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Theorem mhmid

Description: A surjective monoid morphism preserves identity element. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jan-2020)

Ref Expression
Hypotheses ghmgrp.f φ x X y X F x + ˙ y = F x ˙ F y
ghmgrp.x X = Base G
ghmgrp.y Y = Base H
ghmgrp.p + ˙ = + G
ghmgrp.q ˙ = + H
ghmgrp.1 φ F : X onto Y
mhmmnd.3 φ G Mnd
mhmid.0 0 ˙ = 0 G
Assertion mhmid φ F 0 ˙ = 0 H

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 ghmgrp.f φ x X y X F x + ˙ y = F x ˙ F y
2 ghmgrp.x X = Base G
3 ghmgrp.y Y = Base H
4 ghmgrp.p + ˙ = + G
5 ghmgrp.q ˙ = + H
6 ghmgrp.1 φ F : X onto Y
7 mhmmnd.3 φ G Mnd
8 mhmid.0 0 ˙ = 0 G
9 eqid 0 H = 0 H
10 fof F : X onto Y F : X Y
11 6 10 syl φ F : X Y
12 2 8 mndidcl G Mnd 0 ˙ X
13 7 12 syl φ 0 ˙ X
14 11 13 ffvelrnd φ F 0 ˙ Y
15 simplll φ a Y i X F i = a φ
16 15 1 syl3an1 φ a Y i X F i = a x X y X F x + ˙ y = F x ˙ F y
17 7 ad3antrrr φ a Y i X F i = a G Mnd
18 17 12 syl φ a Y i X F i = a 0 ˙ X
19 simplr φ a Y i X F i = a i X
20 16 18 19 mhmlem φ a Y i X F i = a F 0 ˙ + ˙ i = F 0 ˙ ˙ F i
21 2 4 8 mndlid G Mnd i X 0 ˙ + ˙ i = i
22 17 19 21 syl2anc φ a Y i X F i = a 0 ˙ + ˙ i = i
23 22 fveq2d φ a Y i X F i = a F 0 ˙ + ˙ i = F i
24 20 23 eqtr3d φ a Y i X F i = a F 0 ˙ ˙ F i = F i
25 simpr φ a Y i X F i = a F i = a
26 25 oveq2d φ a Y i X F i = a F 0 ˙ ˙ F i = F 0 ˙ ˙ a
27 24 26 25 3eqtr3d φ a Y i X F i = a F 0 ˙ ˙ a = a
28 foelrni F : X onto Y a Y i X F i = a
29 6 28 sylan φ a Y i X F i = a
30 27 29 r19.29a φ a Y F 0 ˙ ˙ a = a
31 16 19 18 mhmlem φ a Y i X F i = a F i + ˙ 0 ˙ = F i ˙ F 0 ˙
32 2 4 8 mndrid G Mnd i X i + ˙ 0 ˙ = i
33 17 19 32 syl2anc φ a Y i X F i = a i + ˙ 0 ˙ = i
34 33 fveq2d φ a Y i X F i = a F i + ˙ 0 ˙ = F i
35 31 34 eqtr3d φ a Y i X F i = a F i ˙ F 0 ˙ = F i
36 25 oveq1d φ a Y i X F i = a F i ˙ F 0 ˙ = a ˙ F 0 ˙
37 35 36 25 3eqtr3d φ a Y i X F i = a a ˙ F 0 ˙ = a
38 37 29 r19.29a φ a Y a ˙ F 0 ˙ = a
39 3 9 5 14 30 38 ismgmid2 φ F 0 ˙ = 0 H