Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑁 = 𝑀 → ( 𝑁 ... 𝑁 ) = ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) |
2 |
1
|
eleq2d |
⊢ ( 𝑁 = 𝑀 → ( 𝐾 ∈ ( 𝑁 ... 𝑁 ) ↔ 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ) |
3 |
|
elfz1eq |
⊢ ( 𝐾 ∈ ( 𝑁 ... 𝑁 ) → 𝐾 = 𝑁 ) |
4 |
2 3
|
syl6bir |
⊢ ( 𝑁 = 𝑀 → ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) → 𝐾 = 𝑁 ) ) |
5 |
|
olc |
⊢ ( 𝐾 = 𝑁 → ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∨ 𝐾 = 𝑁 ) ) |
6 |
4 5
|
syl6 |
⊢ ( 𝑁 = 𝑀 → ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) → ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∨ 𝐾 = 𝑁 ) ) ) |
7 |
6
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ∧ 𝑁 = 𝑀 ) → ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) → ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∨ 𝐾 = 𝑁 ) ) ) |
8 |
|
noel |
⊢ ¬ 𝐾 ∈ ∅ |
9 |
|
eluzelz |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) → 𝑁 ∈ ℤ ) |
10 |
9
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ∧ 𝑁 = 𝑀 ) → 𝑁 ∈ ℤ ) |
11 |
10
|
zred |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ∧ 𝑁 = 𝑀 ) → 𝑁 ∈ ℝ ) |
12 |
11
|
ltm1d |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ∧ 𝑁 = 𝑀 ) → ( 𝑁 − 1 ) < 𝑁 ) |
13 |
|
breq2 |
⊢ ( 𝑁 = 𝑀 → ( ( 𝑁 − 1 ) < 𝑁 ↔ ( 𝑁 − 1 ) < 𝑀 ) ) |
14 |
13
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ∧ 𝑁 = 𝑀 ) → ( ( 𝑁 − 1 ) < 𝑁 ↔ ( 𝑁 − 1 ) < 𝑀 ) ) |
15 |
12 14
|
mpbid |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ∧ 𝑁 = 𝑀 ) → ( 𝑁 − 1 ) < 𝑀 ) |
16 |
|
eluzel2 |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) → 𝑀 ∈ ℤ ) |
17 |
|
1zzd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ∧ 𝑁 = 𝑀 ) → 1 ∈ ℤ ) |
18 |
10 17
|
zsubcld |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ∧ 𝑁 = 𝑀 ) → ( 𝑁 − 1 ) ∈ ℤ ) |
19 |
|
fzn |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ ( 𝑁 − 1 ) ∈ ℤ ) → ( ( 𝑁 − 1 ) < 𝑀 ↔ ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) = ∅ ) ) |
20 |
16 18 19
|
syl2an2r |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ∧ 𝑁 = 𝑀 ) → ( ( 𝑁 − 1 ) < 𝑀 ↔ ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) = ∅ ) ) |
21 |
15 20
|
mpbid |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ∧ 𝑁 = 𝑀 ) → ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) = ∅ ) |
22 |
21
|
eleq2d |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ∧ 𝑁 = 𝑀 ) → ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↔ 𝐾 ∈ ∅ ) ) |
23 |
8 22
|
mtbiri |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ∧ 𝑁 = 𝑀 ) → ¬ 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) |
24 |
23
|
pm2.21d |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ∧ 𝑁 = 𝑀 ) → ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) → 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ) |
25 |
|
eluzfz2 |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) → 𝑁 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) |
26 |
25
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ∧ 𝑁 = 𝑀 ) ∧ 𝐾 = 𝑁 ) → 𝑁 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) |
27 |
|
eleq1 |
⊢ ( 𝐾 = 𝑁 → ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ↔ 𝑁 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ) |
28 |
27
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ∧ 𝑁 = 𝑀 ) ∧ 𝐾 = 𝑁 ) → ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ↔ 𝑁 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ) |
29 |
26 28
|
mpbird |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ∧ 𝑁 = 𝑀 ) ∧ 𝐾 = 𝑁 ) → 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) |
30 |
29
|
ex |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ∧ 𝑁 = 𝑀 ) → ( 𝐾 = 𝑁 → 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ) |
31 |
24 30
|
jaod |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ∧ 𝑁 = 𝑀 ) → ( ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∨ 𝐾 = 𝑁 ) → 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ) |
32 |
7 31
|
impbid |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ∧ 𝑁 = 𝑀 ) → ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ↔ ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∨ 𝐾 = 𝑁 ) ) ) |
33 |
|
elfzp1 |
⊢ ( ( 𝑁 − 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) → ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) ) ↔ ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∨ 𝐾 = ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) ) ) ) |
34 |
33
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ∧ ( 𝑁 − 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ) → ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) ) ↔ ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∨ 𝐾 = ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) ) ) ) |
35 |
9
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ∧ ( 𝑁 − 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ) → 𝑁 ∈ ℤ ) |
36 |
35
|
zcnd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ∧ ( 𝑁 − 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ) → 𝑁 ∈ ℂ ) |
37 |
|
npcan1 |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℂ → ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) = 𝑁 ) |
38 |
36 37
|
syl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ∧ ( 𝑁 − 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) = 𝑁 ) |
39 |
38
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ∧ ( 𝑁 − 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ) → ( 𝑀 ... ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) ) = ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) |
40 |
39
|
eleq2d |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ∧ ( 𝑁 − 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ) → ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) ) ↔ 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ) |
41 |
38
|
eqeq2d |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ∧ ( 𝑁 − 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ) → ( 𝐾 = ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) ↔ 𝐾 = 𝑁 ) ) |
42 |
41
|
orbi2d |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ∧ ( 𝑁 − 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ) → ( ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∨ 𝐾 = ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) ) ↔ ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∨ 𝐾 = 𝑁 ) ) ) |
43 |
34 40 42
|
3bitr3d |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ∧ ( 𝑁 − 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ) → ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ↔ ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∨ 𝐾 = 𝑁 ) ) ) |
44 |
|
uzm1 |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) → ( 𝑁 = 𝑀 ∨ ( 𝑁 − 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ) ) |
45 |
32 43 44
|
mpjaodan |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) → ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ↔ ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∨ 𝐾 = 𝑁 ) ) ) |