Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
clwwlkext2edg.v |
⊢ 𝑉 = ( Vtx ‘ 𝐺 ) |
2 |
|
clwwlkext2edg.e |
⊢ 𝐸 = ( Edg ‘ 𝐺 ) |
3 |
|
clwwlknnn |
⊢ ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ∈ ( 𝑁 ClWWalksN 𝐺 ) → 𝑁 ∈ ℕ ) |
4 |
1 2
|
isclwwlknx |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ∈ ( 𝑁 ClWWalksN 𝐺 ) ↔ ( ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) − 1 ) ) { ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ∧ { ( lastS ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) , ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ) ∧ ( ♯ ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) = 𝑁 ) ) ) |
5 |
|
ige2m2fzo |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → ( 𝑁 − 2 ) ∈ ( 0 ..^ ( 𝑁 − 1 ) ) ) |
6 |
5
|
3ad2ant3 |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) → ( 𝑁 − 2 ) ∈ ( 0 ..^ ( 𝑁 − 1 ) ) ) |
7 |
6
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ♯ ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) = 𝑁 ) → ( 𝑁 − 2 ) ∈ ( 0 ..^ ( 𝑁 − 1 ) ) ) |
8 |
|
oveq1 |
⊢ ( ( ♯ ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) = 𝑁 → ( ( ♯ ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) − 1 ) = ( 𝑁 − 1 ) ) |
9 |
8
|
oveq2d |
⊢ ( ( ♯ ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) = 𝑁 → ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) − 1 ) ) = ( 0 ..^ ( 𝑁 − 1 ) ) ) |
10 |
9
|
eleq2d |
⊢ ( ( ♯ ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) = 𝑁 → ( ( 𝑁 − 2 ) ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) − 1 ) ) ↔ ( 𝑁 − 2 ) ∈ ( 0 ..^ ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) |
11 |
10
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ♯ ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) = 𝑁 ) → ( ( 𝑁 − 2 ) ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) − 1 ) ) ↔ ( 𝑁 − 2 ) ∈ ( 0 ..^ ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) |
12 |
7 11
|
mpbird |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ♯ ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) = 𝑁 ) → ( 𝑁 − 2 ) ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) − 1 ) ) ) |
13 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑖 = ( 𝑁 − 2 ) → ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 𝑖 ) = ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( 𝑁 − 2 ) ) ) |
14 |
|
fvoveq1 |
⊢ ( 𝑖 = ( 𝑁 − 2 ) → ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( ( 𝑁 − 2 ) + 1 ) ) ) |
15 |
13 14
|
preq12d |
⊢ ( 𝑖 = ( 𝑁 − 2 ) → { ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } = { ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( 𝑁 − 2 ) ) , ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( ( 𝑁 − 2 ) + 1 ) ) } ) |
16 |
15
|
eleq1d |
⊢ ( 𝑖 = ( 𝑁 − 2 ) → ( { ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ↔ { ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( 𝑁 − 2 ) ) , ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( ( 𝑁 − 2 ) + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ) ) |
17 |
16
|
rspcv |
⊢ ( ( 𝑁 − 2 ) ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) − 1 ) ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) − 1 ) ) { ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 → { ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( 𝑁 − 2 ) ) , ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( ( 𝑁 − 2 ) + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ) ) |
18 |
12 17
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ♯ ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) = 𝑁 ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) − 1 ) ) { ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 → { ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( 𝑁 − 2 ) ) , ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( ( 𝑁 − 2 ) + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ) ) |
19 |
|
wrdlenccats1lenm1 |
⊢ ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 → ( ( ♯ ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) − 1 ) = ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) |
20 |
19
|
eqcomd |
⊢ ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 → ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( ( ♯ ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) − 1 ) ) |
21 |
20
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) → ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( ( ♯ ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) − 1 ) ) |
22 |
21 8
|
sylan9eq |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) ∧ ( ♯ ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) = 𝑁 ) → ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 − 1 ) ) |
23 |
22
|
ex |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) → ( ( ♯ ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) = 𝑁 → ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 − 1 ) ) ) |
24 |
23
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) → ( ( ♯ ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) = 𝑁 → ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 − 1 ) ) ) |
25 |
|
eluzelcn |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → 𝑁 ∈ ℂ ) |
26 |
|
1cnd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → 1 ∈ ℂ ) |
27 |
25 26 26
|
subsub4d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → ( ( 𝑁 − 1 ) − 1 ) = ( 𝑁 − ( 1 + 1 ) ) ) |
28 |
|
1p1e2 |
⊢ ( 1 + 1 ) = 2 |
29 |
28
|
a1i |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → ( 1 + 1 ) = 2 ) |
30 |
29
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → ( 𝑁 − ( 1 + 1 ) ) = ( 𝑁 − 2 ) ) |
31 |
27 30
|
eqtr2d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → ( 𝑁 − 2 ) = ( ( 𝑁 − 1 ) − 1 ) ) |
32 |
31
|
3ad2ant3 |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) → ( 𝑁 − 2 ) = ( ( 𝑁 − 1 ) − 1 ) ) |
33 |
|
oveq1 |
⊢ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 − 1 ) → ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) = ( ( 𝑁 − 1 ) − 1 ) ) |
34 |
33
|
eqcomd |
⊢ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 − 1 ) → ( ( 𝑁 − 1 ) − 1 ) = ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) |
35 |
32 34
|
sylan9eq |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 − 1 ) ) → ( 𝑁 − 2 ) = ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) |
36 |
35
|
ex |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) → ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 − 1 ) → ( 𝑁 − 2 ) = ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ) |
37 |
24 36
|
syld |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) → ( ( ♯ ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) = 𝑁 → ( 𝑁 − 2 ) = ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ) |
38 |
37
|
imp |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ♯ ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) = 𝑁 ) → ( 𝑁 − 2 ) = ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) |
39 |
38
|
fveq2d |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ♯ ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) = 𝑁 ) → ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( 𝑁 − 2 ) ) = ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ) |
40 |
|
simpl1 |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 − 1 ) ) → 𝑊 ∈ Word 𝑉 ) |
41 |
|
s1cl |
⊢ ( 𝑍 ∈ 𝑉 → 〈“ 𝑍 ”〉 ∈ Word 𝑉 ) |
42 |
41
|
3ad2ant2 |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) → 〈“ 𝑍 ”〉 ∈ Word 𝑉 ) |
43 |
42
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 − 1 ) ) → 〈“ 𝑍 ”〉 ∈ Word 𝑉 ) |
44 |
|
eluz2 |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ↔ ( 2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁 ) ) |
45 |
|
zre |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ ) |
46 |
|
1red |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁 ) → 1 ∈ ℝ ) |
47 |
|
2re |
⊢ 2 ∈ ℝ |
48 |
47
|
a1i |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁 ) → 2 ∈ ℝ ) |
49 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁 ) → 𝑁 ∈ ℝ ) |
50 |
|
1lt2 |
⊢ 1 < 2 |
51 |
50
|
a1i |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁 ) → 1 < 2 ) |
52 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁 ) → 2 ≤ 𝑁 ) |
53 |
46 48 49 51 52
|
ltletrd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁 ) → 1 < 𝑁 ) |
54 |
|
1red |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ ) |
55 |
|
id |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℝ ) |
56 |
54 55
|
posdifd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℝ → ( 1 < 𝑁 ↔ 0 < ( 𝑁 − 1 ) ) ) |
57 |
56
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁 ) → ( 1 < 𝑁 ↔ 0 < ( 𝑁 − 1 ) ) ) |
58 |
53 57
|
mpbid |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁 ) → 0 < ( 𝑁 − 1 ) ) |
59 |
58
|
ex |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℝ → ( 2 ≤ 𝑁 → 0 < ( 𝑁 − 1 ) ) ) |
60 |
45 59
|
syl |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → ( 2 ≤ 𝑁 → 0 < ( 𝑁 − 1 ) ) ) |
61 |
60
|
a1i |
⊢ ( 2 ∈ ℤ → ( 𝑁 ∈ ℤ → ( 2 ≤ 𝑁 → 0 < ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) |
62 |
61
|
3imp |
⊢ ( ( 2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁 ) → 0 < ( 𝑁 − 1 ) ) |
63 |
44 62
|
sylbi |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → 0 < ( 𝑁 − 1 ) ) |
64 |
63
|
ad2antlr |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 − 1 ) ) → 0 < ( 𝑁 − 1 ) ) |
65 |
|
breq2 |
⊢ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 − 1 ) → ( 0 < ( ♯ ‘ 𝑊 ) ↔ 0 < ( 𝑁 − 1 ) ) ) |
66 |
65
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 − 1 ) ) → ( 0 < ( ♯ ‘ 𝑊 ) ↔ 0 < ( 𝑁 − 1 ) ) ) |
67 |
64 66
|
mpbird |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 − 1 ) ) → 0 < ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) |
68 |
|
hashneq0 |
⊢ ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 → ( 0 < ( ♯ ‘ 𝑊 ) ↔ 𝑊 ≠ ∅ ) ) |
69 |
68
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) → ( 0 < ( ♯ ‘ 𝑊 ) ↔ 𝑊 ≠ ∅ ) ) |
70 |
69
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 − 1 ) ) → ( 0 < ( ♯ ‘ 𝑊 ) ↔ 𝑊 ≠ ∅ ) ) |
71 |
67 70
|
mpbid |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 − 1 ) ) → 𝑊 ≠ ∅ ) |
72 |
71
|
3adantl2 |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 − 1 ) ) → 𝑊 ≠ ∅ ) |
73 |
40 43 72
|
3jca |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 − 1 ) ) → ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 〈“ 𝑍 ”〉 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅ ) ) |
74 |
73
|
ex |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) → ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 − 1 ) → ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 〈“ 𝑍 ”〉 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅ ) ) ) |
75 |
24 74
|
syld |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) → ( ( ♯ ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) = 𝑁 → ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 〈“ 𝑍 ”〉 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅ ) ) ) |
76 |
75
|
imp |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ♯ ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) = 𝑁 ) → ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 〈“ 𝑍 ”〉 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅ ) ) |
77 |
|
ccatval1lsw |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 〈“ 𝑍 ”〉 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅ ) → ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) = ( lastS ‘ 𝑊 ) ) |
78 |
76 77
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ♯ ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) = 𝑁 ) → ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) = ( lastS ‘ 𝑊 ) ) |
79 |
39 78
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ♯ ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) = 𝑁 ) → ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( 𝑁 − 2 ) ) = ( lastS ‘ 𝑊 ) ) |
80 |
|
2m1e1 |
⊢ ( 2 − 1 ) = 1 |
81 |
80
|
a1i |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → ( 2 − 1 ) = 1 ) |
82 |
81
|
eqcomd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → 1 = ( 2 − 1 ) ) |
83 |
82
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → ( 𝑁 − 1 ) = ( 𝑁 − ( 2 − 1 ) ) ) |
84 |
|
2cnd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → 2 ∈ ℂ ) |
85 |
25 84 26
|
subsubd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → ( 𝑁 − ( 2 − 1 ) ) = ( ( 𝑁 − 2 ) + 1 ) ) |
86 |
83 85
|
eqtr2d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → ( ( 𝑁 − 2 ) + 1 ) = ( 𝑁 − 1 ) ) |
87 |
86
|
3ad2ant3 |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) → ( ( 𝑁 − 2 ) + 1 ) = ( 𝑁 − 1 ) ) |
88 |
|
eqeq2 |
⊢ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 − 1 ) → ( ( ( 𝑁 − 2 ) + 1 ) = ( ♯ ‘ 𝑊 ) ↔ ( ( 𝑁 − 2 ) + 1 ) = ( 𝑁 − 1 ) ) ) |
89 |
87 88
|
syl5ibrcom |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) → ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 − 1 ) → ( ( 𝑁 − 2 ) + 1 ) = ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) |
90 |
24 89
|
syld |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) → ( ( ♯ ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) = 𝑁 → ( ( 𝑁 − 2 ) + 1 ) = ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) |
91 |
90
|
imp |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ♯ ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) = 𝑁 ) → ( ( 𝑁 − 2 ) + 1 ) = ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) |
92 |
91
|
fveq2d |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ♯ ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) = 𝑁 ) → ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( ( 𝑁 − 2 ) + 1 ) ) = ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) |
93 |
|
id |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) → ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) ) |
94 |
93
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) → ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) ) |
95 |
94
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ♯ ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) = 𝑁 ) → ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) ) |
96 |
|
ccatws1ls |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) → ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) = 𝑍 ) |
97 |
95 96
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ♯ ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) = 𝑁 ) → ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) = 𝑍 ) |
98 |
92 97
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ♯ ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) = 𝑁 ) → ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( ( 𝑁 − 2 ) + 1 ) ) = 𝑍 ) |
99 |
79 98
|
preq12d |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ♯ ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) = 𝑁 ) → { ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( 𝑁 − 2 ) ) , ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( ( 𝑁 − 2 ) + 1 ) ) } = { ( lastS ‘ 𝑊 ) , 𝑍 } ) |
100 |
99
|
eleq1d |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ♯ ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) = 𝑁 ) → ( { ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( 𝑁 − 2 ) ) , ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( ( 𝑁 − 2 ) + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ↔ { ( lastS ‘ 𝑊 ) , 𝑍 } ∈ 𝐸 ) ) |
101 |
18 100
|
sylibd |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ♯ ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) = 𝑁 ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) − 1 ) ) { ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 → { ( lastS ‘ 𝑊 ) , 𝑍 } ∈ 𝐸 ) ) |
102 |
101
|
ex |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) → ( ( ♯ ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) = 𝑁 → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) − 1 ) ) { ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 → { ( lastS ‘ 𝑊 ) , 𝑍 } ∈ 𝐸 ) ) ) |
103 |
102
|
com13 |
⊢ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) − 1 ) ) { ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 → ( ( ♯ ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) = 𝑁 → ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) → { ( lastS ‘ 𝑊 ) , 𝑍 } ∈ 𝐸 ) ) ) |
104 |
103
|
3ad2ant2 |
⊢ ( ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) − 1 ) ) { ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ∧ { ( lastS ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) , ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ) → ( ( ♯ ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) = 𝑁 → ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) → { ( lastS ‘ 𝑊 ) , 𝑍 } ∈ 𝐸 ) ) ) |
105 |
104
|
imp31 |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) − 1 ) ) { ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ∧ { ( lastS ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) , ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ) ∧ ( ♯ ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) = 𝑁 ) ∧ ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ) → { ( lastS ‘ 𝑊 ) , 𝑍 } ∈ 𝐸 ) |
106 |
94
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 − 1 ) ) → ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) ) |
107 |
|
lswccats1 |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) → ( lastS ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) = 𝑍 ) |
108 |
106 107
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 − 1 ) ) → ( lastS ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) = 𝑍 ) |
109 |
63
|
3ad2ant3 |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) → 0 < ( 𝑁 − 1 ) ) |
110 |
109
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 − 1 ) ) → 0 < ( 𝑁 − 1 ) ) |
111 |
65
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 − 1 ) ) → ( 0 < ( ♯ ‘ 𝑊 ) ↔ 0 < ( 𝑁 − 1 ) ) ) |
112 |
110 111
|
mpbird |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 − 1 ) ) → 0 < ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) |
113 |
|
ccatfv0 |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 〈“ 𝑍 ”〉 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) → ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 0 ) = ( 𝑊 ‘ 0 ) ) |
114 |
40 43 112 113
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 − 1 ) ) → ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 0 ) = ( 𝑊 ‘ 0 ) ) |
115 |
108 114
|
preq12d |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 − 1 ) ) → { ( lastS ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) , ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 0 ) } = { 𝑍 , ( 𝑊 ‘ 0 ) } ) |
116 |
115
|
ex |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) → ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 − 1 ) → { ( lastS ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) , ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 0 ) } = { 𝑍 , ( 𝑊 ‘ 0 ) } ) ) |
117 |
24 116
|
syld |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) → ( ( ♯ ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) = 𝑁 → { ( lastS ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) , ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 0 ) } = { 𝑍 , ( 𝑊 ‘ 0 ) } ) ) |
118 |
117
|
impcom |
⊢ ( ( ( ♯ ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) = 𝑁 ∧ ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ) → { ( lastS ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) , ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 0 ) } = { 𝑍 , ( 𝑊 ‘ 0 ) } ) |
119 |
118
|
eleq1d |
⊢ ( ( ( ♯ ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) = 𝑁 ∧ ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ) → ( { ( lastS ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) , ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ↔ { 𝑍 , ( 𝑊 ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ) ) |
120 |
119
|
biimpcd |
⊢ ( { ( lastS ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) , ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 → ( ( ( ♯ ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) = 𝑁 ∧ ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ) → { 𝑍 , ( 𝑊 ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ) ) |
121 |
120
|
3ad2ant3 |
⊢ ( ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) − 1 ) ) { ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ∧ { ( lastS ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) , ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ) → ( ( ( ♯ ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) = 𝑁 ∧ ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ) → { 𝑍 , ( 𝑊 ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ) ) |
122 |
121
|
impl |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) − 1 ) ) { ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ∧ { ( lastS ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) , ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ) ∧ ( ♯ ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) = 𝑁 ) ∧ ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ) → { 𝑍 , ( 𝑊 ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ) |
123 |
105 122
|
jca |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) − 1 ) ) { ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ∧ { ( lastS ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) , ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ) ∧ ( ♯ ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) = 𝑁 ) ∧ ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ) → ( { ( lastS ‘ 𝑊 ) , 𝑍 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝑍 , ( 𝑊 ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ) ) |
124 |
123
|
ex |
⊢ ( ( ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) − 1 ) ) { ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ∧ { ( lastS ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) , ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ) ∧ ( ♯ ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) = 𝑁 ) → ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) → ( { ( lastS ‘ 𝑊 ) , 𝑍 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝑍 , ( 𝑊 ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ) ) ) |
125 |
4 124
|
syl6bi |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ∈ ( 𝑁 ClWWalksN 𝐺 ) → ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) → ( { ( lastS ‘ 𝑊 ) , 𝑍 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝑍 , ( 𝑊 ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ) ) ) ) |
126 |
3 125
|
mpcom |
⊢ ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ∈ ( 𝑁 ClWWalksN 𝐺 ) → ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) → ( { ( lastS ‘ 𝑊 ) , 𝑍 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝑍 , ( 𝑊 ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ) ) ) |
127 |
126
|
impcom |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ∈ ( 𝑁 ClWWalksN 𝐺 ) ) → ( { ( lastS ‘ 𝑊 ) , 𝑍 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝑍 , ( 𝑊 ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ) ) |