Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
clwwlkext2edg.v |
⊢ 𝑉 = ( Vtx ‘ 𝐺 ) |
2 |
|
clwwlkext2edg.e |
⊢ 𝐸 = ( Edg ‘ 𝐺 ) |
3 |
|
wwlknbp1 |
⊢ ( 𝑊 ∈ ( 𝑁 WWalksN 𝐺 ) → ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ) |
4 |
1
|
wrdeqi |
⊢ Word 𝑉 = Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) |
5 |
4
|
eleq2i |
⊢ ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ↔ 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ) |
6 |
5
|
biimpri |
⊢ ( 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) → 𝑊 ∈ Word 𝑉 ) |
7 |
6
|
3ad2ant2 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) → 𝑊 ∈ Word 𝑉 ) |
8 |
7
|
ad2antlr |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ ( 𝑁 WWalksN 𝐺 ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) → 𝑊 ∈ Word 𝑉 ) |
9 |
|
s1cl |
⊢ ( 𝑍 ∈ 𝑉 → 〈“ 𝑍 ”〉 ∈ Word 𝑉 ) |
10 |
9
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ ( 𝑁 WWalksN 𝐺 ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) → 〈“ 𝑍 ”〉 ∈ Word 𝑉 ) |
11 |
|
ccatcl |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 〈“ 𝑍 ”〉 ∈ Word 𝑉 ) → ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ∈ Word 𝑉 ) |
12 |
8 10 11
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ ( 𝑁 WWalksN 𝐺 ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) → ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ∈ Word 𝑉 ) |
13 |
12
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝑊 ∈ ( 𝑁 WWalksN 𝐺 ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) ∧ ( { ( lastS ‘ 𝑊 ) , 𝑍 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝑍 , ( 𝑊 ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ) ) → ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ∈ Word 𝑉 ) |
14 |
1 2
|
wwlknp |
⊢ ( 𝑊 ∈ ( 𝑁 WWalksN 𝐺 ) → ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) { ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ) ) |
15 |
|
simplll |
⊢ ( ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑊 ∈ Word 𝑉 ) |
16 |
9
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) → 〈“ 𝑍 ”〉 ∈ Word 𝑉 ) |
17 |
16
|
ad2antlr |
⊢ ( ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 〈“ 𝑍 ”〉 ∈ Word 𝑉 ) |
18 |
|
elfzo0 |
⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ↔ ( 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 < 𝑁 ) ) |
19 |
|
simp1 |
⊢ ( ( 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 < 𝑁 ) → 𝑖 ∈ ℕ0 ) |
20 |
|
peano2nn |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 𝑁 + 1 ) ∈ ℕ ) |
21 |
20
|
3ad2ant2 |
⊢ ( ( 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 < 𝑁 ) → ( 𝑁 + 1 ) ∈ ℕ ) |
22 |
|
nn0re |
⊢ ( 𝑖 ∈ ℕ0 → 𝑖 ∈ ℝ ) |
23 |
22
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 < 𝑁 ) → 𝑖 ∈ ℝ ) |
24 |
|
nnre |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ ) |
25 |
24
|
3ad2ant2 |
⊢ ( ( 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 < 𝑁 ) → 𝑁 ∈ ℝ ) |
26 |
|
peano2re |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℝ → ( 𝑁 + 1 ) ∈ ℝ ) |
27 |
24 26
|
syl |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 𝑁 + 1 ) ∈ ℝ ) |
28 |
27
|
3ad2ant2 |
⊢ ( ( 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 < 𝑁 ) → ( 𝑁 + 1 ) ∈ ℝ ) |
29 |
|
simp3 |
⊢ ( ( 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 < 𝑁 ) → 𝑖 < 𝑁 ) |
30 |
24
|
ltp1d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 < ( 𝑁 + 1 ) ) |
31 |
30
|
3ad2ant2 |
⊢ ( ( 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 < 𝑁 ) → 𝑁 < ( 𝑁 + 1 ) ) |
32 |
23 25 28 29 31
|
lttrd |
⊢ ( ( 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 < 𝑁 ) → 𝑖 < ( 𝑁 + 1 ) ) |
33 |
|
elfzo0 |
⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑁 + 1 ) ) ↔ ( 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ ( 𝑁 + 1 ) ∈ ℕ ∧ 𝑖 < ( 𝑁 + 1 ) ) ) |
34 |
19 21 32 33
|
syl3anbrc |
⊢ ( ( 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 < 𝑁 ) → 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑁 + 1 ) ) ) |
35 |
18 34
|
sylbi |
⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑁 + 1 ) ) ) |
36 |
35
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑁 + 1 ) ) ) |
37 |
|
oveq2 |
⊢ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) → ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) = ( 0 ..^ ( 𝑁 + 1 ) ) ) |
38 |
37
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) → ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) = ( 0 ..^ ( 𝑁 + 1 ) ) ) |
39 |
38
|
eleq2d |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) → ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ↔ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑁 + 1 ) ) ) ) |
40 |
39
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ↔ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑁 + 1 ) ) ) ) |
41 |
36 40
|
mpbird |
⊢ ( ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) |
42 |
|
ccatval1 |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 〈“ 𝑍 ”〉 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) → ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 𝑖 ) = ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) |
43 |
15 17 41 42
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 𝑖 ) = ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) ) |
44 |
|
fzonn0p1p1 |
⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ..^ ( 𝑁 + 1 ) ) ) |
45 |
44
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ..^ ( 𝑁 + 1 ) ) ) |
46 |
37
|
eleq2d |
⊢ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) → ( ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ↔ ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ..^ ( 𝑁 + 1 ) ) ) ) |
47 |
46
|
ad3antlr |
⊢ ( ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ↔ ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ..^ ( 𝑁 + 1 ) ) ) ) |
48 |
45 47
|
mpbird |
⊢ ( ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) |
49 |
|
ccatval1 |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 〈“ 𝑍 ”〉 ∈ Word 𝑉 ∧ ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) → ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) |
50 |
15 17 48 49
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) |
51 |
43 50
|
preq12d |
⊢ ( ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → { ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } = { ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ) |
52 |
51
|
ex |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → { ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } = { ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ) ) |
53 |
52
|
expcom |
⊢ ( ( 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) → ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → { ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } = { ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ) ) ) |
54 |
53
|
expcom |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( 𝑍 ∈ 𝑉 → ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) → ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → { ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } = { ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ) ) ) ) |
55 |
54
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) → ( 𝑍 ∈ 𝑉 → ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) → ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → { ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } = { ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ) ) ) ) |
56 |
55
|
imp |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) → ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) → ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → { ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } = { ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ) ) ) |
57 |
56
|
expdcom |
⊢ ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 → ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) → ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) → ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → { ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } = { ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ) ) ) ) |
58 |
57
|
3imp1 |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → { ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } = { ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ) |
59 |
58
|
eleq1d |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( { ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ↔ { ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ) ) |
60 |
59
|
ralbidva |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) { ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ↔ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) { ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ) ) |
61 |
60
|
biimprd |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) { ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) { ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ) ) |
62 |
61
|
3exp |
⊢ ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 → ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) → ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) { ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) { ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ) ) ) ) |
63 |
62
|
com34 |
⊢ ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 → ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) { ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 → ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) { ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ) ) ) ) |
64 |
63
|
3imp1 |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) { ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) ) → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) { ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ) |
65 |
64
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) { ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) ) ∧ { ( lastS ‘ 𝑊 ) , 𝑍 } ∈ 𝐸 ) → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) { ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ) |
66 |
|
simpll |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → 𝑊 ∈ Word 𝑉 ) |
67 |
9
|
ad2antrl |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → 〈“ 𝑍 ”〉 ∈ Word 𝑉 ) |
68 |
|
nn0p1gt0 |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → 0 < ( 𝑁 + 1 ) ) |
69 |
68
|
ad2antll |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → 0 < ( 𝑁 + 1 ) ) |
70 |
|
breq2 |
⊢ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) → ( 0 < ( ♯ ‘ 𝑊 ) ↔ 0 < ( 𝑁 + 1 ) ) ) |
71 |
70
|
ad2antlr |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → ( 0 < ( ♯ ‘ 𝑊 ) ↔ 0 < ( 𝑁 + 1 ) ) ) |
72 |
69 71
|
mpbird |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → 0 < ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) |
73 |
|
hashneq0 |
⊢ ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 → ( 0 < ( ♯ ‘ 𝑊 ) ↔ 𝑊 ≠ ∅ ) ) |
74 |
73
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → ( 0 < ( ♯ ‘ 𝑊 ) ↔ 𝑊 ≠ ∅ ) ) |
75 |
72 74
|
mpbid |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → 𝑊 ≠ ∅ ) |
76 |
|
ccatval1lsw |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 〈“ 𝑍 ”〉 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅ ) → ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) = ( lastS ‘ 𝑊 ) ) |
77 |
66 67 75 76
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) = ( lastS ‘ 𝑊 ) ) |
78 |
|
oveq1 |
⊢ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) → ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) = ( ( 𝑁 + 1 ) − 1 ) ) |
79 |
78
|
ad2antlr |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) = ( ( 𝑁 + 1 ) − 1 ) ) |
80 |
|
nn0cn |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ ) |
81 |
80
|
ad2antll |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → 𝑁 ∈ ℂ ) |
82 |
|
pncan1 |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℂ → ( ( 𝑁 + 1 ) − 1 ) = 𝑁 ) |
83 |
81 82
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → ( ( 𝑁 + 1 ) − 1 ) = 𝑁 ) |
84 |
79 83
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) = 𝑁 ) |
85 |
84
|
fveq2d |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) = ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 𝑁 ) ) |
86 |
77 85
|
eqtr3d |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → ( lastS ‘ 𝑊 ) = ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 𝑁 ) ) |
87 |
|
ccatws1ls |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) → ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) = 𝑍 ) |
88 |
87
|
ad2ant2r |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) = 𝑍 ) |
89 |
|
fveq2 |
⊢ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) → ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) = ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ) |
90 |
89
|
ad2antlr |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) = ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ) |
91 |
88 90
|
eqtr3d |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → 𝑍 = ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ) |
92 |
86 91
|
preq12d |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → { ( lastS ‘ 𝑊 ) , 𝑍 } = { ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 𝑁 ) , ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) } ) |
93 |
92
|
expcom |
⊢ ( ( 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) → { ( lastS ‘ 𝑊 ) , 𝑍 } = { ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 𝑁 ) , ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) } ) ) |
94 |
93
|
expcom |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( 𝑍 ∈ 𝑉 → ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) → { ( lastS ‘ 𝑊 ) , 𝑍 } = { ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 𝑁 ) , ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) } ) ) ) |
95 |
94
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) → ( 𝑍 ∈ 𝑉 → ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) → { ( lastS ‘ 𝑊 ) , 𝑍 } = { ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 𝑁 ) , ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) } ) ) ) |
96 |
95
|
imp |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) → ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) → { ( lastS ‘ 𝑊 ) , 𝑍 } = { ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 𝑁 ) , ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) } ) ) |
97 |
96
|
com12 |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) → ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) → { ( lastS ‘ 𝑊 ) , 𝑍 } = { ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 𝑁 ) , ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) } ) ) |
98 |
97
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) { ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ) → ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) → { ( lastS ‘ 𝑊 ) , 𝑍 } = { ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 𝑁 ) , ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) } ) ) |
99 |
98
|
imp |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) { ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) ) → { ( lastS ‘ 𝑊 ) , 𝑍 } = { ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 𝑁 ) , ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) } ) |
100 |
99
|
eleq1d |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) { ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) ) → ( { ( lastS ‘ 𝑊 ) , 𝑍 } ∈ 𝐸 ↔ { ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 𝑁 ) , ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ) ) |
101 |
100
|
biimpa |
⊢ ( ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) { ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) ) ∧ { ( lastS ‘ 𝑊 ) , 𝑍 } ∈ 𝐸 ) → { ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 𝑁 ) , ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ) |
102 |
|
simprl1 |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) { ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) ) → 𝑁 ∈ ℕ0 ) |
103 |
102
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) { ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) ) ∧ { ( lastS ‘ 𝑊 ) , 𝑍 } ∈ 𝐸 ) → 𝑁 ∈ ℕ0 ) |
104 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑖 = 𝑁 → ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 𝑖 ) = ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 𝑁 ) ) |
105 |
|
fvoveq1 |
⊢ ( 𝑖 = 𝑁 → ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ) |
106 |
104 105
|
preq12d |
⊢ ( 𝑖 = 𝑁 → { ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } = { ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 𝑁 ) , ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) } ) |
107 |
106
|
eleq1d |
⊢ ( 𝑖 = 𝑁 → ( { ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ↔ { ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 𝑁 ) , ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ) ) |
108 |
107
|
ralsng |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( ∀ 𝑖 ∈ { 𝑁 } { ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ↔ { ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 𝑁 ) , ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ) ) |
109 |
103 108
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) { ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) ) ∧ { ( lastS ‘ 𝑊 ) , 𝑍 } ∈ 𝐸 ) → ( ∀ 𝑖 ∈ { 𝑁 } { ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ↔ { ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 𝑁 ) , ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ) ) |
110 |
101 109
|
mpbird |
⊢ ( ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) { ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) ) ∧ { ( lastS ‘ 𝑊 ) , 𝑍 } ∈ 𝐸 ) → ∀ 𝑖 ∈ { 𝑁 } { ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ) |
111 |
|
ralunb |
⊢ ( ∀ 𝑖 ∈ ( ( 0 ..^ 𝑁 ) ∪ { 𝑁 } ) { ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ↔ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) { ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ∧ ∀ 𝑖 ∈ { 𝑁 } { ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ) ) |
112 |
65 110 111
|
sylanbrc |
⊢ ( ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) { ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) ) ∧ { ( lastS ‘ 𝑊 ) , 𝑍 } ∈ 𝐸 ) → ∀ 𝑖 ∈ ( ( 0 ..^ 𝑁 ) ∪ { 𝑁 } ) { ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ) |
113 |
|
elnn0uz |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) ) |
114 |
102 113
|
sylib |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) { ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) ) → 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) ) |
115 |
114
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) { ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) ) ∧ { ( lastS ‘ 𝑊 ) , 𝑍 } ∈ 𝐸 ) → 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) ) |
116 |
|
fzosplitsn |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) → ( 0 ..^ ( 𝑁 + 1 ) ) = ( ( 0 ..^ 𝑁 ) ∪ { 𝑁 } ) ) |
117 |
115 116
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) { ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) ) ∧ { ( lastS ‘ 𝑊 ) , 𝑍 } ∈ 𝐸 ) → ( 0 ..^ ( 𝑁 + 1 ) ) = ( ( 0 ..^ 𝑁 ) ∪ { 𝑁 } ) ) |
118 |
117
|
raleqdv |
⊢ ( ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) { ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) ) ∧ { ( lastS ‘ 𝑊 ) , 𝑍 } ∈ 𝐸 ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑁 + 1 ) ) { ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ↔ ∀ 𝑖 ∈ ( ( 0 ..^ 𝑁 ) ∪ { 𝑁 } ) { ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ) ) |
119 |
112 118
|
mpbird |
⊢ ( ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) { ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) ) ∧ { ( lastS ‘ 𝑊 ) , 𝑍 } ∈ 𝐸 ) → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑁 + 1 ) ) { ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ) |
120 |
|
ccatws1len |
⊢ ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 → ( ♯ ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) = ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) + 1 ) ) |
121 |
120
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) { ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ) → ( ♯ ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) = ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) + 1 ) ) |
122 |
121
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) { ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) ) ∧ { ( lastS ‘ 𝑊 ) , 𝑍 } ∈ 𝐸 ) → ( ♯ ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) = ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) + 1 ) ) |
123 |
122
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) { ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) ) ∧ { ( lastS ‘ 𝑊 ) , 𝑍 } ∈ 𝐸 ) → ( ( ♯ ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) − 1 ) = ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) + 1 ) − 1 ) ) |
124 |
|
oveq1 |
⊢ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) → ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) + 1 ) = ( ( 𝑁 + 1 ) + 1 ) ) |
125 |
124
|
oveq1d |
⊢ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) → ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) + 1 ) − 1 ) = ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 1 ) − 1 ) ) |
126 |
|
1cnd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ ) |
127 |
80 126
|
addcld |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( 𝑁 + 1 ) ∈ ℂ ) |
128 |
127 126
|
pncand |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 1 ) − 1 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) |
129 |
128
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) → ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 1 ) − 1 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) |
130 |
129
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) → ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 1 ) − 1 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) |
131 |
125 130
|
sylan9eq |
⊢ ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) ) → ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) + 1 ) − 1 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) |
132 |
131
|
3ad2antl2 |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) { ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) ) → ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) + 1 ) − 1 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) |
133 |
132
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) { ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) ) ∧ { ( lastS ‘ 𝑊 ) , 𝑍 } ∈ 𝐸 ) → ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) + 1 ) − 1 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) |
134 |
123 133
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) { ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) ) ∧ { ( lastS ‘ 𝑊 ) , 𝑍 } ∈ 𝐸 ) → ( ( ♯ ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) − 1 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) |
135 |
134
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) { ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) ) ∧ { ( lastS ‘ 𝑊 ) , 𝑍 } ∈ 𝐸 ) → ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) − 1 ) ) = ( 0 ..^ ( 𝑁 + 1 ) ) ) |
136 |
135
|
raleqdv |
⊢ ( ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) { ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) ) ∧ { ( lastS ‘ 𝑊 ) , 𝑍 } ∈ 𝐸 ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) − 1 ) ) { ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ↔ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑁 + 1 ) ) { ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ) ) |
137 |
119 136
|
mpbird |
⊢ ( ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) { ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) ) ∧ { ( lastS ‘ 𝑊 ) , 𝑍 } ∈ 𝐸 ) → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) − 1 ) ) { ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ) |
138 |
137
|
exp42 |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) { ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ) → ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) → ( 𝑍 ∈ 𝑉 → ( { ( lastS ‘ 𝑊 ) , 𝑍 } ∈ 𝐸 → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) − 1 ) ) { ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ) ) ) ) |
139 |
14 138
|
syl |
⊢ ( 𝑊 ∈ ( 𝑁 WWalksN 𝐺 ) → ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) → ( 𝑍 ∈ 𝑉 → ( { ( lastS ‘ 𝑊 ) , 𝑍 } ∈ 𝐸 → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) − 1 ) ) { ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ) ) ) ) |
140 |
139
|
imp41 |
⊢ ( ( ( ( 𝑊 ∈ ( 𝑁 WWalksN 𝐺 ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) ∧ { ( lastS ‘ 𝑊 ) , 𝑍 } ∈ 𝐸 ) → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) − 1 ) ) { ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ) |
141 |
140
|
adantrr |
⊢ ( ( ( ( 𝑊 ∈ ( 𝑁 WWalksN 𝐺 ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) ∧ ( { ( lastS ‘ 𝑊 ) , 𝑍 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝑍 , ( 𝑊 ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ) ) → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) − 1 ) ) { ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ) |
142 |
|
lswccats1 |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) → ( lastS ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) = 𝑍 ) |
143 |
8 142
|
sylancom |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ ( 𝑁 WWalksN 𝐺 ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) → ( lastS ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) = 𝑍 ) |
144 |
68
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) → 0 < ( 𝑁 + 1 ) ) |
145 |
70
|
3ad2ant3 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) → ( 0 < ( ♯ ‘ 𝑊 ) ↔ 0 < ( 𝑁 + 1 ) ) ) |
146 |
144 145
|
mpbird |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) → 0 < ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) |
147 |
146
|
ad2antlr |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ ( 𝑁 WWalksN 𝐺 ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) → 0 < ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) |
148 |
|
ccatfv0 |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 〈“ 𝑍 ”〉 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) → ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 0 ) = ( 𝑊 ‘ 0 ) ) |
149 |
8 10 147 148
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ ( 𝑁 WWalksN 𝐺 ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) → ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 0 ) = ( 𝑊 ‘ 0 ) ) |
150 |
143 149
|
preq12d |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ ( 𝑁 WWalksN 𝐺 ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) → { ( lastS ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) , ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 0 ) } = { 𝑍 , ( 𝑊 ‘ 0 ) } ) |
151 |
150
|
eleq1d |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ ( 𝑁 WWalksN 𝐺 ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) → ( { ( lastS ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) , ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ↔ { 𝑍 , ( 𝑊 ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ) ) |
152 |
151
|
biimprcd |
⊢ ( { 𝑍 , ( 𝑊 ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 → ( ( ( 𝑊 ∈ ( 𝑁 WWalksN 𝐺 ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) → { ( lastS ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) , ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ) ) |
153 |
152
|
adantl |
⊢ ( ( { ( lastS ‘ 𝑊 ) , 𝑍 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝑍 , ( 𝑊 ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ) → ( ( ( 𝑊 ∈ ( 𝑁 WWalksN 𝐺 ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) → { ( lastS ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) , ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ) ) |
154 |
153
|
impcom |
⊢ ( ( ( ( 𝑊 ∈ ( 𝑁 WWalksN 𝐺 ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) ∧ ( { ( lastS ‘ 𝑊 ) , 𝑍 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝑍 , ( 𝑊 ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ) ) → { ( lastS ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) , ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ) |
155 |
13 141 154
|
3jca |
⊢ ( ( ( ( 𝑊 ∈ ( 𝑁 WWalksN 𝐺 ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) ∧ ( { ( lastS ‘ 𝑊 ) , 𝑍 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝑍 , ( 𝑊 ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ) ) → ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) − 1 ) ) { ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ∧ { ( lastS ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) , ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ) ) |
156 |
|
ccatws1len |
⊢ ( 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) → ( ♯ ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) = ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) + 1 ) ) |
157 |
156
|
3ad2ant2 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) → ( ♯ ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) = ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) + 1 ) ) |
158 |
124
|
3ad2ant3 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) → ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) + 1 ) = ( ( 𝑁 + 1 ) + 1 ) ) |
159 |
80 126 126
|
addassd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( ( 𝑁 + 1 ) + 1 ) = ( 𝑁 + ( 1 + 1 ) ) ) |
160 |
|
1p1e2 |
⊢ ( 1 + 1 ) = 2 |
161 |
160
|
oveq2i |
⊢ ( 𝑁 + ( 1 + 1 ) ) = ( 𝑁 + 2 ) |
162 |
159 161
|
eqtrdi |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( ( 𝑁 + 1 ) + 1 ) = ( 𝑁 + 2 ) ) |
163 |
162
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) → ( ( 𝑁 + 1 ) + 1 ) = ( 𝑁 + 2 ) ) |
164 |
157 158 163
|
3eqtrd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) → ( ♯ ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) = ( 𝑁 + 2 ) ) |
165 |
164
|
ad3antlr |
⊢ ( ( ( ( 𝑊 ∈ ( 𝑁 WWalksN 𝐺 ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) ∧ ( { ( lastS ‘ 𝑊 ) , 𝑍 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝑍 , ( 𝑊 ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ) ) → ( ♯ ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) = ( 𝑁 + 2 ) ) |
166 |
|
2nn |
⊢ 2 ∈ ℕ |
167 |
|
nn0nnaddcl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ ) → ( 𝑁 + 2 ) ∈ ℕ ) |
168 |
166 167
|
mpan2 |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( 𝑁 + 2 ) ∈ ℕ ) |
169 |
168
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) → ( 𝑁 + 2 ) ∈ ℕ ) |
170 |
1 2
|
isclwwlknx |
⊢ ( ( 𝑁 + 2 ) ∈ ℕ → ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ∈ ( ( 𝑁 + 2 ) ClWWalksN 𝐺 ) ↔ ( ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) − 1 ) ) { ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ∧ { ( lastS ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) , ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ) ∧ ( ♯ ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) = ( 𝑁 + 2 ) ) ) ) |
171 |
169 170
|
syl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) → ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ∈ ( ( 𝑁 + 2 ) ClWWalksN 𝐺 ) ↔ ( ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) − 1 ) ) { ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ∧ { ( lastS ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) , ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ) ∧ ( ♯ ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) = ( 𝑁 + 2 ) ) ) ) |
172 |
171
|
ad3antlr |
⊢ ( ( ( ( 𝑊 ∈ ( 𝑁 WWalksN 𝐺 ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) ∧ ( { ( lastS ‘ 𝑊 ) , 𝑍 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝑍 , ( 𝑊 ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ) ) → ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ∈ ( ( 𝑁 + 2 ) ClWWalksN 𝐺 ) ↔ ( ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) − 1 ) ) { ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ∧ { ( lastS ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) , ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ) ∧ ( ♯ ‘ ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) = ( 𝑁 + 2 ) ) ) ) |
173 |
155 165 172
|
mpbir2and |
⊢ ( ( ( ( 𝑊 ∈ ( 𝑁 WWalksN 𝐺 ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) ∧ ( { ( lastS ‘ 𝑊 ) , 𝑍 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝑍 , ( 𝑊 ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ) ) → ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ∈ ( ( 𝑁 + 2 ) ClWWalksN 𝐺 ) ) |
174 |
173
|
exp31 |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ ( 𝑁 WWalksN 𝐺 ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) ) → ( 𝑍 ∈ 𝑉 → ( ( { ( lastS ‘ 𝑊 ) , 𝑍 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝑍 , ( 𝑊 ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ) → ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ∈ ( ( 𝑁 + 2 ) ClWWalksN 𝐺 ) ) ) ) |
175 |
3 174
|
mpdan |
⊢ ( 𝑊 ∈ ( 𝑁 WWalksN 𝐺 ) → ( 𝑍 ∈ 𝑉 → ( ( { ( lastS ‘ 𝑊 ) , 𝑍 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝑍 , ( 𝑊 ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ) → ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ∈ ( ( 𝑁 + 2 ) ClWWalksN 𝐺 ) ) ) ) |
176 |
175
|
imp |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ ( 𝑁 WWalksN 𝐺 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) → ( ( { ( lastS ‘ 𝑊 ) , 𝑍 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝑍 , ( 𝑊 ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ) → ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ∈ ( ( 𝑁 + 2 ) ClWWalksN 𝐺 ) ) ) |