Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
axtrkge.p |
⊢ 𝑃 = ( Base ‘ 𝐺 ) |
2 |
|
axtrkge.d |
⊢ − = ( dist ‘ 𝐺 ) |
3 |
|
axtrkge.i |
⊢ 𝐼 = ( Itv ‘ 𝐺 ) |
4 |
|
axtgupdim2.x |
⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃 ) |
5 |
|
axtgupdim2.y |
⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃 ) |
6 |
|
axtgupdim2.z |
⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃 ) |
7 |
|
axtgupdim2.u |
⊢ ( 𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑃 ) |
8 |
|
axtgupdim2.v |
⊢ ( 𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑃 ) |
9 |
|
axtgupdim2.0 |
⊢ ( 𝜑 → 𝑈 ≠ 𝑉 ) |
10 |
|
axtgupdim2.1 |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑈 − 𝑋 ) = ( 𝑉 − 𝑋 ) ) |
11 |
|
axtgupdim2.2 |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑈 − 𝑌 ) = ( 𝑉 − 𝑌 ) ) |
12 |
|
axtgupdim2.3 |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑈 − 𝑍 ) = ( 𝑉 − 𝑍 ) ) |
13 |
|
axtgupdim2.w |
⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉 ) |
14 |
|
axtgupdim2.g |
⊢ ( 𝜑 → ¬ 𝐺 DimTarskiG≥ 3 ) |
15 |
1 2 3
|
istrkg3ld |
⊢ ( 𝐺 ∈ 𝑉 → ( 𝐺 DimTarskiG≥ 3 ↔ ∃ 𝑢 ∈ 𝑃 ∃ 𝑣 ∈ 𝑃 ( 𝑢 ≠ 𝑣 ∧ ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ( ( 𝑢 − 𝑥 ) = ( 𝑣 − 𝑥 ) ∧ ( 𝑢 − 𝑦 ) = ( 𝑣 − 𝑦 ) ∧ ( 𝑢 − 𝑧 ) = ( 𝑣 − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) ) ) |
16 |
13 15
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐺 DimTarskiG≥ 3 ↔ ∃ 𝑢 ∈ 𝑃 ∃ 𝑣 ∈ 𝑃 ( 𝑢 ≠ 𝑣 ∧ ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ( ( 𝑢 − 𝑥 ) = ( 𝑣 − 𝑥 ) ∧ ( 𝑢 − 𝑦 ) = ( 𝑣 − 𝑦 ) ∧ ( 𝑢 − 𝑧 ) = ( 𝑣 − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) ) ) |
17 |
14 16
|
mtbid |
⊢ ( 𝜑 → ¬ ∃ 𝑢 ∈ 𝑃 ∃ 𝑣 ∈ 𝑃 ( 𝑢 ≠ 𝑣 ∧ ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ( ( 𝑢 − 𝑥 ) = ( 𝑣 − 𝑥 ) ∧ ( 𝑢 − 𝑦 ) = ( 𝑣 − 𝑦 ) ∧ ( 𝑢 − 𝑧 ) = ( 𝑣 − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) ) |
18 |
|
ralnex2 |
⊢ ( ∀ 𝑢 ∈ 𝑃 ∀ 𝑣 ∈ 𝑃 ¬ ( 𝑢 ≠ 𝑣 ∧ ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ( ( 𝑢 − 𝑥 ) = ( 𝑣 − 𝑥 ) ∧ ( 𝑢 − 𝑦 ) = ( 𝑣 − 𝑦 ) ∧ ( 𝑢 − 𝑧 ) = ( 𝑣 − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) ↔ ¬ ∃ 𝑢 ∈ 𝑃 ∃ 𝑣 ∈ 𝑃 ( 𝑢 ≠ 𝑣 ∧ ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ( ( 𝑢 − 𝑥 ) = ( 𝑣 − 𝑥 ) ∧ ( 𝑢 − 𝑦 ) = ( 𝑣 − 𝑦 ) ∧ ( 𝑢 − 𝑧 ) = ( 𝑣 − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) ) |
19 |
17 18
|
sylibr |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑢 ∈ 𝑃 ∀ 𝑣 ∈ 𝑃 ¬ ( 𝑢 ≠ 𝑣 ∧ ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ( ( 𝑢 − 𝑥 ) = ( 𝑣 − 𝑥 ) ∧ ( 𝑢 − 𝑦 ) = ( 𝑣 − 𝑦 ) ∧ ( 𝑢 − 𝑧 ) = ( 𝑣 − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) ) |
20 |
|
neeq1 |
⊢ ( 𝑢 = 𝑈 → ( 𝑢 ≠ 𝑣 ↔ 𝑈 ≠ 𝑣 ) ) |
21 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑢 = 𝑈 → ( 𝑢 − 𝑥 ) = ( 𝑈 − 𝑥 ) ) |
22 |
21
|
eqeq1d |
⊢ ( 𝑢 = 𝑈 → ( ( 𝑢 − 𝑥 ) = ( 𝑣 − 𝑥 ) ↔ ( 𝑈 − 𝑥 ) = ( 𝑣 − 𝑥 ) ) ) |
23 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑢 = 𝑈 → ( 𝑢 − 𝑦 ) = ( 𝑈 − 𝑦 ) ) |
24 |
23
|
eqeq1d |
⊢ ( 𝑢 = 𝑈 → ( ( 𝑢 − 𝑦 ) = ( 𝑣 − 𝑦 ) ↔ ( 𝑈 − 𝑦 ) = ( 𝑣 − 𝑦 ) ) ) |
25 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑢 = 𝑈 → ( 𝑢 − 𝑧 ) = ( 𝑈 − 𝑧 ) ) |
26 |
25
|
eqeq1d |
⊢ ( 𝑢 = 𝑈 → ( ( 𝑢 − 𝑧 ) = ( 𝑣 − 𝑧 ) ↔ ( 𝑈 − 𝑧 ) = ( 𝑣 − 𝑧 ) ) ) |
27 |
22 24 26
|
3anbi123d |
⊢ ( 𝑢 = 𝑈 → ( ( ( 𝑢 − 𝑥 ) = ( 𝑣 − 𝑥 ) ∧ ( 𝑢 − 𝑦 ) = ( 𝑣 − 𝑦 ) ∧ ( 𝑢 − 𝑧 ) = ( 𝑣 − 𝑧 ) ) ↔ ( ( 𝑈 − 𝑥 ) = ( 𝑣 − 𝑥 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑦 ) = ( 𝑣 − 𝑦 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑧 ) = ( 𝑣 − 𝑧 ) ) ) ) |
28 |
27
|
anbi1d |
⊢ ( 𝑢 = 𝑈 → ( ( ( ( 𝑢 − 𝑥 ) = ( 𝑣 − 𝑥 ) ∧ ( 𝑢 − 𝑦 ) = ( 𝑣 − 𝑦 ) ∧ ( 𝑢 − 𝑧 ) = ( 𝑣 − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝑈 − 𝑥 ) = ( 𝑣 − 𝑥 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑦 ) = ( 𝑣 − 𝑦 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑧 ) = ( 𝑣 − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) ) |
29 |
28
|
rexbidv |
⊢ ( 𝑢 = 𝑈 → ( ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ( ( 𝑢 − 𝑥 ) = ( 𝑣 − 𝑥 ) ∧ ( 𝑢 − 𝑦 ) = ( 𝑣 − 𝑦 ) ∧ ( 𝑢 − 𝑧 ) = ( 𝑣 − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ↔ ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ( ( 𝑈 − 𝑥 ) = ( 𝑣 − 𝑥 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑦 ) = ( 𝑣 − 𝑦 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑧 ) = ( 𝑣 − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) ) |
30 |
29
|
2rexbidv |
⊢ ( 𝑢 = 𝑈 → ( ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ( ( 𝑢 − 𝑥 ) = ( 𝑣 − 𝑥 ) ∧ ( 𝑢 − 𝑦 ) = ( 𝑣 − 𝑦 ) ∧ ( 𝑢 − 𝑧 ) = ( 𝑣 − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ( ( 𝑈 − 𝑥 ) = ( 𝑣 − 𝑥 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑦 ) = ( 𝑣 − 𝑦 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑧 ) = ( 𝑣 − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) ) |
31 |
20 30
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑢 = 𝑈 → ( ( 𝑢 ≠ 𝑣 ∧ ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ( ( 𝑢 − 𝑥 ) = ( 𝑣 − 𝑥 ) ∧ ( 𝑢 − 𝑦 ) = ( 𝑣 − 𝑦 ) ∧ ( 𝑢 − 𝑧 ) = ( 𝑣 − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) ↔ ( 𝑈 ≠ 𝑣 ∧ ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ( ( 𝑈 − 𝑥 ) = ( 𝑣 − 𝑥 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑦 ) = ( 𝑣 − 𝑦 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑧 ) = ( 𝑣 − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) ) ) |
32 |
31
|
notbid |
⊢ ( 𝑢 = 𝑈 → ( ¬ ( 𝑢 ≠ 𝑣 ∧ ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ( ( 𝑢 − 𝑥 ) = ( 𝑣 − 𝑥 ) ∧ ( 𝑢 − 𝑦 ) = ( 𝑣 − 𝑦 ) ∧ ( 𝑢 − 𝑧 ) = ( 𝑣 − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) ↔ ¬ ( 𝑈 ≠ 𝑣 ∧ ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ( ( 𝑈 − 𝑥 ) = ( 𝑣 − 𝑥 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑦 ) = ( 𝑣 − 𝑦 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑧 ) = ( 𝑣 − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) ) ) |
33 |
|
neeq2 |
⊢ ( 𝑣 = 𝑉 → ( 𝑈 ≠ 𝑣 ↔ 𝑈 ≠ 𝑉 ) ) |
34 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑣 = 𝑉 → ( 𝑣 − 𝑥 ) = ( 𝑉 − 𝑥 ) ) |
35 |
34
|
eqeq2d |
⊢ ( 𝑣 = 𝑉 → ( ( 𝑈 − 𝑥 ) = ( 𝑣 − 𝑥 ) ↔ ( 𝑈 − 𝑥 ) = ( 𝑉 − 𝑥 ) ) ) |
36 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑣 = 𝑉 → ( 𝑣 − 𝑦 ) = ( 𝑉 − 𝑦 ) ) |
37 |
36
|
eqeq2d |
⊢ ( 𝑣 = 𝑉 → ( ( 𝑈 − 𝑦 ) = ( 𝑣 − 𝑦 ) ↔ ( 𝑈 − 𝑦 ) = ( 𝑉 − 𝑦 ) ) ) |
38 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑣 = 𝑉 → ( 𝑣 − 𝑧 ) = ( 𝑉 − 𝑧 ) ) |
39 |
38
|
eqeq2d |
⊢ ( 𝑣 = 𝑉 → ( ( 𝑈 − 𝑧 ) = ( 𝑣 − 𝑧 ) ↔ ( 𝑈 − 𝑧 ) = ( 𝑉 − 𝑧 ) ) ) |
40 |
35 37 39
|
3anbi123d |
⊢ ( 𝑣 = 𝑉 → ( ( ( 𝑈 − 𝑥 ) = ( 𝑣 − 𝑥 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑦 ) = ( 𝑣 − 𝑦 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑧 ) = ( 𝑣 − 𝑧 ) ) ↔ ( ( 𝑈 − 𝑥 ) = ( 𝑉 − 𝑥 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑦 ) = ( 𝑉 − 𝑦 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑧 ) = ( 𝑉 − 𝑧 ) ) ) ) |
41 |
40
|
anbi1d |
⊢ ( 𝑣 = 𝑉 → ( ( ( ( 𝑈 − 𝑥 ) = ( 𝑣 − 𝑥 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑦 ) = ( 𝑣 − 𝑦 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑧 ) = ( 𝑣 − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝑈 − 𝑥 ) = ( 𝑉 − 𝑥 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑦 ) = ( 𝑉 − 𝑦 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑧 ) = ( 𝑉 − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) ) |
42 |
41
|
rexbidv |
⊢ ( 𝑣 = 𝑉 → ( ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ( ( 𝑈 − 𝑥 ) = ( 𝑣 − 𝑥 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑦 ) = ( 𝑣 − 𝑦 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑧 ) = ( 𝑣 − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ↔ ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ( ( 𝑈 − 𝑥 ) = ( 𝑉 − 𝑥 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑦 ) = ( 𝑉 − 𝑦 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑧 ) = ( 𝑉 − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) ) |
43 |
42
|
2rexbidv |
⊢ ( 𝑣 = 𝑉 → ( ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ( ( 𝑈 − 𝑥 ) = ( 𝑣 − 𝑥 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑦 ) = ( 𝑣 − 𝑦 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑧 ) = ( 𝑣 − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ( ( 𝑈 − 𝑥 ) = ( 𝑉 − 𝑥 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑦 ) = ( 𝑉 − 𝑦 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑧 ) = ( 𝑉 − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) ) |
44 |
33 43
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑣 = 𝑉 → ( ( 𝑈 ≠ 𝑣 ∧ ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ( ( 𝑈 − 𝑥 ) = ( 𝑣 − 𝑥 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑦 ) = ( 𝑣 − 𝑦 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑧 ) = ( 𝑣 − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) ↔ ( 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ( ( 𝑈 − 𝑥 ) = ( 𝑉 − 𝑥 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑦 ) = ( 𝑉 − 𝑦 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑧 ) = ( 𝑉 − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) ) ) |
45 |
44
|
notbid |
⊢ ( 𝑣 = 𝑉 → ( ¬ ( 𝑈 ≠ 𝑣 ∧ ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ( ( 𝑈 − 𝑥 ) = ( 𝑣 − 𝑥 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑦 ) = ( 𝑣 − 𝑦 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑧 ) = ( 𝑣 − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) ↔ ¬ ( 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ( ( 𝑈 − 𝑥 ) = ( 𝑉 − 𝑥 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑦 ) = ( 𝑉 − 𝑦 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑧 ) = ( 𝑉 − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) ) ) |
46 |
32 45
|
rspc2v |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ 𝑃 ∧ 𝑉 ∈ 𝑃 ) → ( ∀ 𝑢 ∈ 𝑃 ∀ 𝑣 ∈ 𝑃 ¬ ( 𝑢 ≠ 𝑣 ∧ ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ( ( 𝑢 − 𝑥 ) = ( 𝑣 − 𝑥 ) ∧ ( 𝑢 − 𝑦 ) = ( 𝑣 − 𝑦 ) ∧ ( 𝑢 − 𝑧 ) = ( 𝑣 − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) → ¬ ( 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ( ( 𝑈 − 𝑥 ) = ( 𝑉 − 𝑥 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑦 ) = ( 𝑉 − 𝑦 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑧 ) = ( 𝑉 − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) ) ) |
47 |
7 8 46
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( ∀ 𝑢 ∈ 𝑃 ∀ 𝑣 ∈ 𝑃 ¬ ( 𝑢 ≠ 𝑣 ∧ ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ( ( 𝑢 − 𝑥 ) = ( 𝑣 − 𝑥 ) ∧ ( 𝑢 − 𝑦 ) = ( 𝑣 − 𝑦 ) ∧ ( 𝑢 − 𝑧 ) = ( 𝑣 − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) → ¬ ( 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ( ( 𝑈 − 𝑥 ) = ( 𝑉 − 𝑥 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑦 ) = ( 𝑉 − 𝑦 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑧 ) = ( 𝑉 − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) ) ) |
48 |
19 47
|
mpd |
⊢ ( 𝜑 → ¬ ( 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ( ( 𝑈 − 𝑥 ) = ( 𝑉 − 𝑥 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑦 ) = ( 𝑉 − 𝑦 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑧 ) = ( 𝑉 − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) ) |
49 |
|
imnan |
⊢ ( ( 𝑈 ≠ 𝑉 → ¬ ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ( ( 𝑈 − 𝑥 ) = ( 𝑉 − 𝑥 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑦 ) = ( 𝑉 − 𝑦 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑧 ) = ( 𝑉 − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) ↔ ¬ ( 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ( ( 𝑈 − 𝑥 ) = ( 𝑉 − 𝑥 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑦 ) = ( 𝑉 − 𝑦 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑧 ) = ( 𝑉 − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) ) |
50 |
48 49
|
sylibr |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑈 ≠ 𝑉 → ¬ ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ( ( 𝑈 − 𝑥 ) = ( 𝑉 − 𝑥 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑦 ) = ( 𝑉 − 𝑦 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑧 ) = ( 𝑉 − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) ) |
51 |
9 50
|
mpd |
⊢ ( 𝜑 → ¬ ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ( ( 𝑈 − 𝑥 ) = ( 𝑉 − 𝑥 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑦 ) = ( 𝑉 − 𝑦 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑧 ) = ( 𝑉 − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) |
52 |
|
ralnex3 |
⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ 𝑃 ∀ 𝑦 ∈ 𝑃 ∀ 𝑧 ∈ 𝑃 ¬ ( ( ( 𝑈 − 𝑥 ) = ( 𝑉 − 𝑥 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑦 ) = ( 𝑉 − 𝑦 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑧 ) = ( 𝑉 − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ↔ ¬ ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ( ( 𝑈 − 𝑥 ) = ( 𝑉 − 𝑥 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑦 ) = ( 𝑉 − 𝑦 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑧 ) = ( 𝑉 − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) |
53 |
51 52
|
sylibr |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑥 ∈ 𝑃 ∀ 𝑦 ∈ 𝑃 ∀ 𝑧 ∈ 𝑃 ¬ ( ( ( 𝑈 − 𝑥 ) = ( 𝑉 − 𝑥 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑦 ) = ( 𝑉 − 𝑦 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑧 ) = ( 𝑉 − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) |
54 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → ( 𝑈 − 𝑥 ) = ( 𝑈 − 𝑋 ) ) |
55 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → ( 𝑉 − 𝑥 ) = ( 𝑉 − 𝑋 ) ) |
56 |
54 55
|
eqeq12d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → ( ( 𝑈 − 𝑥 ) = ( 𝑉 − 𝑥 ) ↔ ( 𝑈 − 𝑋 ) = ( 𝑉 − 𝑋 ) ) ) |
57 |
56
|
3anbi1d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → ( ( ( 𝑈 − 𝑥 ) = ( 𝑉 − 𝑥 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑦 ) = ( 𝑉 − 𝑦 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑧 ) = ( 𝑉 − 𝑧 ) ) ↔ ( ( 𝑈 − 𝑋 ) = ( 𝑉 − 𝑋 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑦 ) = ( 𝑉 − 𝑦 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑧 ) = ( 𝑉 − 𝑧 ) ) ) ) |
58 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) = ( 𝑋 𝐼 𝑦 ) ) |
59 |
58
|
eleq2d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ↔ 𝑧 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑦 ) ) ) |
60 |
|
eleq1 |
⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → ( 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ↔ 𝑋 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ) ) |
61 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) = ( 𝑋 𝐼 𝑧 ) ) |
62 |
61
|
eleq2d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → ( 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ↔ 𝑦 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑧 ) ) ) |
63 |
59 60 62
|
3orbi123d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ↔ ( 𝑧 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑋 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑧 ) ) ) ) |
64 |
63
|
notbid |
⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → ( ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ↔ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑋 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑧 ) ) ) ) |
65 |
57 64
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → ( ( ( ( 𝑈 − 𝑥 ) = ( 𝑉 − 𝑥 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑦 ) = ( 𝑉 − 𝑦 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑧 ) = ( 𝑉 − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝑈 − 𝑋 ) = ( 𝑉 − 𝑋 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑦 ) = ( 𝑉 − 𝑦 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑧 ) = ( 𝑉 − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑋 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑧 ) ) ) ) ) |
66 |
65
|
notbid |
⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → ( ¬ ( ( ( 𝑈 − 𝑥 ) = ( 𝑉 − 𝑥 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑦 ) = ( 𝑉 − 𝑦 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑧 ) = ( 𝑉 − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ↔ ¬ ( ( ( 𝑈 − 𝑋 ) = ( 𝑉 − 𝑋 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑦 ) = ( 𝑉 − 𝑦 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑧 ) = ( 𝑉 − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑋 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑧 ) ) ) ) ) |
67 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑦 = 𝑌 → ( 𝑈 − 𝑦 ) = ( 𝑈 − 𝑌 ) ) |
68 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑦 = 𝑌 → ( 𝑉 − 𝑦 ) = ( 𝑉 − 𝑌 ) ) |
69 |
67 68
|
eqeq12d |
⊢ ( 𝑦 = 𝑌 → ( ( 𝑈 − 𝑦 ) = ( 𝑉 − 𝑦 ) ↔ ( 𝑈 − 𝑌 ) = ( 𝑉 − 𝑌 ) ) ) |
70 |
69
|
3anbi2d |
⊢ ( 𝑦 = 𝑌 → ( ( ( 𝑈 − 𝑋 ) = ( 𝑉 − 𝑋 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑦 ) = ( 𝑉 − 𝑦 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑧 ) = ( 𝑉 − 𝑧 ) ) ↔ ( ( 𝑈 − 𝑋 ) = ( 𝑉 − 𝑋 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑌 ) = ( 𝑉 − 𝑌 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑧 ) = ( 𝑉 − 𝑧 ) ) ) ) |
71 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑦 = 𝑌 → ( 𝑋 𝐼 𝑦 ) = ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ) |
72 |
71
|
eleq2d |
⊢ ( 𝑦 = 𝑌 → ( 𝑧 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑦 ) ↔ 𝑧 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ) ) |
73 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑦 = 𝑌 → ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) = ( 𝑧 𝐼 𝑌 ) ) |
74 |
73
|
eleq2d |
⊢ ( 𝑦 = 𝑌 → ( 𝑋 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ↔ 𝑋 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑌 ) ) ) |
75 |
|
eleq1 |
⊢ ( 𝑦 = 𝑌 → ( 𝑦 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑧 ) ↔ 𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑧 ) ) ) |
76 |
72 74 75
|
3orbi123d |
⊢ ( 𝑦 = 𝑌 → ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑋 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑧 ) ) ↔ ( 𝑧 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ∨ 𝑋 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑌 ) ∨ 𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑧 ) ) ) ) |
77 |
76
|
notbid |
⊢ ( 𝑦 = 𝑌 → ( ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑋 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑧 ) ) ↔ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ∨ 𝑋 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑌 ) ∨ 𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑧 ) ) ) ) |
78 |
70 77
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑦 = 𝑌 → ( ( ( ( 𝑈 − 𝑋 ) = ( 𝑉 − 𝑋 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑦 ) = ( 𝑉 − 𝑦 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑧 ) = ( 𝑉 − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑋 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑧 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝑈 − 𝑋 ) = ( 𝑉 − 𝑋 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑌 ) = ( 𝑉 − 𝑌 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑧 ) = ( 𝑉 − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ∨ 𝑋 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑌 ) ∨ 𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑧 ) ) ) ) ) |
79 |
78
|
notbid |
⊢ ( 𝑦 = 𝑌 → ( ¬ ( ( ( 𝑈 − 𝑋 ) = ( 𝑉 − 𝑋 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑦 ) = ( 𝑉 − 𝑦 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑧 ) = ( 𝑉 − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑋 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑧 ) ) ) ↔ ¬ ( ( ( 𝑈 − 𝑋 ) = ( 𝑉 − 𝑋 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑌 ) = ( 𝑉 − 𝑌 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑧 ) = ( 𝑉 − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ∨ 𝑋 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑌 ) ∨ 𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑧 ) ) ) ) ) |
80 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑧 = 𝑍 → ( 𝑈 − 𝑧 ) = ( 𝑈 − 𝑍 ) ) |
81 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑧 = 𝑍 → ( 𝑉 − 𝑧 ) = ( 𝑉 − 𝑍 ) ) |
82 |
80 81
|
eqeq12d |
⊢ ( 𝑧 = 𝑍 → ( ( 𝑈 − 𝑧 ) = ( 𝑉 − 𝑧 ) ↔ ( 𝑈 − 𝑍 ) = ( 𝑉 − 𝑍 ) ) ) |
83 |
82
|
3anbi3d |
⊢ ( 𝑧 = 𝑍 → ( ( ( 𝑈 − 𝑋 ) = ( 𝑉 − 𝑋 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑌 ) = ( 𝑉 − 𝑌 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑧 ) = ( 𝑉 − 𝑧 ) ) ↔ ( ( 𝑈 − 𝑋 ) = ( 𝑉 − 𝑋 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑌 ) = ( 𝑉 − 𝑌 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑍 ) = ( 𝑉 − 𝑍 ) ) ) ) |
84 |
|
eleq1 |
⊢ ( 𝑧 = 𝑍 → ( 𝑧 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ↔ 𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ) ) |
85 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑧 = 𝑍 → ( 𝑧 𝐼 𝑌 ) = ( 𝑍 𝐼 𝑌 ) ) |
86 |
85
|
eleq2d |
⊢ ( 𝑧 = 𝑍 → ( 𝑋 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑌 ) ↔ 𝑋 ∈ ( 𝑍 𝐼 𝑌 ) ) ) |
87 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑧 = 𝑍 → ( 𝑋 𝐼 𝑧 ) = ( 𝑋 𝐼 𝑍 ) ) |
88 |
87
|
eleq2d |
⊢ ( 𝑧 = 𝑍 → ( 𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑧 ) ↔ 𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑍 ) ) ) |
89 |
84 86 88
|
3orbi123d |
⊢ ( 𝑧 = 𝑍 → ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ∨ 𝑋 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑌 ) ∨ 𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑧 ) ) ↔ ( 𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ∨ 𝑋 ∈ ( 𝑍 𝐼 𝑌 ) ∨ 𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑍 ) ) ) ) |
90 |
89
|
notbid |
⊢ ( 𝑧 = 𝑍 → ( ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ∨ 𝑋 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑌 ) ∨ 𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑧 ) ) ↔ ¬ ( 𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ∨ 𝑋 ∈ ( 𝑍 𝐼 𝑌 ) ∨ 𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑍 ) ) ) ) |
91 |
83 90
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑧 = 𝑍 → ( ( ( ( 𝑈 − 𝑋 ) = ( 𝑉 − 𝑋 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑌 ) = ( 𝑉 − 𝑌 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑧 ) = ( 𝑉 − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ∨ 𝑋 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑌 ) ∨ 𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑧 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝑈 − 𝑋 ) = ( 𝑉 − 𝑋 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑌 ) = ( 𝑉 − 𝑌 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑍 ) = ( 𝑉 − 𝑍 ) ) ∧ ¬ ( 𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ∨ 𝑋 ∈ ( 𝑍 𝐼 𝑌 ) ∨ 𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑍 ) ) ) ) ) |
92 |
91
|
notbid |
⊢ ( 𝑧 = 𝑍 → ( ¬ ( ( ( 𝑈 − 𝑋 ) = ( 𝑉 − 𝑋 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑌 ) = ( 𝑉 − 𝑌 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑧 ) = ( 𝑉 − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ∨ 𝑋 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑌 ) ∨ 𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑧 ) ) ) ↔ ¬ ( ( ( 𝑈 − 𝑋 ) = ( 𝑉 − 𝑋 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑌 ) = ( 𝑉 − 𝑌 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑍 ) = ( 𝑉 − 𝑍 ) ) ∧ ¬ ( 𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ∨ 𝑋 ∈ ( 𝑍 𝐼 𝑌 ) ∨ 𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑍 ) ) ) ) ) |
93 |
66 79 92
|
rspc3v |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃 ) → ( ∀ 𝑥 ∈ 𝑃 ∀ 𝑦 ∈ 𝑃 ∀ 𝑧 ∈ 𝑃 ¬ ( ( ( 𝑈 − 𝑥 ) = ( 𝑉 − 𝑥 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑦 ) = ( 𝑉 − 𝑦 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑧 ) = ( 𝑉 − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) → ¬ ( ( ( 𝑈 − 𝑋 ) = ( 𝑉 − 𝑋 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑌 ) = ( 𝑉 − 𝑌 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑍 ) = ( 𝑉 − 𝑍 ) ) ∧ ¬ ( 𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ∨ 𝑋 ∈ ( 𝑍 𝐼 𝑌 ) ∨ 𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑍 ) ) ) ) ) |
94 |
4 5 6 93
|
syl3anc |
⊢ ( 𝜑 → ( ∀ 𝑥 ∈ 𝑃 ∀ 𝑦 ∈ 𝑃 ∀ 𝑧 ∈ 𝑃 ¬ ( ( ( 𝑈 − 𝑥 ) = ( 𝑉 − 𝑥 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑦 ) = ( 𝑉 − 𝑦 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑧 ) = ( 𝑉 − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) → ¬ ( ( ( 𝑈 − 𝑋 ) = ( 𝑉 − 𝑋 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑌 ) = ( 𝑉 − 𝑌 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑍 ) = ( 𝑉 − 𝑍 ) ) ∧ ¬ ( 𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ∨ 𝑋 ∈ ( 𝑍 𝐼 𝑌 ) ∨ 𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑍 ) ) ) ) ) |
95 |
53 94
|
mpd |
⊢ ( 𝜑 → ¬ ( ( ( 𝑈 − 𝑋 ) = ( 𝑉 − 𝑋 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑌 ) = ( 𝑉 − 𝑌 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑍 ) = ( 𝑉 − 𝑍 ) ) ∧ ¬ ( 𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ∨ 𝑋 ∈ ( 𝑍 𝐼 𝑌 ) ∨ 𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑍 ) ) ) ) |
96 |
|
imnan |
⊢ ( ( ( ( 𝑈 − 𝑋 ) = ( 𝑉 − 𝑋 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑌 ) = ( 𝑉 − 𝑌 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑍 ) = ( 𝑉 − 𝑍 ) ) → ¬ ¬ ( 𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ∨ 𝑋 ∈ ( 𝑍 𝐼 𝑌 ) ∨ 𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑍 ) ) ) ↔ ¬ ( ( ( 𝑈 − 𝑋 ) = ( 𝑉 − 𝑋 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑌 ) = ( 𝑉 − 𝑌 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑍 ) = ( 𝑉 − 𝑍 ) ) ∧ ¬ ( 𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ∨ 𝑋 ∈ ( 𝑍 𝐼 𝑌 ) ∨ 𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑍 ) ) ) ) |
97 |
95 96
|
sylibr |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑈 − 𝑋 ) = ( 𝑉 − 𝑋 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑌 ) = ( 𝑉 − 𝑌 ) ∧ ( 𝑈 − 𝑍 ) = ( 𝑉 − 𝑍 ) ) → ¬ ¬ ( 𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ∨ 𝑋 ∈ ( 𝑍 𝐼 𝑌 ) ∨ 𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑍 ) ) ) ) |
98 |
10 11 12 97
|
mp3and |
⊢ ( 𝜑 → ¬ ¬ ( 𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ∨ 𝑋 ∈ ( 𝑍 𝐼 𝑌 ) ∨ 𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑍 ) ) ) |
99 |
98
|
notnotrd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ∨ 𝑋 ∈ ( 𝑍 𝐼 𝑌 ) ∨ 𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑍 ) ) ) |