (x I t)$
254	236	ad4antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land l \in (y L z)) \land l \in (x I t)) \to G \in 𝒢_{Tarski}$
255	250	ad4antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land l \in (y L z)) \land l \in (x I t)) \to x \in P$
256	248	adantr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land l \in (y L z)) \land l \in (x I t)) \to l \in P$
257		simp-5r	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land l \in (y L z)) \land l \in (x I t)) \to t \in P$
258		simpr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land l \in (y L z)) \land l \in (x I t)) \to l \in (x I t)$
259	1 4 3 254 255 256 257 258	tgbtwncom	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land l \in (y L z)) \land l \in (x I t)) \to l \in (t I x)$
260	253 259	impbida	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land l \in (y L z)) \to (l \in (t I x) \leftrightarrow l \in (x I t))$
261	260	pm5.32da	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \to ((l \in (y L z) \land l \in (t I x)) \leftrightarrow (l \in (y L z) \land l \in (x I t)))$
262		elin	$⊢ l \in ((y L z) \cap (t I x)) \leftrightarrow (l \in (y L z) \land l \in (t I x))$
263		elin	$⊢ l \in ((y L z) \cap (x I t)) \leftrightarrow (l \in (y L z) \land l \in (x I t))$
264	262 263	bibi12i	$⊢ (l \in ((y L z) \cap (t I x)) \leftrightarrow l \in ((y L z) \cap (x I t))) \leftrightarrow ((l \in (y L z) \land l \in (t I x)) \leftrightarrow (l \in (y L z) \land l \in (x I t)))$
265	261 264	sylibr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \to (l \in ((y L z) \cap (t I x)) \leftrightarrow l \in ((y L z) \cap (x I t)))$
266	265	eqrdv	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \to (y L z) \cap (t I x) = (y L z) \cap (x I t)$
267	266	neeq1d	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \to ((y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset \leftrightarrow (y L z) \cap (x I t) \neq \emptyset)$
268	267	biimpa	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \to (y L z) \cap (x I t) \neq \emptyset$
269	268	ad4antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \land h \in P) \land ⟨“ c b h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ i j k ”⟩) \land b \underset{˙}{-} h = j \underset{˙}{-} i) \land (b L c) \cap (h I a) \neq \emptyset) \to (y L z) \cap (x I t) \neq \emptyset$
270	192	ad5antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \land h \in P) \land ⟨“ c b h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ i j k ”⟩) \land b \underset{˙}{-} h = j \underset{˙}{-} i) \land l \in (b L c)) \land l \in (h I a)) \to G \in 𝒢_{Tarski}$
271		simp-5r	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \land h \in P) \land ⟨“ c b h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ i j k ”⟩) \land b \underset{˙}{-} h = j \underset{˙}{-} i) \land l \in (b L c)) \land l \in (h I a)) \to h \in P$
272	192	ad4antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \land h \in P) \land ⟨“ c b h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ i j k ”⟩) \land b \underset{˙}{-} h = j \underset{˙}{-} i) \land l \in (b L c)) \to G \in 𝒢_{Tarski}$
273	226	ad4antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \land h \in P) \land ⟨“ c b h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ i j k ”⟩) \land b \underset{˙}{-} h = j \underset{˙}{-} i) \land l \in (b L c)) \to b \in P$
274	220	ad4antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \land h \in P) \land ⟨“ c b h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ i j k ”⟩) \land b \underset{˙}{-} h = j \underset{˙}{-} i) \land l \in (b L c)) \to c \in P$
275	234	ad4antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \land h \in P) \land ⟨“ c b h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ i j k ”⟩) \land b \underset{˙}{-} h = j \underset{˙}{-} i) \land l \in (b L c)) \to b \neq c$
276	1 3 6 272 273 274 275	tgelrnln	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \land h \in P) \land ⟨“ c b h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ i j k ”⟩) \land b \underset{˙}{-} h = j \underset{˙}{-} i) \land l \in (b L c)) \to b L c \in ran L$
277		simpr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \land h \in P) \land ⟨“ c b h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ i j k ”⟩) \land b \underset{˙}{-} h = j \underset{˙}{-} i) \land l \in (b L c)) \to l \in (b L c)$
278	1 6 3 272 276 277	tglnpt	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \land h \in P) \land ⟨“ c b h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ i j k ”⟩) \land b \underset{˙}{-} h = j \underset{˙}{-} i) \land l \in (b L c)) \to l \in P$
279	278	adantr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \land h \in P) \land ⟨“ c b h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ i j k ”⟩) \land b \underset{˙}{-} h = j \underset{˙}{-} i) \land l \in (b L c)) \land l \in (h I a)) \to l \in P$
280	223	ad5antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \land h \in P) \land ⟨“ c b h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ i j k ”⟩) \land b \underset{˙}{-} h = j \underset{˙}{-} i) \land l \in (b L c)) \land l \in (h I a)) \to a \in P$
281		simpr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \land h \in P) \land ⟨“ c b h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ i j k ”⟩) \land b \underset{˙}{-} h = j \underset{˙}{-} i) \land l \in (b L c)) \land l \in (h I a)) \to l \in (h I a)$
282	1 4 3 270 271 279 280 281	tgbtwncom	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \land h \in P) \land ⟨“ c b h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ i j k ”⟩) \land b \underset{˙}{-} h = j \underset{˙}{-} i) \land l \in (b L c)) \land l \in (h I a)) \to l \in (a I h)$
283	192	ad5antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \land h \in P) \land ⟨“ c b h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ i j k ”⟩) \land b \underset{˙}{-} h = j \underset{˙}{-} i) \land l \in (b L c)) \land l \in (a I h)) \to G \in 𝒢_{Tarski}$
284	223	ad5antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \land h \in P) \land ⟨“ c b h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ i j k ”⟩) \land b \underset{˙}{-} h = j \underset{˙}{-} i) \land l \in (b L c)) \land l \in (a I h)) \to a \in P$
285	278	adantr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \land h \in P) \land ⟨“ c b h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ i j k ”⟩) \land b \underset{˙}{-} h = j \underset{˙}{-} i) \land l \in (b L c)) \land l \in (a I h)) \to l \in P$
286		simp-5r	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \land h \in P) \land ⟨“ c b h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ i j k ”⟩) \land b \underset{˙}{-} h = j \underset{˙}{-} i) \land l \in (b L c)) \land l \in (a I h)) \to h \in P$
287		simpr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \land h \in P) \land ⟨“ c b h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ i j k ”⟩) \land b \underset{˙}{-} h = j \underset{˙}{-} i) \land l \in (b L c)) \land l \in (a I h)) \to l \in (a I h)$
288	1 4 3 283 284 285 286 287	tgbtwncom	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \land h \in P) \land ⟨“ c b h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ i j k ”⟩) \land b \underset{˙}{-} h = j \underset{˙}{-} i) \land l \in (b L c)) \land l \in (a I h)) \to l \in (h I a)$
289	282 288	impbida	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \land h \in P) \land ⟨“ c b h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ i j k ”⟩) \land b \underset{˙}{-} h = j \underset{˙}{-} i) \land l \in (b L c)) \to (l \in (h I a) \leftrightarrow l \in (a I h))$
290	289	pm5.32da	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \land h \in P) \land ⟨“ c b h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ i j k ”⟩) \land b \underset{˙}{-} h = j \underset{˙}{-} i) \to ((l \in (b L c) \land l \in (h I a)) \leftrightarrow (l \in (b L c) \land l \in (a I h)))$
291		elin	$⊢ l \in ((b L c) \cap (h I a)) \leftrightarrow (l \in (b L c) \land l \in (h I a))$
292		elin	$⊢ l \in ((b L c) \cap (a I h)) \leftrightarrow (l \in (b L c) \land l \in (a I h))$
293	291 292	bibi12i	$⊢ (l \in ((b L c) \cap (h I a)) \leftrightarrow l \in ((b L c) \cap (a I h))) \leftrightarrow ((l \in (b L c) \land l \in (h I a)) \leftrightarrow (l \in (b L c) \land l \in (a I h)))$
294	290 293	sylibr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \land h \in P) \land ⟨“ c b h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ i j k ”⟩) \land b \underset{˙}{-} h = j \underset{˙}{-} i) \to (l \in ((b L c) \cap (h I a)) \leftrightarrow l \in ((b L c) \cap (a I h)))$
295	294	eqrdv	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \land h \in P) \land ⟨“ c b h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ i j k ”⟩) \land b \underset{˙}{-} h = j \underset{˙}{-} i) \to (b L c) \cap (h I a) = (b L c) \cap (a I h)$
296	295	neeq1d	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \land h \in P) \land ⟨“ c b h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ i j k ”⟩) \land b \underset{˙}{-} h = j \underset{˙}{-} i) \to ((b L c) \cap (h I a) \neq \emptyset \leftrightarrow (b L c) \cap (a I h) \neq \emptyset)$
297	296	biimpa	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \land h \in P) \land ⟨“ c b h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ i j k ”⟩) \land b \underset{˙}{-} h = j \underset{˙}{-} i) \land (b L c) \cap (h I a) \neq \emptyset) \to (b L c) \cap (a I h) \neq \emptyset$
298	188	ad4antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \land h \in P) \land ⟨“ c b h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ i j k ”⟩) \land b \underset{˙}{-} h = j \underset{˙}{-} i) \land (b L c) \cap (h I a) \neq \emptyset) \to E = ⟨“ x y z ”⟩$
299	115	ad5antr	$⊢ (((((((((((((((((((((((φ \land a \in P) \land b \in P) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \to E \underset{˙}{\sim} C$
300	299	ad6antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \to E \underset{˙}{\sim} C$
301	300	ad4antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \land h \in P) \land ⟨“ c b h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ i j k ”⟩) \land b \underset{˙}{-} h = j \underset{˙}{-} i) \land (b L c) \cap (h I a) \neq \emptyset) \to E \underset{˙}{\sim} C$
302	298 301	eqbrtrrd	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \land h \in P) \land ⟨“ c b h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ i j k ”⟩) \land b \underset{˙}{-} h = j \underset{˙}{-} i) \land (b L c) \cap (h I a) \neq \emptyset) \to ⟨“ x y z ”⟩ \underset{˙}{\sim} C$
303	117	ad7antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \to C = ⟨“ a b c ”⟩$
304	303	ad8antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \land h \in P) \land ⟨“ c b h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ i j k ”⟩) \land b \underset{˙}{-} h = j \underset{˙}{-} i) \land (b L c) \cap (h I a) \neq \emptyset) \to C = ⟨“ a b c ”⟩$
305	302 304	breqtrd	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \land h \in P) \land ⟨“ c b h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ i j k ”⟩) \land b \underset{˙}{-} h = j \underset{˙}{-} i) \land (b L c) \cap (h I a) \neq \emptyset) \to ⟨“ x y z ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ a b c ”⟩$
306	143	a1i	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \land h \in P) \land ⟨“ c b h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ i j k ”⟩) \land b \underset{˙}{-} h = j \underset{˙}{-} i) \land (b L c) \cap (h I a) \neq \emptyset) \to \sim_{𝒢}^{∠} (G) = \underset{˙}{\sim}$
307	193	ad4antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \land h \in P) \land ⟨“ c b h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ i j k ”⟩) \land b \underset{˙}{-} h = j \underset{˙}{-} i) \land (b L c) \cap (h I a) \neq \emptyset) \to u \in P$
308	194	ad4antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \land h \in P) \land ⟨“ c b h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ i j k ”⟩) \land b \underset{˙}{-} h = j \underset{˙}{-} i) \land (b L c) \cap (h I a) \neq \emptyset) \to v \in P$
309	195	ad4antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \land h \in P) \land ⟨“ c b h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ i j k ”⟩) \land b \underset{˙}{-} h = j \underset{˙}{-} i) \land (b L c) \cap (h I a) \neq \emptyset) \to w \in P$
310	5	a1i	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \land h \in P) \land ⟨“ c b h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ i j k ”⟩) \land b \underset{˙}{-} h = j \underset{˙}{-} i) \land (b L c) \cap (h I a) \neq \emptyset) \to \underset{˙}{\sim} = \sim_{𝒢}^{∠} (G)$
311	212	ad4antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \land h \in P) \land ⟨“ c b h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ i j k ”⟩) \land b \underset{˙}{-} h = j \underset{˙}{-} i) \land (b L c) \cap (h I a) \neq \emptyset) \to ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩$
312	310 311	breqdi	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \land h \in P) \land ⟨“ c b h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ i j k ”⟩) \land b \underset{˙}{-} h = j \underset{˙}{-} i) \land (b L c) \cap (h I a) \neq \emptyset) \to ⟨“ z y t ”⟩ \sim_{𝒢}^{∠} (G) ⟨“ u v w ”⟩$
313	60	ad5antr	$⊢ (((((((((((((((((((((((φ \land a \in P) \land b \in P) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \to i \in P$
314	313	ad6antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \to i \in P$
315	314	ad4antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \land h \in P) \land ⟨“ c b h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ i j k ”⟩) \land b \underset{˙}{-} h = j \underset{˙}{-} i) \land (b L c) \cap (h I a) \neq \emptyset) \to i \in P$
316	63	ad5antr	$⊢ (((((((((((((((((((((((φ \land a \in P) \land b \in P) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \to j \in P$
317	316	ad6antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \to j \in P$
318	317	ad4antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \land h \in P) \land ⟨“ c b h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ i j k ”⟩) \land b \underset{˙}{-} h = j \underset{˙}{-} i) \land (b L c) \cap (h I a) \neq \emptyset) \to j \in P$
319	56	ad5antr	$⊢ (((((((((((((((((((((((φ \land a \in P) \land b \in P) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \to k \in P$
320	319	ad6antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \to k \in P$
321	320	ad4antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \land h \in P) \land ⟨“ c b h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ i j k ”⟩) \land b \underset{˙}{-} h = j \underset{˙}{-} i) \land (b L c) \cap (h I a) \neq \emptyset) \to k \in P$
322		simpllr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \land h \in P) \land ⟨“ c b h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ i j k ”⟩) \land b \underset{˙}{-} h = j \underset{˙}{-} i) \land (b L c) \cap (h I a) \neq \emptyset) \to ⟨“ c b h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ i j k ”⟩$
323	310 322	breqdi	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \land h \in P) \land ⟨“ c b h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ i j k ”⟩) \land b \underset{˙}{-} h = j \underset{˙}{-} i) \land (b L c) \cap (h I a) \neq \emptyset) \to ⟨“ c b h ”⟩ \sim_{𝒢}^{∠} (G) ⟨“ i j k ”⟩$
324	189	ad4antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \land h \in P) \land ⟨“ c b h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ i j k ”⟩) \land b \underset{˙}{-} h = j \underset{˙}{-} i) \land (b L c) \cap (h I a) \neq \emptyset) \to F = ⟨“ u v w ”⟩$
325	135	ad5antr	$⊢ (((((((((((((((((((((((φ \land a \in P) \land b \in P) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \to F \underset{˙}{\sim} D$
326	325	ad6antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \to F \underset{˙}{\sim} D$
327	326	ad4antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \land h \in P) \land ⟨“ c b h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ i j k ”⟩) \land b \underset{˙}{-} h = j \underset{˙}{-} i) \land (b L c) \cap (h I a) \neq \emptyset) \to F \underset{˙}{\sim} D$
328	324 327	eqbrtrrd	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \land h \in P) \land ⟨“ c b h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ i j k ”⟩) \land b \underset{˙}{-} h = j \underset{˙}{-} i) \land (b L c) \cap (h I a) \neq \emptyset) \to ⟨“ u v w ”⟩ \underset{˙}{\sim} D$
329	139	ad7antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \to D = ⟨“ i j k ”⟩$
330	329	ad8antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \land h \in P) \land ⟨“ c b h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ i j k ”⟩) \land b \underset{˙}{-} h = j \underset{˙}{-} i) \land (b L c) \cap (h I a) \neq \emptyset) \to D = ⟨“ i j k ”⟩$
331	328 330	breqtrd	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \land h \in P) \land ⟨“ c b h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ i j k ”⟩) \land b \underset{˙}{-} h = j \underset{˙}{-} i) \land (b L c) \cap (h I a) \neq \emptyset) \to ⟨“ u v w ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ i j k ”⟩$
332	310 331	breqdi	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \land h \in P) \land ⟨“ c b h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ i j k ”⟩) \land b \underset{˙}{-} h = j \underset{˙}{-} i) \land (b L c) \cap (h I a) \neq \emptyset) \to ⟨“ u v w ”⟩ \sim_{𝒢}^{∠} (G) ⟨“ i j k ”⟩$
333	1 3 217 77 307 308 309 315 318 321 332	cgracom	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \land h \in P) \land ⟨“ c b h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ i j k ”⟩) \land b \underset{˙}{-} h = j \underset{˙}{-} i) \land (b L c) \cap (h I a) \neq \emptyset) \to ⟨“ i j k ”⟩ \sim_{𝒢}^{∠} (G) ⟨“ u v w ”⟩$
334	1 3 217 77 221 227 228 315 318 321 323 307 308 309 333	cgratr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \land h \in P) \land ⟨“ c b h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ i j k ”⟩) \land b \underset{˙}{-} h = j \underset{˙}{-} i) \land (b L c) \cap (h I a) \neq \emptyset) \to ⟨“ c b h ”⟩ \sim_{𝒢}^{∠} (G) ⟨“ u v w ”⟩$
335	1 3 217 77 221 227 228 307 308 309 334	cgracom	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \land h \in P) \land ⟨“ c b h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ i j k ”⟩) \land b \underset{˙}{-} h = j \underset{˙}{-} i) \land (b L c) \cap (h I a) \neq \emptyset) \to ⟨“ u v w ”⟩ \sim_{𝒢}^{∠} (G) ⟨“ c b h ”⟩$
336	1 3 217 77 218 230 231 307 308 309 312 221 227 228 335	cgratr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \land h \in P) \land ⟨“ c b h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ i j k ”⟩) \land b \underset{˙}{-} h = j \underset{˙}{-} i) \land (b L c) \cap (h I a) \neq \emptyset) \to ⟨“ z y t ”⟩ \sim_{𝒢}^{∠} (G) ⟨“ c b h ”⟩$
337	306 336	breqdi	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \land h \in P) \land ⟨“ c b h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ i j k ”⟩) \land b \underset{˙}{-} h = j \underset{˙}{-} i) \land (b L c) \cap (h I a) \neq \emptyset) \to ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ c b h ”⟩$
338	1 3 6 5 217 218 221 224 227 228 229 230 231 232 235 269 297 305 337	tgaaddcpbl2	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \land h \in P) \land ⟨“ c b h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ i j k ”⟩) \land b \underset{˙}{-} h = j \underset{˙}{-} i) \land (b L c) \cap (h I a) \neq \emptyset) \to ⟨“ x y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ a b h ”⟩$
339	304 330	oveq12d	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \land h \in P) \land ⟨“ c b h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ i j k ”⟩) \land b \underset{˙}{-} h = j \underset{˙}{-} i) \land (b L c) \cap (h I a) \neq \emptyset) \to C \underset{˙}{+} D = ⟨“ a b c ”⟩ \underset{˙}{+} ⟨“ i j k ”⟩$
340	155	ad5antr	$⊢ (((((((((((((((((((((((φ \land a \in P) \land b \in P) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \to i \neq j$
341	340	ad6antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \to i \neq j$
342	341	ad4antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \land h \in P) \land ⟨“ c b h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ i j k ”⟩) \land b \underset{˙}{-} h = j \underset{˙}{-} i) \land (b L c) \cap (h I a) \neq \emptyset) \to i \neq j$
343	71	ad5antr	$⊢ (((((((((((((((((((((((φ \land a \in P) \land b \in P) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \to j \neq k$
344	343	ad6antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \to j \neq k$
345	344	ad4antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \land h \in P) \land ⟨“ c b h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ i j k ”⟩) \land b \underset{˙}{-} h = j \underset{˙}{-} i) \land (b L c) \cap (h I a) \neq \emptyset) \to j \neq k$
346	159	ad5antr	$⊢ (((((((((((((((((((((((φ \land a \in P) \land b \in P) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \to a \neq b$
347	346	ad6antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \to a \neq b$
348	347	ad4antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \land h \in P) \land ⟨“ c b h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ i j k ”⟩) \land b \underset{˙}{-} h = j \underset{˙}{-} i) \land (b L c) \cap (h I a) \neq \emptyset) \to a \neq b$
349	94	ad8antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \to a \in P$
350	98	ad8antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \to b \in P$
351	102	ad8antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \to c \in P$
352	120	ad8antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \to ⟨“ x y z ”⟩ \sim_{𝒢}^{∠} (G) ⟨“ a b c ”⟩$
353		simplr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \to \neg x \in (y L z)$
354	244	neneqd	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \to \neg y = z$
355		ioran	$⊢ \neg (x \in (y L z) \lor y = z) \leftrightarrow (\neg x \in (y L z) \land \neg y = z)$
356	353 354 355	sylanbrc	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \to \neg (x \in (y L z) \lor y = z)$
357	1 6 3 236 240 242 250 356	ncolrot2	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \to \neg (z \in (x L y) \lor x = y)$
358	1 3 4 236 250 240 242 349 350 351 352 6 357	cgrancol	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \to \neg (c \in (a L b) \lor a = b)$
359	1 6 3 236 349 350 351 358	ncolrot1	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \to \neg (a \in (b L c) \lor b = c)$
360	359	orsild	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \to \neg a \in (b L c)$
361	360	ad3antrrr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \to \neg a \in (b L c)$
362	361	ad4antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \land h \in P) \land ⟨“ c b h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ i j k ”⟩) \land b \underset{˙}{-} h = j \underset{˙}{-} i) \land (b L c) \cap (h I a) \neq \emptyset) \to \neg a \in (b L c)$
363		simplr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \land h \in P) \land ⟨“ c b h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ i j k ”⟩) \land b \underset{˙}{-} h = j \underset{˙}{-} i) \land (b L c) \cap (h I a) \neq \emptyset) \to b \underset{˙}{-} h = j \underset{˙}{-} i$
364		simpr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \land h \in P) \land ⟨“ c b h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ i j k ”⟩) \land b \underset{˙}{-} h = j \underset{˙}{-} i) \land (b L c) \cap (h I a) \neq \emptyset) \to (b L c) \cap (h I a) \neq \emptyset$
365	1 2 3 4 5 6 217 315 318 321 224 227 221 342 345 348 235 8 362 228 322 363 364	angmndaddov1	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \land h \in P) \land ⟨“ c b h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ i j k ”⟩) \land b \underset{˙}{-} h = j \underset{˙}{-} i) \land (b L c) \cap (h I a) \neq \emptyset) \to ⟨“ a b c ”⟩ \underset{˙}{+} ⟨“ i j k ”⟩ = ⟨“ a b h ”⟩$
366	339 365	eqtrd	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \land h \in P) \land ⟨“ c b h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ i j k ”⟩) \land b \underset{˙}{-} h = j \underset{˙}{-} i) \land (b L c) \cap (h I a) \neq \emptyset) \to C \underset{˙}{+} D = ⟨“ a b h ”⟩$
367	338 366	breqtrrd	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \land h \in P) \land ⟨“ c b h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ i j k ”⟩) \land b \underset{˙}{-} h = j \underset{˙}{-} i) \land (b L c) \cap (h I a) \neq \emptyset) \to ⟨“ x y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} (C \underset{˙}{+} D)$
368	367	3anasss	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \land h \in P) \land (⟨“ c b h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ i j k ”⟩ \land b \underset{˙}{-} h = j \underset{˙}{-} i \land (b L c) \cap (h I a) \neq \emptyset)) \to ⟨“ x y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} (C \underset{˙}{+} D)$
369	1 2 3 4 5 6 192 314 317 320 223 226 220 341 344 347 234 361	angmndaddov1lem	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \to \exists! h \in P (⟨“ c b h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ i j k ”⟩ \land b \underset{˙}{-} h = j \underset{˙}{-} i \land (b L c) \cap (h I a) \neq \emptyset)$
370		reurex	$⊢ \exists! h \in P (⟨“ c b h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ i j k ”⟩ \land b \underset{˙}{-} h = j \underset{˙}{-} i \land (b L c) \cap (h I a) \neq \emptyset) \to \exists h \in P (⟨“ c b h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ i j k ”⟩ \land b \underset{˙}{-} h = j \underset{˙}{-} i \land (b L c) \cap (h I a) \neq \emptyset)$
371	369 370	syl	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \to \exists h \in P (⟨“ c b h ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ i j k ”⟩ \land b \underset{˙}{-} h = j \underset{˙}{-} i \land (b L c) \cap (h I a) \neq \emptyset)$
372	368 371	r19.29a	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \to ⟨“ x y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} (C \underset{˙}{+} D)$
373	216 372	eqbrtrd	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land ⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩) \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u) \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \to (E \underset{˙}{+} F) \underset{˙}{\sim} (C \underset{˙}{+} D)$
374	373	3anasss	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \land t \in P) \land (⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩ \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset)) \to (E \underset{˙}{+} F) \underset{˙}{\sim} (C \underset{˙}{+} D)$
375	21	ad7antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \to G \in 𝒢_{Tarski}$
376		simp-7r	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \to u \in P$
377		simp-6r	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \to v \in P$
378		simp-5r	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \to w \in P$
379	30	ad7antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \to x \in P$
380	34	ad6antr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \to y \in P$
381		simp-11r	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \to z \in P$
382		simpllr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \to u \neq v$
383		simplr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \to v \neq w$
384		simp-9r	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \to x \neq y$
385		simp-8r	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \to y \neq z$
386		simpr	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \to \neg x \in (y L z)$
387	1 2 3 4 5 6 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386	angmndaddov1lem	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \to \exists! t \in P (⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩ \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset)$
388		reurex	$⊢ \exists! t \in P (⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩ \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset) \to \exists t \in P (⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩ \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset)$
389	387 388	syl	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \to \exists t \in P (⟨“ z y t ”⟩ \underset{˙}{\sim} ⟨“ u v w ”⟩ \land y \underset{˙}{-} t = v \underset{˙}{-} u \land (y L z) \cap (t I x) \neq \emptyset)$
390	374 389	r19.29a	$⊢ ((((((((((((((((((((((((() \land) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \land \neg x \in (y L z)) \to (E \underset{˙}{+} F) \underset{˙}{\sim} (C \underset{˙}{+} D)$
391		exmidd	$⊢ ((((((((((((((((((((((((φ \land) \land b \in P) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \to (x \in (y L z) \lor \neg x \in (y L z))$
392	187 390 391	mpjaodan	$⊢ ((((((((((((((((((((((((φ \land) \land b \in P) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land u \neq v) \land v \neq w) \to (E \underset{˙}{+} F) \underset{˙}{\sim} (C \underset{˙}{+} D)$
393	392	anasss	$⊢ (((((((((((((((((((((((φ \land a \in P) \land b \in P) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land F = ⟨“ u v w ”⟩) \land (u \neq v \land v \neq w)) \to (E \underset{˙}{+} F) \underset{˙}{\sim} (C \underset{˙}{+} D)$
394	393	anasss	$⊢ ((((((((((((((((((((((φ \land a \in P) \land b \in P) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land w \in P) \land (F = ⟨“ u v w ”⟩ \land (u \neq v \land v \neq w))) \to (E \underset{˙}{+} F) \underset{˙}{\sim} (C \underset{˙}{+} D)$
395	394	r19.29an	$⊢ (((((((((((((((((((((φ \land a \in P) \land b \in P) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \land u \in P) \land v \in P) \land \exists w \in P (F = ⟨“ u v w ”⟩ \land (u \neq v \land v \neq w))) \to (E \underset{˙}{+} F) \underset{˙}{\sim} (C \underset{˙}{+} D)$
396	1	fvexi	$⊢ P \in V$
397	396 2 12	elcgrabasi	$⊢ φ \to \exists u \in P \exists v \in P \exists w \in P (F = ⟨“ u v w ”⟩ \land (u \neq v \land v \neq w))$
398	397	ad9antr	$⊢ (((((((((φ \land a \in P) \land b \in P) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \to \exists u \in P \exists v \in P \exists w \in P (F = ⟨“ u v w ”⟩ \land (u \neq v \land v \neq w))$
399	398	ad9antr	$⊢ ((((((((((((((((((φ \land a \in P) \land b \in P) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \to \exists u \in P \exists v \in P \exists w \in P (F = ⟨“ u v w ”⟩ \land (u \neq v \land v \neq w))$
400	395 399	r19.29vva	$⊢ ((((((((((((((((((φ \land a \in P) \land b \in P) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land x \neq y) \land y \neq z) \to (E \underset{˙}{+} F) \underset{˙}{\sim} (C \underset{˙}{+} D)$
401	400	anasss	$⊢ (((((((((((((((((φ \land a \in P) \land b \in P) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land E = ⟨“ x y z ”⟩) \land (x \neq y \land y \neq z)) \to (E \underset{˙}{+} F) \underset{˙}{\sim} (C \underset{˙}{+} D)$
402	401	anasss	$⊢ ((((((((((((((((φ \land a \in P) \land b \in P) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land z \in P) \land (E = ⟨“ x y z ”⟩ \land (x \neq y \land y \neq z))) \to (E \underset{˙}{+} F) \underset{˙}{\sim} (C \underset{˙}{+} D)$
403	402	r19.29an	$⊢ (((((((((((((((φ \land a \in P) \land b \in P) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \land x \in P) \land y \in P) \land \exists z \in P (E = ⟨“ x y z ”⟩ \land (x \neq y \land y \neq z))) \to (E \underset{˙}{+} F) \underset{˙}{\sim} (C \underset{˙}{+} D)$
404	396 2 11	elcgrabasi	$⊢ φ \to \exists x \in P \exists y \in P \exists z \in P (E = ⟨“ x y z ”⟩ \land (x \neq y \land y \neq z))$
405	404	ad3antrrr	$⊢ (((φ \land a \in P) \land b \in P) \land c \in P) \to \exists x \in P \exists y \in P \exists z \in P (E = ⟨“ x y z ”⟩ \land (x \neq y \land y \neq z))$
406	405	ad9antr	$⊢ ((((((((((((φ \land a \in P) \land b \in P) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \to \exists x \in P \exists y \in P \exists z \in P (E = ⟨“ x y z ”⟩ \land (x \neq y \land y \neq z))$
407	403 406	r19.29vva	$⊢ ((((((((((((φ \land a \in P) \land b \in P) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land i \neq j) \land j \neq k) \to (E \underset{˙}{+} F) \underset{˙}{\sim} (C \underset{˙}{+} D)$
408	407	anasss	$⊢ (((((((((((φ \land a \in P) \land b \in P) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land D = ⟨“ i j k ”⟩) \land (i \neq j \land j \neq k)) \to (E \underset{˙}{+} F) \underset{˙}{\sim} (C \underset{˙}{+} D)$
409	408	anasss	$⊢ ((((((((((φ \land a \in P) \land b \in P) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land k \in P) \land (D = ⟨“ i j k ”⟩ \land (i \neq j \land j \neq k))) \to (E \underset{˙}{+} F) \underset{˙}{\sim} (C \underset{˙}{+} D)$
410	409	r19.29an	$⊢ (((((((((φ \land a \in P) \land b \in P) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \land i \in P) \land j \in P) \land \exists k \in P (D = ⟨“ i j k ”⟩ \land (i \neq j \land j \neq k))) \to (E \underset{˙}{+} F) \underset{˙}{\sim} (C \underset{˙}{+} D)$
411	396 2 10	elcgrabasi	$⊢ φ \to \exists i \in P \exists j \in P \exists k \in P (D = ⟨“ i j k ”⟩ \land (i \neq j \land j \neq k))$
412	411	ad6antr	$⊢ ((((((φ \land a \in P) \land b \in P) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \to \exists i \in P \exists j \in P \exists k \in P (D = ⟨“ i j k ”⟩ \land (i \neq j \land j \neq k))$
413	410 412	r19.29vva	$⊢ ((((((φ \land a \in P) \land b \in P) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land a \neq b) \land b \neq c) \to (E \underset{˙}{+} F) \underset{˙}{\sim} (C \underset{˙}{+} D)$
414	413	anasss	$⊢ (((((φ \land a \in P) \land b \in P) \land c \in P) \land C = ⟨“ a b c ”⟩) \land (a \neq b \land b \neq c)) \to (E \underset{˙}{+} F) \underset{˙}{\sim} (C \underset{˙}{+} D)$
415	414	anasss	$⊢ ((((φ \land a \in P) \land b \in P) \land c \in P) \land (C = ⟨“ a b c ”⟩ \land (a \neq b \land b \neq c))) \to (E \underset{˙}{+} F) \underset{˙}{\sim} (C \underset{˙}{+} D)$
416	415	r19.29an	$⊢ (((φ \land a \in P) \land b \in P) \land \exists c \in P (C = ⟨“ a b c ”⟩ \land (a \neq b \land b \neq c))) \to (E \underset{˙}{+} F) \underset{˙}{\sim} (C \underset{˙}{+} D)$
417	396 2 9	elcgrabasi	$⊢ φ \to \exists a \in P \exists b \in P \exists c \in P (C = ⟨“ a b c ”⟩ \land (a \neq b \land b \neq c))$
418	416 417	r19.29vva	$⊢ φ \to (E \underset{˙}{+} F) \underset{˙}{\sim} (C \underset{˙}{+} D)$

Metamath Proof Explorer

Theorem angmndaddcpbl

Proof