Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
cdleme30.b |
⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 ) |
2 |
|
cdleme30.l |
⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 ) |
3 |
|
cdleme30.j |
⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 ) |
4 |
|
cdleme30.m |
⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 ) |
5 |
|
cdleme30.a |
⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 ) |
6 |
|
cdleme30.h |
⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 ) |
7 |
|
simp1l |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑠 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌 ) ) → 𝐾 ∈ HL ) |
8 |
7
|
hllatd |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑠 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌 ) ) → 𝐾 ∈ Lat ) |
9 |
|
simp21 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑠 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌 ) ) → 𝑠 ∈ 𝐴 ) |
10 |
1 5
|
atbase |
⊢ ( 𝑠 ∈ 𝐴 → 𝑠 ∈ 𝐵 ) |
11 |
9 10
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑠 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌 ) ) → 𝑠 ∈ 𝐵 ) |
12 |
|
simp23 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑠 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌 ) ) → 𝑌 ∈ 𝐵 ) |
13 |
|
simp1r |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑠 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌 ) ) → 𝑊 ∈ 𝐻 ) |
14 |
1 6
|
lhpbase |
⊢ ( 𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵 ) |
15 |
13 14
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑠 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌 ) ) → 𝑊 ∈ 𝐵 ) |
16 |
1 4
|
latmcl |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑌 ∧ 𝑊 ) ∈ 𝐵 ) |
17 |
8 12 15 16
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑠 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌 ) ) → ( 𝑌 ∧ 𝑊 ) ∈ 𝐵 ) |
18 |
|
simp22l |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑠 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌 ) ) → 𝑋 ∈ 𝐵 ) |
19 |
1 3
|
latjass |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑌 ∧ 𝑊 ) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑠 ∨ ( 𝑌 ∧ 𝑊 ) ) ∨ 𝑋 ) = ( 𝑠 ∨ ( ( 𝑌 ∧ 𝑊 ) ∨ 𝑋 ) ) ) |
20 |
8 11 17 18 19
|
syl13anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑠 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌 ) ) → ( ( 𝑠 ∨ ( 𝑌 ∧ 𝑊 ) ) ∨ 𝑋 ) = ( 𝑠 ∨ ( ( 𝑌 ∧ 𝑊 ) ∨ 𝑋 ) ) ) |
21 |
|
simp3l |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑠 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌 ) ) → ( 𝑠 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) |
22 |
|
simp3r |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑠 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌 ) ) → 𝑋 ≤ 𝑌 ) |
23 |
1 2 4
|
latmlem1 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑋 ≤ 𝑌 → ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ≤ ( 𝑌 ∧ 𝑊 ) ) ) |
24 |
8 18 12 15 23
|
syl13anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑠 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌 ) ) → ( 𝑋 ≤ 𝑌 → ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ≤ ( 𝑌 ∧ 𝑊 ) ) ) |
25 |
22 24
|
mpd |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑠 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌 ) ) → ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ≤ ( 𝑌 ∧ 𝑊 ) ) |
26 |
1 4
|
latmcl |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ∈ 𝐵 ) |
27 |
8 18 15 26
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑠 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌 ) ) → ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ∈ 𝐵 ) |
28 |
1 2 3
|
latjlej2 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑌 ∧ 𝑊 ) ∈ 𝐵 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ≤ ( 𝑌 ∧ 𝑊 ) → ( 𝑠 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) ≤ ( 𝑠 ∨ ( 𝑌 ∧ 𝑊 ) ) ) ) |
29 |
8 27 17 11 28
|
syl13anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑠 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌 ) ) → ( ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ≤ ( 𝑌 ∧ 𝑊 ) → ( 𝑠 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) ≤ ( 𝑠 ∨ ( 𝑌 ∧ 𝑊 ) ) ) ) |
30 |
25 29
|
mpd |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑠 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌 ) ) → ( 𝑠 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) ≤ ( 𝑠 ∨ ( 𝑌 ∧ 𝑊 ) ) ) |
31 |
21 30
|
eqbrtrrd |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑠 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌 ) ) → 𝑋 ≤ ( 𝑠 ∨ ( 𝑌 ∧ 𝑊 ) ) ) |
32 |
1 3
|
latjcl |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑠 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑌 ∧ 𝑊 ) ∈ 𝐵 ) → ( 𝑠 ∨ ( 𝑌 ∧ 𝑊 ) ) ∈ 𝐵 ) |
33 |
8 11 17 32
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑠 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌 ) ) → ( 𝑠 ∨ ( 𝑌 ∧ 𝑊 ) ) ∈ 𝐵 ) |
34 |
1 2 3
|
latleeqj2 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑠 ∨ ( 𝑌 ∧ 𝑊 ) ) ∈ 𝐵 ) → ( 𝑋 ≤ ( 𝑠 ∨ ( 𝑌 ∧ 𝑊 ) ) ↔ ( ( 𝑠 ∨ ( 𝑌 ∧ 𝑊 ) ) ∨ 𝑋 ) = ( 𝑠 ∨ ( 𝑌 ∧ 𝑊 ) ) ) ) |
35 |
8 18 33 34
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑠 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌 ) ) → ( 𝑋 ≤ ( 𝑠 ∨ ( 𝑌 ∧ 𝑊 ) ) ↔ ( ( 𝑠 ∨ ( 𝑌 ∧ 𝑊 ) ) ∨ 𝑋 ) = ( 𝑠 ∨ ( 𝑌 ∧ 𝑊 ) ) ) ) |
36 |
31 35
|
mpbid |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑠 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌 ) ) → ( ( 𝑠 ∨ ( 𝑌 ∧ 𝑊 ) ) ∨ 𝑋 ) = ( 𝑠 ∨ ( 𝑌 ∧ 𝑊 ) ) ) |
37 |
|
simp1 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑠 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌 ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ) |
38 |
1 2 3 4 6
|
lhpmod2i2 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌 ) → ( ( 𝑌 ∧ 𝑊 ) ∨ 𝑋 ) = ( 𝑌 ∧ ( 𝑊 ∨ 𝑋 ) ) ) |
39 |
37 12 18 22 38
|
syl121anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑠 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌 ) ) → ( ( 𝑌 ∧ 𝑊 ) ∨ 𝑋 ) = ( 𝑌 ∧ ( 𝑊 ∨ 𝑋 ) ) ) |
40 |
39
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑠 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌 ) ) → ( 𝑠 ∨ ( ( 𝑌 ∧ 𝑊 ) ∨ 𝑋 ) ) = ( 𝑠 ∨ ( 𝑌 ∧ ( 𝑊 ∨ 𝑋 ) ) ) ) |
41 |
|
simp22 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑠 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌 ) ) → ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ) |
42 |
|
eqid |
⊢ ( 1. ‘ 𝐾 ) = ( 1. ‘ 𝐾 ) |
43 |
1 2 3 42 6
|
lhpj1 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝑊 ∨ 𝑋 ) = ( 1. ‘ 𝐾 ) ) |
44 |
37 41 43
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑠 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌 ) ) → ( 𝑊 ∨ 𝑋 ) = ( 1. ‘ 𝐾 ) ) |
45 |
44
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑠 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌 ) ) → ( 𝑌 ∧ ( 𝑊 ∨ 𝑋 ) ) = ( 𝑌 ∧ ( 1. ‘ 𝐾 ) ) ) |
46 |
|
hlol |
⊢ ( 𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL ) |
47 |
7 46
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑠 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌 ) ) → 𝐾 ∈ OL ) |
48 |
1 4 42
|
olm11 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑌 ∧ ( 1. ‘ 𝐾 ) ) = 𝑌 ) |
49 |
47 12 48
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑠 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌 ) ) → ( 𝑌 ∧ ( 1. ‘ 𝐾 ) ) = 𝑌 ) |
50 |
45 49
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑠 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌 ) ) → ( 𝑌 ∧ ( 𝑊 ∨ 𝑋 ) ) = 𝑌 ) |
51 |
50
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑠 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌 ) ) → ( 𝑠 ∨ ( 𝑌 ∧ ( 𝑊 ∨ 𝑋 ) ) ) = ( 𝑠 ∨ 𝑌 ) ) |
52 |
1 2 3
|
latlej1 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑠 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ∈ 𝐵 ) → 𝑠 ≤ ( 𝑠 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) ) |
53 |
8 11 27 52
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑠 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌 ) ) → 𝑠 ≤ ( 𝑠 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) ) |
54 |
53 21
|
breqtrd |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑠 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌 ) ) → 𝑠 ≤ 𝑋 ) |
55 |
1 2 8 11 18 12 54 22
|
lattrd |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑠 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌 ) ) → 𝑠 ≤ 𝑌 ) |
56 |
1 2 3
|
latleeqj1 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑠 ≤ 𝑌 ↔ ( 𝑠 ∨ 𝑌 ) = 𝑌 ) ) |
57 |
8 11 12 56
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑠 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌 ) ) → ( 𝑠 ≤ 𝑌 ↔ ( 𝑠 ∨ 𝑌 ) = 𝑌 ) ) |
58 |
55 57
|
mpbid |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑠 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌 ) ) → ( 𝑠 ∨ 𝑌 ) = 𝑌 ) |
59 |
40 51 58
|
3eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑠 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌 ) ) → ( 𝑠 ∨ ( ( 𝑌 ∧ 𝑊 ) ∨ 𝑋 ) ) = 𝑌 ) |
60 |
20 36 59
|
3eqtr3d |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑠 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌 ) ) → ( 𝑠 ∨ ( 𝑌 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑌 ) |