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Theorem frlmvplusgscavalb

Description: Addition combined with scalar multiplication in a free module at the coordinates. (Contributed by AV, 16-Jan-2023)

Ref Expression
Hypotheses frlmplusgvalb.f F = R freeLMod I
frlmplusgvalb.b B = Base F
frlmplusgvalb.i φ I W
frlmplusgvalb.x φ X B
frlmplusgvalb.z φ Z B
frlmplusgvalb.r φ R Ring
frlmvscavalb.k K = Base R
frlmvscavalb.a φ A K
frlmvscavalb.v ˙ = F
frlmvscavalb.t · ˙ = R
frlmvplusgscavalb.y φ Y B
frlmvplusgscavalb.a + ˙ = + R
frlmvplusgscavalb.p ˙ = + F
frlmvplusgscavalb.c φ C K
Assertion frlmvplusgscavalb φ Z = A ˙ X ˙ C ˙ Y i I Z i = A · ˙ X i + ˙ C · ˙ Y i

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 frlmplusgvalb.f F = R freeLMod I
2 frlmplusgvalb.b B = Base F
3 frlmplusgvalb.i φ I W
4 frlmplusgvalb.x φ X B
5 frlmplusgvalb.z φ Z B
6 frlmplusgvalb.r φ R Ring
7 frlmvscavalb.k K = Base R
8 frlmvscavalb.a φ A K
9 frlmvscavalb.v ˙ = F
10 frlmvscavalb.t · ˙ = R
11 frlmvplusgscavalb.y φ Y B
12 frlmvplusgscavalb.a + ˙ = + R
13 frlmvplusgscavalb.p ˙ = + F
14 frlmvplusgscavalb.c φ C K
15 1 frlmlmod R Ring I W F LMod
16 6 3 15 syl2anc φ F LMod
17 8 7 eleqtrdi φ A Base R
18 1 frlmsca R Ring I W R = Scalar F
19 6 3 18 syl2anc φ R = Scalar F
20 19 fveq2d φ Base R = Base Scalar F
21 17 20 eleqtrd φ A Base Scalar F
22 eqid Scalar F = Scalar F
23 eqid Base Scalar F = Base Scalar F
24 2 22 9 23 lmodvscl F LMod A Base Scalar F X B A ˙ X B
25 16 21 4 24 syl3anc φ A ˙ X B
26 14 7 eleqtrdi φ C Base R
27 26 20 eleqtrd φ C Base Scalar F
28 2 22 9 23 lmodvscl F LMod C Base Scalar F Y B C ˙ Y B
29 16 27 11 28 syl3anc φ C ˙ Y B
30 1 2 3 25 5 6 29 12 13 frlmplusgvalb φ Z = A ˙ X ˙ C ˙ Y i I Z i = A ˙ X i + ˙ C ˙ Y i
31 3 adantr φ i I I W
32 8 adantr φ i I A K
33 4 adantr φ i I X B
34 simpr φ i I i I
35 1 2 7 31 32 33 34 9 10 frlmvscaval φ i I A ˙ X i = A · ˙ X i
36 14 adantr φ i I C K
37 11 adantr φ i I Y B
38 1 2 7 31 36 37 34 9 10 frlmvscaval φ i I C ˙ Y i = C · ˙ Y i
39 35 38 oveq12d φ i I A ˙ X i + ˙ C ˙ Y i = A · ˙ X i + ˙ C · ˙ Y i
40 39 eqeq2d φ i I Z i = A ˙ X i + ˙ C ˙ Y i Z i = A · ˙ X i + ˙ C · ˙ Y i
41 40 ralbidva φ i I Z i = A ˙ X i + ˙ C ˙ Y i i I Z i = A · ˙ X i + ˙ C · ˙ Y i
42 30 41 bitrd φ Z = A ˙ X ˙ C ˙ Y i I Z i = A · ˙ X i + ˙ C · ˙ Y i