Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
eqid |
⊢ ( Vtx ‘ 𝐺 ) = ( Vtx ‘ 𝐺 ) |
2 |
|
eqid |
⊢ ( Edg ‘ 𝐺 ) = ( Edg ‘ 𝐺 ) |
3 |
1 2
|
clwwlknp |
⊢ ( 𝑋 ∈ ( 𝑁 ClWWalksN 𝐺 ) → ( ( 𝑋 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑋 ) = 𝑁 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑁 − 1 ) ) { ( 𝑋 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑋 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ∧ { ( lastS ‘ 𝑋 ) , ( 𝑋 ‘ 0 ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) |
4 |
|
pfxcl |
⊢ ( 𝑋 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) → ( 𝑋 prefix 𝑀 ) ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ) |
5 |
4
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑋 ) = 𝑁 ) → ( 𝑋 prefix 𝑀 ) ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ) |
6 |
5
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑋 ) = 𝑁 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑁 − 1 ) ) { ( 𝑋 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑋 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑀 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑋 prefix 𝑀 ) ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ) |
7 |
|
nnz |
⊢ ( 𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ ) |
8 |
|
eluzp1m1 |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑀 + 1 ) ) ) → ( 𝑁 − 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ) |
9 |
8
|
ex |
⊢ ( 𝑀 ∈ ℤ → ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑀 + 1 ) ) → ( 𝑁 − 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ) ) |
10 |
7 9
|
syl |
⊢ ( 𝑀 ∈ ℕ → ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑀 + 1 ) ) → ( 𝑁 − 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ) ) |
11 |
|
peano2zm |
⊢ ( 𝑀 ∈ ℤ → ( 𝑀 − 1 ) ∈ ℤ ) |
12 |
7 11
|
syl |
⊢ ( 𝑀 ∈ ℕ → ( 𝑀 − 1 ) ∈ ℤ ) |
13 |
|
nnre |
⊢ ( 𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ ) |
14 |
13
|
lem1d |
⊢ ( 𝑀 ∈ ℕ → ( 𝑀 − 1 ) ≤ 𝑀 ) |
15 |
|
eluzuzle |
⊢ ( ( ( 𝑀 − 1 ) ∈ ℤ ∧ ( 𝑀 − 1 ) ≤ 𝑀 ) → ( ( 𝑁 − 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) → ( 𝑁 − 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑀 − 1 ) ) ) ) |
16 |
12 14 15
|
syl2anc |
⊢ ( 𝑀 ∈ ℕ → ( ( 𝑁 − 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) → ( 𝑁 − 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑀 − 1 ) ) ) ) |
17 |
10 16
|
syld |
⊢ ( 𝑀 ∈ ℕ → ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑀 + 1 ) ) → ( 𝑁 − 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑀 − 1 ) ) ) ) |
18 |
17
|
imp |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑀 + 1 ) ) ) → ( 𝑁 − 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑀 − 1 ) ) ) |
19 |
|
fzoss2 |
⊢ ( ( 𝑁 − 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑀 − 1 ) ) → ( 0 ..^ ( 𝑀 − 1 ) ) ⊆ ( 0 ..^ ( 𝑁 − 1 ) ) ) |
20 |
18 19
|
syl |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑀 + 1 ) ) ) → ( 0 ..^ ( 𝑀 − 1 ) ) ⊆ ( 0 ..^ ( 𝑁 − 1 ) ) ) |
21 |
20
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑋 ) = 𝑁 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑀 + 1 ) ) ) ) → ( 0 ..^ ( 𝑀 − 1 ) ) ⊆ ( 0 ..^ ( 𝑁 − 1 ) ) ) |
22 |
|
ssralv |
⊢ ( ( 0 ..^ ( 𝑀 − 1 ) ) ⊆ ( 0 ..^ ( 𝑁 − 1 ) ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑁 − 1 ) ) { ( 𝑋 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑋 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑀 − 1 ) ) { ( 𝑋 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑋 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) |
23 |
21 22
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑋 ) = 𝑁 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑀 + 1 ) ) ) ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑁 − 1 ) ) { ( 𝑋 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑋 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑀 − 1 ) ) { ( 𝑋 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑋 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) |
24 |
|
simpll |
⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑋 ) = 𝑁 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑀 + 1 ) ) ) ) → 𝑋 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ) |
25 |
24
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑋 ) = 𝑁 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑀 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑀 − 1 ) ) ) → 𝑋 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ) |
26 |
|
eluz2 |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑀 + 1 ) ) ↔ ( ( 𝑀 + 1 ) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ( 𝑀 + 1 ) ≤ 𝑁 ) ) |
27 |
13
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ ( 𝑀 + 1 ) ≤ 𝑁 ) ) → 𝑀 ∈ ℝ ) |
28 |
|
peano2re |
⊢ ( 𝑀 ∈ ℝ → ( 𝑀 + 1 ) ∈ ℝ ) |
29 |
13 28
|
syl |
⊢ ( 𝑀 ∈ ℕ → ( 𝑀 + 1 ) ∈ ℝ ) |
30 |
29
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ ( 𝑀 + 1 ) ≤ 𝑁 ) ) → ( 𝑀 + 1 ) ∈ ℝ ) |
31 |
|
zre |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ ) |
32 |
31
|
ad2antrl |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ ( 𝑀 + 1 ) ≤ 𝑁 ) ) → 𝑁 ∈ ℝ ) |
33 |
13
|
lep1d |
⊢ ( 𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ≤ ( 𝑀 + 1 ) ) |
34 |
33
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ ( 𝑀 + 1 ) ≤ 𝑁 ) ) → 𝑀 ≤ ( 𝑀 + 1 ) ) |
35 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ ( 𝑀 + 1 ) ≤ 𝑁 ) → ( 𝑀 + 1 ) ≤ 𝑁 ) |
36 |
35
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ ( 𝑀 + 1 ) ≤ 𝑁 ) ) → ( 𝑀 + 1 ) ≤ 𝑁 ) |
37 |
27 30 32 34 36
|
letrd |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ ( 𝑀 + 1 ) ≤ 𝑁 ) ) → 𝑀 ≤ 𝑁 ) |
38 |
|
nnnn0 |
⊢ ( 𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0 ) |
39 |
38
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ ( 𝑀 + 1 ) ≤ 𝑁 ) ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁 ) → 𝑀 ∈ ℕ0 ) |
40 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → 𝑁 ∈ ℤ ) |
41 |
40
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁 ) → 𝑁 ∈ ℤ ) |
42 |
|
0red |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → 0 ∈ ℝ ) |
43 |
13
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → 𝑀 ∈ ℝ ) |
44 |
31
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → 𝑁 ∈ ℝ ) |
45 |
42 43 44
|
3jca |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ) ) |
46 |
45
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁 ) → ( 0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ) ) |
47 |
38
|
nn0ge0d |
⊢ ( 𝑀 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑀 ) |
48 |
47
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → 0 ≤ 𝑀 ) |
49 |
48
|
anim1i |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁 ) → ( 0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁 ) ) |
50 |
|
letr |
⊢ ( ( 0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ) → ( ( 0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁 ) → 0 ≤ 𝑁 ) ) |
51 |
46 49 50
|
sylc |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁 ) → 0 ≤ 𝑁 ) |
52 |
|
elnn0z |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 ↔ ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁 ) ) |
53 |
41 51 52
|
sylanbrc |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁 ) → 𝑁 ∈ ℕ0 ) |
54 |
53
|
adantlrr |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ ( 𝑀 + 1 ) ≤ 𝑁 ) ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁 ) → 𝑁 ∈ ℕ0 ) |
55 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ ( 𝑀 + 1 ) ≤ 𝑁 ) ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁 ) → 𝑀 ≤ 𝑁 ) |
56 |
39 54 55
|
3jca |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ ( 𝑀 + 1 ) ≤ 𝑁 ) ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁 ) → ( 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁 ) ) |
57 |
37 56
|
mpdan |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ ( 𝑀 + 1 ) ≤ 𝑁 ) ) → ( 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁 ) ) |
58 |
57
|
expcom |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ ( 𝑀 + 1 ) ≤ 𝑁 ) → ( 𝑀 ∈ ℕ → ( 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁 ) ) ) |
59 |
58
|
3adant1 |
⊢ ( ( ( 𝑀 + 1 ) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ( 𝑀 + 1 ) ≤ 𝑁 ) → ( 𝑀 ∈ ℕ → ( 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁 ) ) ) |
60 |
26 59
|
sylbi |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑀 + 1 ) ) → ( 𝑀 ∈ ℕ → ( 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁 ) ) ) |
61 |
60
|
impcom |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑀 + 1 ) ) ) → ( 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁 ) ) |
62 |
|
elfz2nn0 |
⊢ ( 𝑀 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↔ ( 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁 ) ) |
63 |
61 62
|
sylibr |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑀 + 1 ) ) ) → 𝑀 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) |
64 |
63
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑋 ) = 𝑁 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑀 + 1 ) ) ) ) → 𝑀 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) |
65 |
|
oveq2 |
⊢ ( ( ♯ ‘ 𝑋 ) = 𝑁 → ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑋 ) ) = ( 0 ... 𝑁 ) ) |
66 |
65
|
eleq2d |
⊢ ( ( ♯ ‘ 𝑋 ) = 𝑁 → ( 𝑀 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑋 ) ) ↔ 𝑀 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ) |
67 |
66
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑋 ) = 𝑁 ) → ( 𝑀 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑋 ) ) ↔ 𝑀 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ) |
68 |
67
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑋 ) = 𝑁 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑀 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑀 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑋 ) ) ↔ 𝑀 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ) |
69 |
64 68
|
mpbird |
⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑋 ) = 𝑁 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑀 + 1 ) ) ) ) → 𝑀 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑋 ) ) ) |
70 |
69
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑋 ) = 𝑁 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑀 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑀 − 1 ) ) ) → 𝑀 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑋 ) ) ) |
71 |
|
eluz2 |
⊢ ( 𝑀 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑀 − 1 ) ) ↔ ( ( 𝑀 − 1 ) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ ( 𝑀 − 1 ) ≤ 𝑀 ) ) |
72 |
12 7 14 71
|
syl3anbrc |
⊢ ( 𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑀 − 1 ) ) ) |
73 |
|
fzoss2 |
⊢ ( 𝑀 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑀 − 1 ) ) → ( 0 ..^ ( 𝑀 − 1 ) ) ⊆ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) |
74 |
72 73
|
syl |
⊢ ( 𝑀 ∈ ℕ → ( 0 ..^ ( 𝑀 − 1 ) ) ⊆ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) |
75 |
74
|
sseld |
⊢ ( 𝑀 ∈ ℕ → ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑀 − 1 ) ) → 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ) |
76 |
75
|
ad2antrl |
⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑋 ) = 𝑁 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑀 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑀 − 1 ) ) → 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ) |
77 |
76
|
imp |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑋 ) = 𝑁 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑀 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑀 − 1 ) ) ) → 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) |
78 |
|
pfxfv |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑀 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑋 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑋 prefix 𝑀 ) ‘ 𝑖 ) = ( 𝑋 ‘ 𝑖 ) ) |
79 |
25 70 77 78
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑋 ) = 𝑁 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑀 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑀 − 1 ) ) ) → ( ( 𝑋 prefix 𝑀 ) ‘ 𝑖 ) = ( 𝑋 ‘ 𝑖 ) ) |
80 |
79
|
eqcomd |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑋 ) = 𝑁 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑀 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑀 − 1 ) ) ) → ( 𝑋 ‘ 𝑖 ) = ( ( 𝑋 prefix 𝑀 ) ‘ 𝑖 ) ) |
81 |
|
fzonn0p1p1 |
⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑀 − 1 ) ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ..^ ( ( 𝑀 − 1 ) + 1 ) ) ) |
82 |
|
nncn |
⊢ ( 𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ ) |
83 |
|
npcan1 |
⊢ ( 𝑀 ∈ ℂ → ( ( 𝑀 − 1 ) + 1 ) = 𝑀 ) |
84 |
82 83
|
syl |
⊢ ( 𝑀 ∈ ℕ → ( ( 𝑀 − 1 ) + 1 ) = 𝑀 ) |
85 |
84
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑀 ∈ ℕ → ( 0 ..^ ( ( 𝑀 − 1 ) + 1 ) ) = ( 0 ..^ 𝑀 ) ) |
86 |
85
|
eleq2d |
⊢ ( 𝑀 ∈ ℕ → ( ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ..^ ( ( 𝑀 − 1 ) + 1 ) ) ↔ ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ) |
87 |
81 86
|
syl5ib |
⊢ ( 𝑀 ∈ ℕ → ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑀 − 1 ) ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ) |
88 |
87
|
ad2antrl |
⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑋 ) = 𝑁 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑀 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑀 − 1 ) ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ) |
89 |
88
|
imp |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑋 ) = 𝑁 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑀 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑀 − 1 ) ) ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) |
90 |
|
pfxfv |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑀 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑋 ) ) ∧ ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑋 prefix 𝑀 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( 𝑋 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) |
91 |
25 70 89 90
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑋 ) = 𝑁 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑀 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑀 − 1 ) ) ) → ( ( 𝑋 prefix 𝑀 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( 𝑋 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) |
92 |
91
|
eqcomd |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑋 ) = 𝑁 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑀 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑀 − 1 ) ) ) → ( 𝑋 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( ( 𝑋 prefix 𝑀 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) |
93 |
80 92
|
preq12d |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑋 ) = 𝑁 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑀 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑀 − 1 ) ) ) → { ( 𝑋 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑋 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } = { ( ( 𝑋 prefix 𝑀 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( 𝑋 prefix 𝑀 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ) |
94 |
93
|
eleq1d |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑋 ) = 𝑁 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑀 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑀 − 1 ) ) ) → ( { ( 𝑋 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑋 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ↔ { ( ( 𝑋 prefix 𝑀 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( 𝑋 prefix 𝑀 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) |
95 |
94
|
ralbidva |
⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑋 ) = 𝑁 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑀 + 1 ) ) ) ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑀 − 1 ) ) { ( 𝑋 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑋 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ↔ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑀 − 1 ) ) { ( ( 𝑋 prefix 𝑀 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( 𝑋 prefix 𝑀 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) |
96 |
23 95
|
sylibd |
⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑋 ) = 𝑁 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑀 + 1 ) ) ) ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑁 − 1 ) ) { ( 𝑋 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑋 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑀 − 1 ) ) { ( ( 𝑋 prefix 𝑀 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( 𝑋 prefix 𝑀 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) |
97 |
96
|
impancom |
⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑋 ) = 𝑁 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑁 − 1 ) ) { ( 𝑋 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑋 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) → ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑀 + 1 ) ) ) → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑀 − 1 ) ) { ( ( 𝑋 prefix 𝑀 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( 𝑋 prefix 𝑀 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) |
98 |
97
|
imp |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑋 ) = 𝑁 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑁 − 1 ) ) { ( 𝑋 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑋 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑀 + 1 ) ) ) ) → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑀 − 1 ) ) { ( ( 𝑋 prefix 𝑀 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( 𝑋 prefix 𝑀 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) |
99 |
24 69
|
jca |
⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑋 ) = 𝑁 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑀 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑋 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑀 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑋 ) ) ) ) |
100 |
99
|
adantlr |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑋 ) = 𝑁 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑁 − 1 ) ) { ( 𝑋 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑋 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑀 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑋 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑀 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑋 ) ) ) ) |
101 |
|
pfxlen |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑀 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑋 ) ) ) → ( ♯ ‘ ( 𝑋 prefix 𝑀 ) ) = 𝑀 ) |
102 |
100 101
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑋 ) = 𝑁 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑁 − 1 ) ) { ( 𝑋 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑋 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑀 + 1 ) ) ) ) → ( ♯ ‘ ( 𝑋 prefix 𝑀 ) ) = 𝑀 ) |
103 |
102
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑋 ) = 𝑁 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑁 − 1 ) ) { ( 𝑋 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑋 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑀 + 1 ) ) ) ) → ( ( ♯ ‘ ( 𝑋 prefix 𝑀 ) ) − 1 ) = ( 𝑀 − 1 ) ) |
104 |
103
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑋 ) = 𝑁 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑁 − 1 ) ) { ( 𝑋 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑋 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑀 + 1 ) ) ) ) → ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ ( 𝑋 prefix 𝑀 ) ) − 1 ) ) = ( 0 ..^ ( 𝑀 − 1 ) ) ) |
105 |
104
|
raleqdv |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑋 ) = 𝑁 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑁 − 1 ) ) { ( 𝑋 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑋 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑀 + 1 ) ) ) ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ ( 𝑋 prefix 𝑀 ) ) − 1 ) ) { ( ( 𝑋 prefix 𝑀 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( 𝑋 prefix 𝑀 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ↔ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑀 − 1 ) ) { ( ( 𝑋 prefix 𝑀 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( 𝑋 prefix 𝑀 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) |
106 |
98 105
|
mpbird |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑋 ) = 𝑁 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑁 − 1 ) ) { ( 𝑋 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑋 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑀 + 1 ) ) ) ) → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ ( 𝑋 prefix 𝑀 ) ) − 1 ) ) { ( ( 𝑋 prefix 𝑀 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( 𝑋 prefix 𝑀 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) |
107 |
24 69 101
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑋 ) = 𝑁 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑀 + 1 ) ) ) ) → ( ♯ ‘ ( 𝑋 prefix 𝑀 ) ) = 𝑀 ) |
108 |
84
|
eqcomd |
⊢ ( 𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 = ( ( 𝑀 − 1 ) + 1 ) ) |
109 |
108
|
ad2antrl |
⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑋 ) = 𝑁 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑀 + 1 ) ) ) ) → 𝑀 = ( ( 𝑀 − 1 ) + 1 ) ) |
110 |
107 109
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑋 ) = 𝑁 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑀 + 1 ) ) ) ) → ( ♯ ‘ ( 𝑋 prefix 𝑀 ) ) = ( ( 𝑀 − 1 ) + 1 ) ) |
111 |
110
|
adantlr |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑋 ) = 𝑁 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑁 − 1 ) ) { ( 𝑋 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑋 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑀 + 1 ) ) ) ) → ( ♯ ‘ ( 𝑋 prefix 𝑀 ) ) = ( ( 𝑀 − 1 ) + 1 ) ) |
112 |
6 106 111
|
3jca |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑋 ) = 𝑁 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑁 − 1 ) ) { ( 𝑋 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑋 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑀 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝑋 prefix 𝑀 ) ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ ( 𝑋 prefix 𝑀 ) ) − 1 ) ) { ( ( 𝑋 prefix 𝑀 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( 𝑋 prefix 𝑀 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ ( 𝑋 prefix 𝑀 ) ) = ( ( 𝑀 − 1 ) + 1 ) ) ) |
113 |
112
|
ex |
⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑋 ) = 𝑁 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑁 − 1 ) ) { ( 𝑋 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑋 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) → ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑀 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑋 prefix 𝑀 ) ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ ( 𝑋 prefix 𝑀 ) ) − 1 ) ) { ( ( 𝑋 prefix 𝑀 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( 𝑋 prefix 𝑀 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ ( 𝑋 prefix 𝑀 ) ) = ( ( 𝑀 − 1 ) + 1 ) ) ) ) |
114 |
113
|
3adant3 |
⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑋 ) = 𝑁 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑁 − 1 ) ) { ( 𝑋 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑋 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ∧ { ( lastS ‘ 𝑋 ) , ( 𝑋 ‘ 0 ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) → ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑀 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑋 prefix 𝑀 ) ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ ( 𝑋 prefix 𝑀 ) ) − 1 ) ) { ( ( 𝑋 prefix 𝑀 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( 𝑋 prefix 𝑀 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ ( 𝑋 prefix 𝑀 ) ) = ( ( 𝑀 − 1 ) + 1 ) ) ) ) |
115 |
3 114
|
syl |
⊢ ( 𝑋 ∈ ( 𝑁 ClWWalksN 𝐺 ) → ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑀 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑋 prefix 𝑀 ) ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ ( 𝑋 prefix 𝑀 ) ) − 1 ) ) { ( ( 𝑋 prefix 𝑀 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( 𝑋 prefix 𝑀 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ ( 𝑋 prefix 𝑀 ) ) = ( ( 𝑀 − 1 ) + 1 ) ) ) ) |
116 |
115
|
impcom |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑀 + 1 ) ) ) ∧ 𝑋 ∈ ( 𝑁 ClWWalksN 𝐺 ) ) → ( ( 𝑋 prefix 𝑀 ) ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ ( 𝑋 prefix 𝑀 ) ) − 1 ) ) { ( ( 𝑋 prefix 𝑀 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( 𝑋 prefix 𝑀 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ ( 𝑋 prefix 𝑀 ) ) = ( ( 𝑀 − 1 ) + 1 ) ) ) |
117 |
|
nnm1nn0 |
⊢ ( 𝑀 ∈ ℕ → ( 𝑀 − 1 ) ∈ ℕ0 ) |
118 |
117
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑀 + 1 ) ) ) ∧ 𝑋 ∈ ( 𝑁 ClWWalksN 𝐺 ) ) → ( 𝑀 − 1 ) ∈ ℕ0 ) |
119 |
1 2
|
iswwlksnx |
⊢ ( ( 𝑀 − 1 ) ∈ ℕ0 → ( ( 𝑋 prefix 𝑀 ) ∈ ( ( 𝑀 − 1 ) WWalksN 𝐺 ) ↔ ( ( 𝑋 prefix 𝑀 ) ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ ( 𝑋 prefix 𝑀 ) ) − 1 ) ) { ( ( 𝑋 prefix 𝑀 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( 𝑋 prefix 𝑀 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ ( 𝑋 prefix 𝑀 ) ) = ( ( 𝑀 − 1 ) + 1 ) ) ) ) |
120 |
118 119
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑀 + 1 ) ) ) ∧ 𝑋 ∈ ( 𝑁 ClWWalksN 𝐺 ) ) → ( ( 𝑋 prefix 𝑀 ) ∈ ( ( 𝑀 − 1 ) WWalksN 𝐺 ) ↔ ( ( 𝑋 prefix 𝑀 ) ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ ( 𝑋 prefix 𝑀 ) ) − 1 ) ) { ( ( 𝑋 prefix 𝑀 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( 𝑋 prefix 𝑀 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ∧ ( ♯ ‘ ( 𝑋 prefix 𝑀 ) ) = ( ( 𝑀 − 1 ) + 1 ) ) ) ) |
121 |
116 120
|
mpbird |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑀 + 1 ) ) ) ∧ 𝑋 ∈ ( 𝑁 ClWWalksN 𝐺 ) ) → ( 𝑋 prefix 𝑀 ) ∈ ( ( 𝑀 − 1 ) WWalksN 𝐺 ) ) |
122 |
121
|
ex |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑀 + 1 ) ) ) → ( 𝑋 ∈ ( 𝑁 ClWWalksN 𝐺 ) → ( 𝑋 prefix 𝑀 ) ∈ ( ( 𝑀 − 1 ) WWalksN 𝐺 ) ) ) |