Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
atomle.b |
⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 ) |
2 |
|
atomle.l |
⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 ) |
3 |
|
atomle.j |
⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 ) |
4 |
|
atomle.a |
⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 ) |
5 |
|
simpl32 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≤ 𝑋 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑋 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ 𝑅 ≠ 𝑃 ) → ¬ 𝑄 ≤ 𝑋 ) |
6 |
|
simp11l |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≤ 𝑋 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑋 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ 𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≤ 𝑋 ) → 𝐾 ∈ HL ) |
7 |
6
|
hllatd |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≤ 𝑋 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑋 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ 𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≤ 𝑋 ) → 𝐾 ∈ Lat ) |
8 |
|
simp122 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≤ 𝑋 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑋 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ 𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≤ 𝑋 ) → 𝑄 ∈ 𝐴 ) |
9 |
1 4
|
atbase |
⊢ ( 𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ 𝐵 ) |
10 |
8 9
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≤ 𝑋 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑋 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ 𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≤ 𝑋 ) → 𝑄 ∈ 𝐵 ) |
11 |
|
simp121 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≤ 𝑋 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑋 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ 𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≤ 𝑋 ) → 𝑃 ∈ 𝐴 ) |
12 |
1 4
|
atbase |
⊢ ( 𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ 𝐵 ) |
13 |
11 12
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≤ 𝑋 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑋 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ 𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≤ 𝑋 ) → 𝑃 ∈ 𝐵 ) |
14 |
|
simp123 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≤ 𝑋 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑋 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ 𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≤ 𝑋 ) → 𝑅 ∈ 𝐴 ) |
15 |
1 4
|
atbase |
⊢ ( 𝑅 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ 𝐵 ) |
16 |
14 15
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≤ 𝑋 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑋 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ 𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≤ 𝑋 ) → 𝑅 ∈ 𝐵 ) |
17 |
1 3
|
latjcl |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ∈ 𝐵 ) |
18 |
7 13 16 17
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≤ 𝑋 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑋 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ 𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≤ 𝑋 ) → ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ∈ 𝐵 ) |
19 |
|
simp11r |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≤ 𝑋 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑋 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ 𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≤ 𝑋 ) → 𝑋 ∈ 𝐵 ) |
20 |
14 8 11
|
3jca |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≤ 𝑋 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑋 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ 𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≤ 𝑋 ) → ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ) |
21 |
|
simp2 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≤ 𝑋 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑋 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ 𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≤ 𝑋 ) → 𝑅 ≠ 𝑃 ) |
22 |
6 20 21
|
3jca |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≤ 𝑋 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑋 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ 𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≤ 𝑋 ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑅 ≠ 𝑃 ) ) |
23 |
|
simp133 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≤ 𝑋 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑋 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ 𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≤ 𝑋 ) → 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) |
24 |
2 3 4
|
hlatexch1 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑅 ≠ 𝑃 ) → ( 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) → 𝑄 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ) ) |
25 |
22 23 24
|
sylc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≤ 𝑋 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑋 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ 𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≤ 𝑋 ) → 𝑄 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ) |
26 |
|
simp131 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≤ 𝑋 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑋 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ 𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≤ 𝑋 ) → 𝑃 ≤ 𝑋 ) |
27 |
|
simp3 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≤ 𝑋 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑋 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ 𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≤ 𝑋 ) → 𝑅 ≤ 𝑋 ) |
28 |
1 2 3
|
latjle12 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑃 ≤ 𝑋 ∧ 𝑅 ≤ 𝑋 ) ↔ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑋 ) ) |
29 |
7 13 16 19 28
|
syl13anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≤ 𝑋 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑋 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ 𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≤ 𝑋 ) → ( ( 𝑃 ≤ 𝑋 ∧ 𝑅 ≤ 𝑋 ) ↔ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑋 ) ) |
30 |
26 27 29
|
mpbi2and |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≤ 𝑋 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑋 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ 𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≤ 𝑋 ) → ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑋 ) |
31 |
1 2 7 10 18 19 25 30
|
lattrd |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≤ 𝑋 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑋 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ 𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≤ 𝑋 ) → 𝑄 ≤ 𝑋 ) |
32 |
31
|
3expia |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≤ 𝑋 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑋 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ 𝑅 ≠ 𝑃 ) → ( 𝑅 ≤ 𝑋 → 𝑄 ≤ 𝑋 ) ) |
33 |
5 32
|
mtod |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≤ 𝑋 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑋 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ 𝑅 ≠ 𝑃 ) → ¬ 𝑅 ≤ 𝑋 ) |
34 |
33
|
ex |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≤ 𝑋 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑋 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → ( 𝑅 ≠ 𝑃 → ¬ 𝑅 ≤ 𝑋 ) ) |
35 |
34
|
necon4ad |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≤ 𝑋 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑋 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → ( 𝑅 ≤ 𝑋 → 𝑅 = 𝑃 ) ) |
36 |
|
simp31 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≤ 𝑋 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑋 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → 𝑃 ≤ 𝑋 ) |
37 |
|
breq1 |
⊢ ( 𝑅 = 𝑃 → ( 𝑅 ≤ 𝑋 ↔ 𝑃 ≤ 𝑋 ) ) |
38 |
36 37
|
syl5ibrcom |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≤ 𝑋 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑋 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → ( 𝑅 = 𝑃 → 𝑅 ≤ 𝑋 ) ) |
39 |
35 38
|
impbid |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≤ 𝑋 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑋 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → ( 𝑅 ≤ 𝑋 ↔ 𝑅 = 𝑃 ) ) |