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Theorem iunmapsn

Description: The indexed union of set exponentiations to a singleton is equal to the set exponentiation of the indexed union. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021)

Ref Expression
Hypotheses iunmapsn.x x φ
iunmapsn.a φ A V
iunmapsn.b φ x A B W
iunmapsn.c φ C Z
Assertion iunmapsn φ x A B C = x A B C

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 iunmapsn.x x φ
2 iunmapsn.a φ A V
3 iunmapsn.b φ x A B W
4 iunmapsn.c φ C Z
5 1 2 3 iunmapss φ x A B C x A B C
6 simpr φ f x A B C f x A B C
7 3 ex φ x A B W
8 1 7 ralrimi φ x A B W
9 iunexg A V x A B W x A B V
10 2 8 9 syl2anc φ x A B V
11 10 4 mapsnd φ x A B C = f | y x A B f = C y
12 11 adantr φ f x A B C x A B C = f | y x A B f = C y
13 6 12 eleqtrd φ f x A B C f f | y x A B f = C y
14 abid f f | y x A B f = C y y x A B f = C y
15 13 14 sylib φ f x A B C y x A B f = C y
16 eliun y x A B x A y B
17 16 biimpi y x A B x A y B
18 17 3ad2ant2 φ y x A B f = C y x A y B
19 nfcv _ x y
20 nfiu1 _ x x A B
21 19 20 nfel x y x A B
22 nfv x f = C y
23 1 21 22 nf3an x φ y x A B f = C y
24 rspe y B f = C y y B f = C y
25 24 ancoms f = C y y B y B f = C y
26 abid f f | y B f = C y y B f = C y
27 25 26 sylibr f = C y y B f f | y B f = C y
28 27 adantll φ f = C y y B f f | y B f = C y
29 28 3adant2 φ f = C y x A y B f f | y B f = C y
30 4 adantr φ x A C Z
31 3 30 mapsnd φ x A B C = f | y B f = C y
32 31 eqcomd φ x A f | y B f = C y = B C
33 32 3adant3 φ x A y B f | y B f = C y = B C
34 33 3adant1r φ f = C y x A y B f | y B f = C y = B C
35 29 34 eleqtrd φ f = C y x A y B f B C
36 35 3exp φ f = C y x A y B f B C
37 36 3adant2 φ y x A B f = C y x A y B f B C
38 23 37 reximdai φ y x A B f = C y x A y B x A f B C
39 18 38 mpd φ y x A B f = C y x A f B C
40 39 3exp φ y x A B f = C y x A f B C
41 40 rexlimdv φ y x A B f = C y x A f B C
42 41 adantr φ f x A B C y x A B f = C y x A f B C
43 15 42 mpd φ f x A B C x A f B C
44 eliun f x A B C x A f B C
45 43 44 sylibr φ f x A B C f x A B C
46 5 45 eqelssd φ x A B C = x A B C