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Theorem rngsubdir

Description: Ring multiplication distributes over subtraction. ( subdir analog.) (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2014)

Ref Expression
Hypotheses ringsubdi.b B = Base R
ringsubdi.t · ˙ = R
ringsubdi.m - ˙ = - R
ringsubdi.r φ R Ring
ringsubdi.x φ X B
ringsubdi.y φ Y B
ringsubdi.z φ Z B
Assertion rngsubdir φ X - ˙ Y · ˙ Z = X · ˙ Z - ˙ Y · ˙ Z

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 ringsubdi.b B = Base R
2 ringsubdi.t · ˙ = R
3 ringsubdi.m - ˙ = - R
4 ringsubdi.r φ R Ring
5 ringsubdi.x φ X B
6 ringsubdi.y φ Y B
7 ringsubdi.z φ Z B
8 ringgrp R Ring R Grp
9 4 8 syl φ R Grp
10 eqid inv g R = inv g R
11 1 10 grpinvcl R Grp Y B inv g R Y B
12 9 6 11 syl2anc φ inv g R Y B
13 eqid + R = + R
14 1 13 2 ringdir R Ring X B inv g R Y B Z B X + R inv g R Y · ˙ Z = X · ˙ Z + R inv g R Y · ˙ Z
15 4 5 12 7 14 syl13anc φ X + R inv g R Y · ˙ Z = X · ˙ Z + R inv g R Y · ˙ Z
16 1 2 10 4 6 7 ringmneg1 φ inv g R Y · ˙ Z = inv g R Y · ˙ Z
17 16 oveq2d φ X · ˙ Z + R inv g R Y · ˙ Z = X · ˙ Z + R inv g R Y · ˙ Z
18 15 17 eqtrd φ X + R inv g R Y · ˙ Z = X · ˙ Z + R inv g R Y · ˙ Z
19 1 13 10 3 grpsubval X B Y B X - ˙ Y = X + R inv g R Y
20 5 6 19 syl2anc φ X - ˙ Y = X + R inv g R Y
21 20 oveq1d φ X - ˙ Y · ˙ Z = X + R inv g R Y · ˙ Z
22 1 2 ringcl R Ring X B Z B X · ˙ Z B
23 4 5 7 22 syl3anc φ X · ˙ Z B
24 1 2 ringcl R Ring Y B Z B Y · ˙ Z B
25 4 6 7 24 syl3anc φ Y · ˙ Z B
26 1 13 10 3 grpsubval X · ˙ Z B Y · ˙ Z B X · ˙ Z - ˙ Y · ˙ Z = X · ˙ Z + R inv g R Y · ˙ Z
27 23 25 26 syl2anc φ X · ˙ Z - ˙ Y · ˙ Z = X · ˙ Z + R inv g R Y · ˙ Z
28 18 21 27 3eqtr4d φ X - ˙ Y · ˙ Z = X · ˙ Z - ˙ Y · ˙ Z