Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
fof |
⊢ ( 𝑓 : 𝐴 –onto→ 𝐵 → 𝑓 : 𝐴 ⟶ 𝐵 ) |
2 |
1
|
fdmd |
⊢ ( 𝑓 : 𝐴 –onto→ 𝐵 → dom 𝑓 = 𝐴 ) |
3 |
2
|
eqeq1d |
⊢ ( 𝑓 : 𝐴 –onto→ 𝐵 → ( dom 𝑓 = ∅ ↔ 𝐴 = ∅ ) ) |
4 |
|
dm0rn0 |
⊢ ( dom 𝑓 = ∅ ↔ ran 𝑓 = ∅ ) |
5 |
|
forn |
⊢ ( 𝑓 : 𝐴 –onto→ 𝐵 → ran 𝑓 = 𝐵 ) |
6 |
5
|
eqeq1d |
⊢ ( 𝑓 : 𝐴 –onto→ 𝐵 → ( ran 𝑓 = ∅ ↔ 𝐵 = ∅ ) ) |
7 |
4 6
|
syl5bb |
⊢ ( 𝑓 : 𝐴 –onto→ 𝐵 → ( dom 𝑓 = ∅ ↔ 𝐵 = ∅ ) ) |
8 |
3 7
|
bitr3d |
⊢ ( 𝑓 : 𝐴 –onto→ 𝐵 → ( 𝐴 = ∅ ↔ 𝐵 = ∅ ) ) |
9 |
8
|
necon3bid |
⊢ ( 𝑓 : 𝐴 –onto→ 𝐵 → ( 𝐴 ≠ ∅ ↔ 𝐵 ≠ ∅ ) ) |
10 |
9
|
biimpac |
⊢ ( ( 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝑓 : 𝐴 –onto→ 𝐵 ) → 𝐵 ≠ ∅ ) |
11 |
10
|
adantll |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ) ∧ 𝑓 : 𝐴 –onto→ 𝐵 ) → 𝐵 ≠ ∅ ) |
12 |
|
vex |
⊢ 𝑓 ∈ V |
13 |
12
|
rnex |
⊢ ran 𝑓 ∈ V |
14 |
5 13
|
eqeltrrdi |
⊢ ( 𝑓 : 𝐴 –onto→ 𝐵 → 𝐵 ∈ V ) |
15 |
14
|
adantl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓 : 𝐴 –onto→ 𝐵 ) → 𝐵 ∈ V ) |
16 |
|
0sdomg |
⊢ ( 𝐵 ∈ V → ( ∅ ≺ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ ∅ ) ) |
17 |
15 16
|
syl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓 : 𝐴 –onto→ 𝐵 ) → ( ∅ ≺ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ ∅ ) ) |
18 |
17
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ) ∧ 𝑓 : 𝐴 –onto→ 𝐵 ) → ( ∅ ≺ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ ∅ ) ) |
19 |
11 18
|
mpbird |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ) ∧ 𝑓 : 𝐴 –onto→ 𝐵 ) → ∅ ≺ 𝐵 ) |
20 |
19
|
ex |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ) → ( 𝑓 : 𝐴 –onto→ 𝐵 → ∅ ≺ 𝐵 ) ) |
21 |
|
fodomfi |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓 : 𝐴 –onto→ 𝐵 ) → 𝐵 ≼ 𝐴 ) |
22 |
21
|
ex |
⊢ ( 𝐴 ∈ Fin → ( 𝑓 : 𝐴 –onto→ 𝐵 → 𝐵 ≼ 𝐴 ) ) |
23 |
22
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ) → ( 𝑓 : 𝐴 –onto→ 𝐵 → 𝐵 ≼ 𝐴 ) ) |
24 |
20 23
|
jcad |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ) → ( 𝑓 : 𝐴 –onto→ 𝐵 → ( ∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴 ) ) ) |
25 |
24
|
exlimdv |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ) → ( ∃ 𝑓 𝑓 : 𝐴 –onto→ 𝐵 → ( ∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴 ) ) ) |
26 |
25
|
expimpd |
⊢ ( 𝐴 ∈ Fin → ( ( 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃ 𝑓 𝑓 : 𝐴 –onto→ 𝐵 ) → ( ∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴 ) ) ) |
27 |
|
sdomdomtr |
⊢ ( ( ∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴 ) → ∅ ≺ 𝐴 ) |
28 |
|
0sdomg |
⊢ ( 𝐴 ∈ Fin → ( ∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅ ) ) |
29 |
27 28
|
syl5ib |
⊢ ( 𝐴 ∈ Fin → ( ( ∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴 ) → 𝐴 ≠ ∅ ) ) |
30 |
|
fodomr |
⊢ ( ( ∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴 ) → ∃ 𝑓 𝑓 : 𝐴 –onto→ 𝐵 ) |
31 |
29 30
|
jca2 |
⊢ ( 𝐴 ∈ Fin → ( ( ∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴 ) → ( 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃ 𝑓 𝑓 : 𝐴 –onto→ 𝐵 ) ) ) |
32 |
26 31
|
impbid |
⊢ ( 𝐴 ∈ Fin → ( ( 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃ 𝑓 𝑓 : 𝐴 –onto→ 𝐵 ) ↔ ( ∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴 ) ) ) |