Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
dmdbr4 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ( 𝐴 𝑀ℋ* 𝐵 ↔ ∀ 𝑥 ∈ Cℋ ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ⊆ ( ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ 𝐴 ) ∨ℋ 𝐵 ) ) ) |
2 |
|
chub1 |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → 𝑥 ⊆ ( 𝑥 ∨ℋ 𝐵 ) ) |
3 |
2
|
ancoms |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → 𝑥 ⊆ ( 𝑥 ∨ℋ 𝐵 ) ) |
4 |
|
ssin |
⊢ ( ( 𝑥 ⊆ ( 𝑥 ∨ℋ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ↔ 𝑥 ⊆ ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ) |
5 |
|
sstr2 |
⊢ ( 𝑥 ⊆ ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) → ( ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ⊆ ( ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ 𝐴 ) ∨ℋ 𝐵 ) → 𝑥 ⊆ ( ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ 𝐴 ) ∨ℋ 𝐵 ) ) ) |
6 |
4 5
|
sylbi |
⊢ ( ( 𝑥 ⊆ ( 𝑥 ∨ℋ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) → ( ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ⊆ ( ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ 𝐴 ) ∨ℋ 𝐵 ) → 𝑥 ⊆ ( ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ 𝐴 ) ∨ℋ 𝐵 ) ) ) |
7 |
3 6
|
sylan |
⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) → ( ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ⊆ ( ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ 𝐴 ) ∨ℋ 𝐵 ) → 𝑥 ⊆ ( ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ 𝐴 ) ∨ℋ 𝐵 ) ) ) |
8 |
7
|
ex |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ( 𝑥 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) → ( ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ⊆ ( ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ 𝐴 ) ∨ℋ 𝐵 ) → 𝑥 ⊆ ( ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ 𝐴 ) ∨ℋ 𝐵 ) ) ) ) |
9 |
8
|
com23 |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ( ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ⊆ ( ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ 𝐴 ) ∨ℋ 𝐵 ) → ( 𝑥 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) → 𝑥 ⊆ ( ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ 𝐴 ) ∨ℋ 𝐵 ) ) ) ) |
10 |
9
|
ralimdva |
⊢ ( 𝐵 ∈ Cℋ → ( ∀ 𝑥 ∈ Cℋ ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ⊆ ( ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ 𝐴 ) ∨ℋ 𝐵 ) → ∀ 𝑥 ∈ Cℋ ( 𝑥 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) → 𝑥 ⊆ ( ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ 𝐴 ) ∨ℋ 𝐵 ) ) ) ) |
11 |
10
|
adantl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ( ∀ 𝑥 ∈ Cℋ ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ⊆ ( ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ 𝐴 ) ∨ℋ 𝐵 ) → ∀ 𝑥 ∈ Cℋ ( 𝑥 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) → 𝑥 ⊆ ( ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ 𝐴 ) ∨ℋ 𝐵 ) ) ) ) |
12 |
1 11
|
sylbid |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ( 𝐴 𝑀ℋ* 𝐵 → ∀ 𝑥 ∈ Cℋ ( 𝑥 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) → 𝑥 ⊆ ( ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ 𝐴 ) ∨ℋ 𝐵 ) ) ) ) |
13 |
|
sseq1 |
⊢ ( 𝑥 = ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) → ( 𝑥 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ↔ ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ) |
14 |
|
id |
⊢ ( 𝑥 = ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) → 𝑥 = ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ) |
15 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑥 = ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) → ( 𝑥 ∨ℋ 𝐵 ) = ( ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ∨ℋ 𝐵 ) ) |
16 |
15
|
ineq1d |
⊢ ( 𝑥 = ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ 𝐴 ) = ( ( ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ∨ℋ 𝐵 ) ∩ 𝐴 ) ) |
17 |
16
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑥 = ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) → ( ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ 𝐴 ) ∨ℋ 𝐵 ) = ( ( ( ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ∨ℋ 𝐵 ) ∩ 𝐴 ) ∨ℋ 𝐵 ) ) |
18 |
14 17
|
sseq12d |
⊢ ( 𝑥 = ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) → ( 𝑥 ⊆ ( ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ 𝐴 ) ∨ℋ 𝐵 ) ↔ ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ⊆ ( ( ( ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ∨ℋ 𝐵 ) ∩ 𝐴 ) ∨ℋ 𝐵 ) ) ) |
19 |
13 18
|
imbi12d |
⊢ ( 𝑥 = ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑥 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) → 𝑥 ⊆ ( ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ 𝐴 ) ∨ℋ 𝐵 ) ) ↔ ( ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) → ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ⊆ ( ( ( ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ∨ℋ 𝐵 ) ∩ 𝐴 ) ∨ℋ 𝐵 ) ) ) ) |
20 |
19
|
rspccv |
⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ Cℋ ( 𝑥 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) → 𝑥 ⊆ ( ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ 𝐴 ) ∨ℋ 𝐵 ) ) → ( ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ∈ Cℋ → ( ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) → ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ⊆ ( ( ( ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ∨ℋ 𝐵 ) ∩ 𝐴 ) ∨ℋ 𝐵 ) ) ) ) |
21 |
|
chjcl |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∈ Cℋ ) |
22 |
21
|
ancoms |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∈ Cℋ ) |
23 |
22
|
adantll |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∈ Cℋ ) |
24 |
|
chjcl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∈ Cℋ ) |
25 |
24
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∈ Cℋ ) |
26 |
|
chincl |
⊢ ( ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∈ Cℋ ∧ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∈ Cℋ ) → ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ∈ Cℋ ) |
27 |
23 25 26
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ∈ Cℋ ) |
28 |
|
inss2 |
⊢ ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) |
29 |
|
pm2.27 |
⊢ ( ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ∈ Cℋ → ( ( ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ∈ Cℋ → ( ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) → ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ⊆ ( ( ( ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ∨ℋ 𝐵 ) ∩ 𝐴 ) ∨ℋ 𝐵 ) ) ) → ( ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) → ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ⊆ ( ( ( ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ∨ℋ 𝐵 ) ∩ 𝐴 ) ∨ℋ 𝐵 ) ) ) ) |
30 |
28 29
|
mpii |
⊢ ( ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ∈ Cℋ → ( ( ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ∈ Cℋ → ( ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) → ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ⊆ ( ( ( ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ∨ℋ 𝐵 ) ∩ 𝐴 ) ∨ℋ 𝐵 ) ) ) → ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ⊆ ( ( ( ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ∨ℋ 𝐵 ) ∩ 𝐴 ) ∨ℋ 𝐵 ) ) ) |
31 |
27 30
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → ( ( ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ∈ Cℋ → ( ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) → ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ⊆ ( ( ( ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ∨ℋ 𝐵 ) ∩ 𝐴 ) ∨ℋ 𝐵 ) ) ) → ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ⊆ ( ( ( ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ∨ℋ 𝐵 ) ∩ 𝐴 ) ∨ℋ 𝐵 ) ) ) |
32 |
|
chub2 |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → 𝐵 ⊆ ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ) |
33 |
32
|
adantll |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → 𝐵 ⊆ ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ) |
34 |
|
chub2 |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → 𝐵 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) |
35 |
34
|
ancoms |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → 𝐵 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) |
36 |
35
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → 𝐵 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) |
37 |
33 36
|
ssind |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → 𝐵 ⊆ ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ) |
38 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → 𝐵 ∈ Cℋ ) |
39 |
|
chlejb2 |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ Cℋ ∧ ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ∈ Cℋ ) → ( 𝐵 ⊆ ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ↔ ( ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ∨ℋ 𝐵 ) = ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ) ) |
40 |
38 27 39
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → ( 𝐵 ⊆ ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ↔ ( ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ∨ℋ 𝐵 ) = ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ) ) |
41 |
37 40
|
mpbid |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → ( ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ∨ℋ 𝐵 ) = ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ) |
42 |
41
|
ineq1d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → ( ( ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ∨ℋ 𝐵 ) ∩ 𝐴 ) = ( ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ∩ 𝐴 ) ) |
43 |
|
inass |
⊢ ( ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ∩ 𝐴 ) = ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ 𝐴 ) ) |
44 |
|
incom |
⊢ ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ 𝐴 ) = ( 𝐴 ∩ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) |
45 |
|
chabs2 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ( 𝐴 ∩ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) = 𝐴 ) |
46 |
44 45
|
syl5eq |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ 𝐴 ) = 𝐴 ) |
47 |
46
|
ineq2d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ 𝐴 ) ) = ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ 𝐴 ) ) |
48 |
43 47
|
syl5eq |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ( ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ∩ 𝐴 ) = ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ 𝐴 ) ) |
49 |
48
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → ( ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ∩ 𝐴 ) = ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ 𝐴 ) ) |
50 |
42 49
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → ( ( ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ∨ℋ 𝐵 ) ∩ 𝐴 ) = ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ 𝐴 ) ) |
51 |
50
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → ( ( ( ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ∨ℋ 𝐵 ) ∩ 𝐴 ) ∨ℋ 𝐵 ) = ( ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ 𝐴 ) ∨ℋ 𝐵 ) ) |
52 |
51
|
sseq2d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → ( ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ⊆ ( ( ( ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ∨ℋ 𝐵 ) ∩ 𝐴 ) ∨ℋ 𝐵 ) ↔ ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ⊆ ( ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ 𝐴 ) ∨ℋ 𝐵 ) ) ) |
53 |
31 52
|
sylibd |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → ( ( ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ∈ Cℋ → ( ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) → ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ⊆ ( ( ( ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ∨ℋ 𝐵 ) ∩ 𝐴 ) ∨ℋ 𝐵 ) ) ) → ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ⊆ ( ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ 𝐴 ) ∨ℋ 𝐵 ) ) ) |
54 |
53
|
ex |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ( 𝑦 ∈ Cℋ → ( ( ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ∈ Cℋ → ( ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) → ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ⊆ ( ( ( ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ∨ℋ 𝐵 ) ∩ 𝐴 ) ∨ℋ 𝐵 ) ) ) → ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ⊆ ( ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ 𝐴 ) ∨ℋ 𝐵 ) ) ) ) |
55 |
54
|
com23 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ( ( ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ∈ Cℋ → ( ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) → ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ⊆ ( ( ( ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ∨ℋ 𝐵 ) ∩ 𝐴 ) ∨ℋ 𝐵 ) ) ) → ( 𝑦 ∈ Cℋ → ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ⊆ ( ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ 𝐴 ) ∨ℋ 𝐵 ) ) ) ) |
56 |
20 55
|
syl5 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ( ∀ 𝑥 ∈ Cℋ ( 𝑥 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) → 𝑥 ⊆ ( ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ 𝐴 ) ∨ℋ 𝐵 ) ) → ( 𝑦 ∈ Cℋ → ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ⊆ ( ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ 𝐴 ) ∨ℋ 𝐵 ) ) ) ) |
57 |
56
|
ralrimdv |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ( ∀ 𝑥 ∈ Cℋ ( 𝑥 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) → 𝑥 ⊆ ( ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ 𝐴 ) ∨ℋ 𝐵 ) ) → ∀ 𝑦 ∈ Cℋ ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ⊆ ( ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ 𝐴 ) ∨ℋ 𝐵 ) ) ) |
58 |
|
dmdbr4 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ( 𝐴 𝑀ℋ* 𝐵 ↔ ∀ 𝑦 ∈ Cℋ ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ⊆ ( ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ 𝐴 ) ∨ℋ 𝐵 ) ) ) |
59 |
57 58
|
sylibrd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ( ∀ 𝑥 ∈ Cℋ ( 𝑥 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) → 𝑥 ⊆ ( ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ 𝐴 ) ∨ℋ 𝐵 ) ) → 𝐴 𝑀ℋ* 𝐵 ) ) |
60 |
12 59
|
impbid |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ( 𝐴 𝑀ℋ* 𝐵 ↔ ∀ 𝑥 ∈ Cℋ ( 𝑥 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) → 𝑥 ⊆ ( ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ 𝐴 ) ∨ℋ 𝐵 ) ) ) ) |