Theorem leatb

Description: A poset element less than or equal to an atom equals either zero or the atom. ( atss analog.) (Contributed by NM, 17-Nov-2011)

	Ref	Expression
Hypotheses	leatom.b	$$⊢B={\mathrm{Base}}_K$$
	leatom.l	$$⊢\underset{\dot{}}{\le }={\le }_K$$
	leatom.z	$$⊢\underset{\dot{}}{0}=\mathrm{0.}\left(K\right)$$
	leatom.a	$$⊢A=\mathrm{Atoms}\left(K\right)$$
Assertion	leatb	$$⊢\left(K\in \mathrm{OP}\wedge X\in B\wedge P\in A\right)\to \left(X\underset{\dot{}}{\le }P\leftrightarrow \left(X=P\vee X=\underset{\dot{}}{0}\right)\right)$$

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leatom.b	$$⊢B={\mathrm{Base}}_K$$
2		leatom.l	$$⊢\underset{\dot{}}{\le }={\le }_K$$
3		leatom.z	$$⊢\underset{\dot{}}{0}=\mathrm{0.}\left(K\right)$$
4		leatom.a	$$⊢A=\mathrm{Atoms}\left(K\right)$$
5	1 2 3	op0le	$$⊢\left(K\in \mathrm{OP}\wedge X\in B\right)\to \underset{\dot{}}{0}\underset{\dot{}}{\le }X$$
6	5	3adant3	$$⊢\left(K\in \mathrm{OP}\wedge X\in B\wedge P\in A\right)\to \underset{\dot{}}{0}\underset{\dot{}}{\le }X$$
7	6	biantrurd	$$⊢\left(K\in \mathrm{OP}\wedge X\in B\wedge P\in A\right)\to \left(X\underset{\dot{}}{\le }P\leftrightarrow \left(\underset{\dot{}}{0}\underset{\dot{}}{\le }X\wedge X\underset{\dot{}}{\le }P\right)\right)$$
8		opposet	$$⊢K\in \mathrm{OP}\to K\in \mathrm{Poset}$$
9	8	3ad2ant1	$$⊢\left(K\in \mathrm{OP}\wedge X\in B\wedge P\in A\right)\to K\in \mathrm{Poset}$$
10	1 3	op0cl	$$⊢K\in \mathrm{OP}\to \underset{\dot{}}{0}\in B$$
11	1 4	atbase	$$⊢P\in A\to P\in B$$
12		id	$$⊢X\in B\to X\in B$$
13	10 11 12	3anim123i	$$⊢\left(K\in \mathrm{OP}\wedge P\in A\wedge X\in B\right)\to \left(\underset{\dot{}}{0}\in B\wedge P\in B\wedge X\in B\right)$$
14	13	3com23	$$⊢\left(K\in \mathrm{OP}\wedge X\in B\wedge P\in A\right)\to \left(\underset{\dot{}}{0}\in B\wedge P\in B\wedge X\in B\right)$$
15		eqid	$$⊢{⋖}_K={⋖}_K$$
16	3 15 4	atcvr0	$$⊢\left(K\in \mathrm{OP}\wedge P\in A\right)\to \underset{\dot{}}{0}{⋖}_{K}P$$
17	16	3adant2	$$⊢\left(K\in \mathrm{OP}\wedge X\in B\wedge P\in A\right)\to \underset{\dot{}}{0}{⋖}_{K}P$$
18	1 2 15	cvrnbtwn4	$$⊢\left(K\in \mathrm{Poset}\wedge \left(\underset{\dot{}}{0}\in B\wedge P\in B\wedge X\in B\right)\wedge \underset{\dot{}}{0}{⋖}_{K}P\right)\to \left(\left(\underset{\dot{}}{0}\underset{\dot{}}{\le }X\wedge X\underset{\dot{}}{\le }P\right)\leftrightarrow \left(\underset{\dot{}}{0}=X\vee X=P\right)\right)$$
19	9 14 17 18	syl3anc	$$⊢\left(K\in \mathrm{OP}\wedge X\in B\wedge P\in A\right)\to \left(\left(\underset{\dot{}}{0}\underset{\dot{}}{\le }X\wedge X\underset{\dot{}}{\le }P\right)\leftrightarrow \left(\underset{\dot{}}{0}=X\vee X=P\right)\right)$$
20		eqcom	$$⊢\underset{\dot{}}{0}=X\leftrightarrow X=\underset{\dot{}}{0}$$
21	20	orbi1i	$$⊢\left(\underset{\dot{}}{0}=X\vee X=P\right)\leftrightarrow \left(X=\underset{\dot{}}{0}\vee X=P\right)$$
22	19 21	bitrdi	$$⊢\left(K\in \mathrm{OP}\wedge X\in B\wedge P\in A\right)\to \left(\left(\underset{\dot{}}{0}\underset{\dot{}}{\le }X\wedge X\underset{\dot{}}{\le }P\right)\leftrightarrow \left(X=\underset{\dot{}}{0}\vee X=P\right)\right)$$
23	7 22	bitrd	$$⊢\left(K\in \mathrm{OP}\wedge X\in B\wedge P\in A\right)\to \left(X\underset{\dot{}}{\le }P\leftrightarrow \left(X=\underset{\dot{}}{0}\vee X=P\right)\right)$$
24		orcom	$$⊢\left(X=\underset{\dot{}}{0}\vee X=P\right)\leftrightarrow \left(X=P\vee X=\underset{\dot{}}{0}\right)$$
25	23 24	bitrdi	$$⊢\left(K\in \mathrm{OP}\wedge X\in B\wedge P\in A\right)\to \left(X\underset{\dot{}}{\le }P\leftrightarrow \left(X=P\vee X=\underset{\dot{}}{0}\right)\right)$$