chordthmALT

Description: The intersecting chords theorem. If points A, B, C, and D lie on a circle (with center Q, say), and the point P is on the interior of the segments AB and CD, then the two products of lengths PA x. PB and PC x. PD are equal. The Euclidean plane is identified with the complex plane, and the fact that P is on AB and on CD is expressed by the hypothesis that the angles APB and CPD are equal to _pi . The result is proven by using chordthmlem5 twice to show that PA x. PB and PC x. PD both equal BQ² - PQ². This is similar to the proof of the theorem given in Euclid'sElements, where it is Proposition III.35. Proven by David Moews on 28-Feb-2017 as chordthm . https://us.metamath.org/other/completeusersproof/chordthmaltvd.html is a Virtual Deduction User's Proof transcription of chordthm . That VD User's Proof was input into completeusersproof, automatically generating this chordthmALT Metamath proof. (Contributed by Alan Sare, 19-Sep-2017) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

	Ref	Expression
Hypotheses	chordthmALT.angdef	⊢ 𝐹 = ( 𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) , 𝑦 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ↦ ( ℑ ‘ ( log ‘ ( 𝑦 / 𝑥 ) ) ) )
	chordthmALT.A	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ )
	chordthmALT.B	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ )
	chordthmALT.C	⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ )
	chordthmALT.D	⊢ ( 𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ )
	chordthmALT.P	⊢ ( 𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ )
	chordthmALT.AneP	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ≠ 𝑃 )
	chordthmALT.BneP	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ≠ 𝑃 )
	chordthmALT.CneP	⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ≠ 𝑃 )
	chordthmALT.DneP	⊢ ( 𝜑 → 𝐷 ≠ 𝑃 )
	chordthmALT.APB	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 − 𝑃 ) 𝐹 ( 𝐵 − 𝑃 ) ) = π )
	chordthmALT.CPD	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐶 − 𝑃 ) 𝐹 ( 𝐷 − 𝑃 ) ) = π )
	chordthmALT.Q	⊢ ( 𝜑 → 𝑄 ∈ ℂ )
	chordthmALT.ABcirc	⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝑄 ) ) )
	chordthmALT.ACcirc	⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐶 − 𝑄 ) ) )
	chordthmALT.ADcirc	⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐷 − 𝑄 ) ) )
Assertion	chordthmALT	⊢ ( 𝜑 → ( ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝐴 ) ) · ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝐵 ) ) ) = ( ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝐶 ) ) · ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝐷 ) ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chordthmALT.angdef	⊢ 𝐹 = ( 𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) , 𝑦 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ↦ ( ℑ ‘ ( log ‘ ( 𝑦 / 𝑥 ) ) ) )
2		chordthmALT.A	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ )
3		chordthmALT.B	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ )
4		chordthmALT.C	⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ )
5		chordthmALT.D	⊢ ( 𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ )
6		chordthmALT.P	⊢ ( 𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ )
7		chordthmALT.AneP	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ≠ 𝑃 )
8		chordthmALT.BneP	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ≠ 𝑃 )
9		chordthmALT.CneP	⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ≠ 𝑃 )
10		chordthmALT.DneP	⊢ ( 𝜑 → 𝐷 ≠ 𝑃 )
11		chordthmALT.APB	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 − 𝑃 ) 𝐹 ( 𝐵 − 𝑃 ) ) = π )
12		chordthmALT.CPD	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐶 − 𝑃 ) 𝐹 ( 𝐷 − 𝑃 ) ) = π )
13		chordthmALT.Q	⊢ ( 𝜑 → 𝑄 ∈ ℂ )
14		chordthmALT.ABcirc	⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝑄 ) ) )
15		chordthmALT.ACcirc	⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐶 − 𝑄 ) ) )
16		chordthmALT.ADcirc	⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐷 − 𝑄 ) ) )
17	10	necomd	⊢ ( 𝜑 → 𝑃 ≠ 𝐷 )
18	1 4 6 5 9 17	angpieqvd	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐶 − 𝑃 ) 𝐹 ( 𝐷 − 𝑃 ) ) = π ↔ ∃ 𝑣 ∈ ( 0 (,) 1 ) 𝑃 = ( ( 𝑣 · 𝐶 ) + ( ( 1 − 𝑣 ) · 𝐷 ) ) ) )
19	12 18	mpbid	⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑣 ∈ ( 0 (,) 1 ) 𝑃 = ( ( 𝑣 · 𝐶 ) + ( ( 1 − 𝑣 ) · 𝐷 ) ) )
20		df-rex	⊢ ( ∃ 𝑣 ∈ ( 0 (,) 1 ) 𝑃 = ( ( 𝑣 · 𝐶 ) + ( ( 1 − 𝑣 ) · 𝐷 ) ) ↔ ∃ 𝑣 ( 𝑣 ∈ ( 0 (,) 1 ) ∧ 𝑃 = ( ( 𝑣 · 𝐶 ) + ( ( 1 − 𝑣 ) · 𝐷 ) ) ) )
21	20	biimpi	⊢ ( ∃ 𝑣 ∈ ( 0 (,) 1 ) 𝑃 = ( ( 𝑣 · 𝐶 ) + ( ( 1 − 𝑣 ) · 𝐷 ) ) → ∃ 𝑣 ( 𝑣 ∈ ( 0 (,) 1 ) ∧ 𝑃 = ( ( 𝑣 · 𝐶 ) + ( ( 1 − 𝑣 ) · 𝐷 ) ) ) )
22	19 21	syl	⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑣 ( 𝑣 ∈ ( 0 (,) 1 ) ∧ 𝑃 = ( ( 𝑣 · 𝐶 ) + ( ( 1 − 𝑣 ) · 𝐷 ) ) ) )
23	8	necomd	⊢ ( 𝜑 → 𝑃 ≠ 𝐵 )
24	1 2 6 3 7 23	angpieqvd	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐴 − 𝑃 ) 𝐹 ( 𝐵 − 𝑃 ) ) = π ↔ ∃ 𝑤 ∈ ( 0 (,) 1 ) 𝑃 = ( ( 𝑤 · 𝐴 ) + ( ( 1 − 𝑤 ) · 𝐵 ) ) ) )
25	11 24	mpbid	⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑤 ∈ ( 0 (,) 1 ) 𝑃 = ( ( 𝑤 · 𝐴 ) + ( ( 1 − 𝑤 ) · 𝐵 ) ) )
26		df-rex	⊢ ( ∃ 𝑤 ∈ ( 0 (,) 1 ) 𝑃 = ( ( 𝑤 · 𝐴 ) + ( ( 1 − 𝑤 ) · 𝐵 ) ) ↔ ∃ 𝑤 ( 𝑤 ∈ ( 0 (,) 1 ) ∧ 𝑃 = ( ( 𝑤 · 𝐴 ) + ( ( 1 − 𝑤 ) · 𝐵 ) ) ) )
27	26	biimpi	⊢ ( ∃ 𝑤 ∈ ( 0 (,) 1 ) 𝑃 = ( ( 𝑤 · 𝐴 ) + ( ( 1 − 𝑤 ) · 𝐵 ) ) → ∃ 𝑤 ( 𝑤 ∈ ( 0 (,) 1 ) ∧ 𝑃 = ( ( 𝑤 · 𝐴 ) + ( ( 1 − 𝑤 ) · 𝐵 ) ) ) )
28	25 27	syl	⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑤 ( 𝑤 ∈ ( 0 (,) 1 ) ∧ 𝑃 = ( ( 𝑤 · 𝐴 ) + ( ( 1 − 𝑤 ) · 𝐵 ) ) ) )
29	28	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( 0 (,) 1 ) ∧ 𝑃 = ( ( 𝑣 · 𝐶 ) + ( ( 1 − 𝑣 ) · 𝐷 ) ) ) ) → ∃ 𝑤 ( 𝑤 ∈ ( 0 (,) 1 ) ∧ 𝑃 = ( ( 𝑤 · 𝐴 ) + ( ( 1 − 𝑤 ) · 𝐵 ) ) ) )
30	14 16	eqtr3d	⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝑄 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐷 − 𝑄 ) ) )
31	30	oveq1d	⊢ ( 𝜑 → ( ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝑄 ) ) ↑ 2 ) = ( ( abs ‘ ( 𝐷 − 𝑄 ) ) ↑ 2 ) )
32	31	oveq1d	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝑄 ) ) ↑ 2 ) − ( ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝑄 ) ) ↑ 2 ) ) = ( ( ( abs ‘ ( 𝐷 − 𝑄 ) ) ↑ 2 ) − ( ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝑄 ) ) ↑ 2 ) ) )
33	32	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( 0 (,) 1 ) ∧ 𝑃 = ( ( 𝑣 · 𝐶 ) + ( ( 1 − 𝑣 ) · 𝐷 ) ) ) ∧ ( 𝑤 ∈ ( 0 (,) 1 ) ∧ 𝑃 = ( ( 𝑤 · 𝐴 ) + ( ( 1 − 𝑤 ) · 𝐵 ) ) ) ) → ( ( ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝑄 ) ) ↑ 2 ) − ( ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝑄 ) ) ↑ 2 ) ) = ( ( ( abs ‘ ( 𝐷 − 𝑄 ) ) ↑ 2 ) − ( ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝑄 ) ) ↑ 2 ) ) )
34	2	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( 0 (,) 1 ) ∧ 𝑃 = ( ( 𝑤 · 𝐴 ) + ( ( 1 − 𝑤 ) · 𝐵 ) ) ) → 𝐴 ∈ ℂ )
35	3	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( 0 (,) 1 ) ∧ 𝑃 = ( ( 𝑤 · 𝐴 ) + ( ( 1 − 𝑤 ) · 𝐵 ) ) ) → 𝐵 ∈ ℂ )
36	13	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( 0 (,) 1 ) ∧ 𝑃 = ( ( 𝑤 · 𝐴 ) + ( ( 1 − 𝑤 ) · 𝐵 ) ) ) → 𝑄 ∈ ℂ )
37		ioossicc	⊢ ( 0 (,) 1 ) ⊆ ( 0 [,] 1 )
38		id	⊢ ( 𝑤 ∈ ( 0 (,) 1 ) → 𝑤 ∈ ( 0 (,) 1 ) )
39	37 38	sselid	⊢ ( 𝑤 ∈ ( 0 (,) 1 ) → 𝑤 ∈ ( 0 [,] 1 ) )
40	39	3ad2ant2	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( 0 (,) 1 ) ∧ 𝑃 = ( ( 𝑤 · 𝐴 ) + ( ( 1 − 𝑤 ) · 𝐵 ) ) ) → 𝑤 ∈ ( 0 [,] 1 ) )
41		id	⊢ ( 𝑃 = ( ( 𝑤 · 𝐴 ) + ( ( 1 − 𝑤 ) · 𝐵 ) ) → 𝑃 = ( ( 𝑤 · 𝐴 ) + ( ( 1 − 𝑤 ) · 𝐵 ) ) )
42	41	3ad2ant3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( 0 (,) 1 ) ∧ 𝑃 = ( ( 𝑤 · 𝐴 ) + ( ( 1 − 𝑤 ) · 𝐵 ) ) ) → 𝑃 = ( ( 𝑤 · 𝐴 ) + ( ( 1 − 𝑤 ) · 𝐵 ) ) )
43	14	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( 0 (,) 1 ) ∧ 𝑃 = ( ( 𝑤 · 𝐴 ) + ( ( 1 − 𝑤 ) · 𝐵 ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝑄 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝑄 ) ) )
44	34 35 36 40 42 43	chordthmlem5	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( 0 (,) 1 ) ∧ 𝑃 = ( ( 𝑤 · 𝐴 ) + ( ( 1 − 𝑤 ) · 𝐵 ) ) ) → ( ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝐴 ) ) · ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝐵 ) ) ) = ( ( ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝑄 ) ) ↑ 2 ) − ( ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝑄 ) ) ↑ 2 ) ) )
45	44	3expb	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑤 ∈ ( 0 (,) 1 ) ∧ 𝑃 = ( ( 𝑤 · 𝐴 ) + ( ( 1 − 𝑤 ) · 𝐵 ) ) ) ) → ( ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝐴 ) ) · ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝐵 ) ) ) = ( ( ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝑄 ) ) ↑ 2 ) − ( ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝑄 ) ) ↑ 2 ) ) )
46	45	3adant2	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( 0 (,) 1 ) ∧ 𝑃 = ( ( 𝑣 · 𝐶 ) + ( ( 1 − 𝑣 ) · 𝐷 ) ) ) ∧ ( 𝑤 ∈ ( 0 (,) 1 ) ∧ 𝑃 = ( ( 𝑤 · 𝐴 ) + ( ( 1 − 𝑤 ) · 𝐵 ) ) ) ) → ( ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝐴 ) ) · ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝐵 ) ) ) = ( ( ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝑄 ) ) ↑ 2 ) − ( ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝑄 ) ) ↑ 2 ) ) )
47	4	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑣 ∈ ( 0 (,) 1 ) ∧ 𝑃 = ( ( 𝑣 · 𝐶 ) + ( ( 1 − 𝑣 ) · 𝐷 ) ) ) → 𝐶 ∈ ℂ )
48	5	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑣 ∈ ( 0 (,) 1 ) ∧ 𝑃 = ( ( 𝑣 · 𝐶 ) + ( ( 1 − 𝑣 ) · 𝐷 ) ) ) → 𝐷 ∈ ℂ )
49	13	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑣 ∈ ( 0 (,) 1 ) ∧ 𝑃 = ( ( 𝑣 · 𝐶 ) + ( ( 1 − 𝑣 ) · 𝐷 ) ) ) → 𝑄 ∈ ℂ )
50		id	⊢ ( 𝑣 ∈ ( 0 (,) 1 ) → 𝑣 ∈ ( 0 (,) 1 ) )
51	37 50	sselid	⊢ ( 𝑣 ∈ ( 0 (,) 1 ) → 𝑣 ∈ ( 0 [,] 1 ) )
52	51	3ad2ant2	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑣 ∈ ( 0 (,) 1 ) ∧ 𝑃 = ( ( 𝑣 · 𝐶 ) + ( ( 1 − 𝑣 ) · 𝐷 ) ) ) → 𝑣 ∈ ( 0 [,] 1 ) )
53		id	⊢ ( 𝑃 = ( ( 𝑣 · 𝐶 ) + ( ( 1 − 𝑣 ) · 𝐷 ) ) → 𝑃 = ( ( 𝑣 · 𝐶 ) + ( ( 1 − 𝑣 ) · 𝐷 ) ) )
54	53	3ad2ant3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑣 ∈ ( 0 (,) 1 ) ∧ 𝑃 = ( ( 𝑣 · 𝐶 ) + ( ( 1 − 𝑣 ) · 𝐷 ) ) ) → 𝑃 = ( ( 𝑣 · 𝐶 ) + ( ( 1 − 𝑣 ) · 𝐷 ) ) )
55	15 16	eqtr3d	⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ( 𝐶 − 𝑄 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐷 − 𝑄 ) ) )
56	55	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑣 ∈ ( 0 (,) 1 ) ∧ 𝑃 = ( ( 𝑣 · 𝐶 ) + ( ( 1 − 𝑣 ) · 𝐷 ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝐶 − 𝑄 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐷 − 𝑄 ) ) )
57	47 48 49 52 54 56	chordthmlem5	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑣 ∈ ( 0 (,) 1 ) ∧ 𝑃 = ( ( 𝑣 · 𝐶 ) + ( ( 1 − 𝑣 ) · 𝐷 ) ) ) → ( ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝐶 ) ) · ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝐷 ) ) ) = ( ( ( abs ‘ ( 𝐷 − 𝑄 ) ) ↑ 2 ) − ( ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝑄 ) ) ↑ 2 ) ) )
58	57	3expb	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( 0 (,) 1 ) ∧ 𝑃 = ( ( 𝑣 · 𝐶 ) + ( ( 1 − 𝑣 ) · 𝐷 ) ) ) ) → ( ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝐶 ) ) · ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝐷 ) ) ) = ( ( ( abs ‘ ( 𝐷 − 𝑄 ) ) ↑ 2 ) − ( ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝑄 ) ) ↑ 2 ) ) )
59	58	3adant3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( 0 (,) 1 ) ∧ 𝑃 = ( ( 𝑣 · 𝐶 ) + ( ( 1 − 𝑣 ) · 𝐷 ) ) ) ∧ ( 𝑤 ∈ ( 0 (,) 1 ) ∧ 𝑃 = ( ( 𝑤 · 𝐴 ) + ( ( 1 − 𝑤 ) · 𝐵 ) ) ) ) → ( ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝐶 ) ) · ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝐷 ) ) ) = ( ( ( abs ‘ ( 𝐷 − 𝑄 ) ) ↑ 2 ) − ( ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝑄 ) ) ↑ 2 ) ) )
60	33 46 59	3eqtr4d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( 0 (,) 1 ) ∧ 𝑃 = ( ( 𝑣 · 𝐶 ) + ( ( 1 − 𝑣 ) · 𝐷 ) ) ) ∧ ( 𝑤 ∈ ( 0 (,) 1 ) ∧ 𝑃 = ( ( 𝑤 · 𝐴 ) + ( ( 1 − 𝑤 ) · 𝐵 ) ) ) ) → ( ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝐴 ) ) · ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝐵 ) ) ) = ( ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝐶 ) ) · ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝐷 ) ) ) )
61	60	3expia	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( 0 (,) 1 ) ∧ 𝑃 = ( ( 𝑣 · 𝐶 ) + ( ( 1 − 𝑣 ) · 𝐷 ) ) ) ) → ( ( 𝑤 ∈ ( 0 (,) 1 ) ∧ 𝑃 = ( ( 𝑤 · 𝐴 ) + ( ( 1 − 𝑤 ) · 𝐵 ) ) ) → ( ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝐴 ) ) · ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝐵 ) ) ) = ( ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝐶 ) ) · ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝐷 ) ) ) ) )
62	61	exlimdv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( 0 (,) 1 ) ∧ 𝑃 = ( ( 𝑣 · 𝐶 ) + ( ( 1 − 𝑣 ) · 𝐷 ) ) ) ) → ( ∃ 𝑤 ( 𝑤 ∈ ( 0 (,) 1 ) ∧ 𝑃 = ( ( 𝑤 · 𝐴 ) + ( ( 1 − 𝑤 ) · 𝐵 ) ) ) → ( ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝐴 ) ) · ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝐵 ) ) ) = ( ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝐶 ) ) · ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝐷 ) ) ) ) )
63	29 62	mpd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( 0 (,) 1 ) ∧ 𝑃 = ( ( 𝑣 · 𝐶 ) + ( ( 1 − 𝑣 ) · 𝐷 ) ) ) ) → ( ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝐴 ) ) · ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝐵 ) ) ) = ( ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝐶 ) ) · ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝐷 ) ) ) )
64	63	ex	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑣 ∈ ( 0 (,) 1 ) ∧ 𝑃 = ( ( 𝑣 · 𝐶 ) + ( ( 1 − 𝑣 ) · 𝐷 ) ) ) → ( ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝐴 ) ) · ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝐵 ) ) ) = ( ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝐶 ) ) · ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝐷 ) ) ) ) )
65	64	exlimdv	⊢ ( 𝜑 → ( ∃ 𝑣 ( 𝑣 ∈ ( 0 (,) 1 ) ∧ 𝑃 = ( ( 𝑣 · 𝐶 ) + ( ( 1 − 𝑣 ) · 𝐷 ) ) ) → ( ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝐴 ) ) · ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝐵 ) ) ) = ( ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝐶 ) ) · ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝐷 ) ) ) ) )
66	22 65	mpd	⊢ ( 𝜑 → ( ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝐴 ) ) · ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝐵 ) ) ) = ( ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝐶 ) ) · ( abs ‘ ( 𝑃 − 𝐷 ) ) ) )

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Theorem chordthmALT

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