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Theorem sge0lempt

Description: If all of the terms of sums compare, so do the sums. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020)

Ref Expression
Hypotheses sge0lempt.xph x φ
sge0lempt.a φ A V
sge0lempt.b φ x A B 0 +∞
sge0lempt.c φ x A C 0 +∞
sge0lempt.le φ x A B C
Assertion sge0lempt φ sum^ x A B sum^ x A C

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 sge0lempt.xph x φ
2 sge0lempt.a φ A V
3 sge0lempt.b φ x A B 0 +∞
4 sge0lempt.c φ x A C 0 +∞
5 sge0lempt.le φ x A B C
6 eqid x A B = x A B
7 1 3 6 fmptdf φ x A B : A 0 +∞
8 eqid x A C = x A C
9 1 4 8 fmptdf φ x A C : A 0 +∞
10 nfv x y A
11 1 10 nfan x φ y A
12 nfcv _ x y
13 12 nfcsb1 _ x y / x B
14 nfcv _ x
15 12 nfcsb1 _ x y / x C
16 13 14 15 nfbr x y / x B y / x C
17 11 16 nfim x φ y A y / x B y / x C
18 eleq1w x = y x A y A
19 18 anbi2d x = y φ x A φ y A
20 csbeq1a x = y B = y / x B
21 csbeq1a x = y C = y / x C
22 20 21 breq12d x = y B C y / x B y / x C
23 19 22 imbi12d x = y φ x A B C φ y A y / x B y / x C
24 17 23 5 chvarfv φ y A y / x B y / x C
25 simpr φ y A y A
26 13 nfel1 x y / x B 0 +∞
27 11 26 nfim x φ y A y / x B 0 +∞
28 20 eleq1d x = y B 0 +∞ y / x B 0 +∞
29 19 28 imbi12d x = y φ x A B 0 +∞ φ y A y / x B 0 +∞
30 27 29 3 chvarfv φ y A y / x B 0 +∞
31 12 13 20 6 fvmptf y A y / x B 0 +∞ x A B y = y / x B
32 25 30 31 syl2anc φ y A x A B y = y / x B
33 nfcv _ x 0 +∞
34 15 33 nfel x y / x C 0 +∞
35 11 34 nfim x φ y A y / x C 0 +∞
36 21 eleq1d x = y C 0 +∞ y / x C 0 +∞
37 19 36 imbi12d x = y φ x A C 0 +∞ φ y A y / x C 0 +∞
38 35 37 4 chvarfv φ y A y / x C 0 +∞
39 12 15 21 8 fvmptf y A y / x C 0 +∞ x A C y = y / x C
40 25 38 39 syl2anc φ y A x A C y = y / x C
41 32 40 breq12d φ y A x A B y x A C y y / x B y / x C
42 24 41 mpbird φ y A x A B y x A C y
43 2 7 9 42 sge0le φ sum^ x A B sum^ x A C