Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
ipid.1 |
⊢ 𝑋 = ( BaseSet ‘ 𝑈 ) |
2 |
|
ipid.6 |
⊢ 𝑁 = ( normCV ‘ 𝑈 ) |
3 |
|
ipid.7 |
⊢ 𝑃 = ( ·𝑖OLD ‘ 𝑈 ) |
4 |
|
eqid |
⊢ ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) = ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) |
5 |
|
eqid |
⊢ ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) = ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) |
6 |
1 4 5 2 3
|
ipval2 |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( 𝐴 𝑃 𝐴 ) = ( ( ( ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) ) ↑ 2 ) − ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( - 1 ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) ) ) ↑ 2 ) ) + ( i · ( ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( i ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) ) ) ↑ 2 ) − ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( - i ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) ) ) ↑ 2 ) ) ) ) / 4 ) ) |
7 |
6
|
3anidm23 |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( 𝐴 𝑃 𝐴 ) = ( ( ( ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) ) ↑ 2 ) − ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( - 1 ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) ) ) ↑ 2 ) ) + ( i · ( ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( i ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) ) ) ↑ 2 ) − ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( - i ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) ) ) ↑ 2 ) ) ) ) / 4 ) ) |
8 |
1 4 5
|
nv2 |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) = ( 2 ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) ) |
9 |
8
|
fveq2d |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( 𝑁 ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) ) = ( 𝑁 ‘ ( 2 ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) ) ) |
10 |
|
2re |
⊢ 2 ∈ ℝ |
11 |
|
0le2 |
⊢ 0 ≤ 2 |
12 |
10 11
|
pm3.2i |
⊢ ( 2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2 ) |
13 |
1 5 2
|
nvsge0 |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ( 2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2 ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( 𝑁 ‘ ( 2 ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) ) = ( 2 · ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) ) |
14 |
12 13
|
mp3an2 |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( 𝑁 ‘ ( 2 ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) ) = ( 2 · ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) ) |
15 |
9 14
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( 𝑁 ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) ) = ( 2 · ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) ) |
16 |
15
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) ) ↑ 2 ) = ( ( 2 · ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) ↑ 2 ) ) |
17 |
1 2
|
nvcl |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) |
18 |
17
|
recnd |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ∈ ℂ ) |
19 |
|
2cn |
⊢ 2 ∈ ℂ |
20 |
|
2nn0 |
⊢ 2 ∈ ℕ0 |
21 |
|
mulexp |
⊢ ( ( 2 ∈ ℂ ∧ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ) → ( ( 2 · ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) ↑ 2 ) = ( ( 2 ↑ 2 ) · ( ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) ) |
22 |
19 20 21
|
mp3an13 |
⊢ ( ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ∈ ℂ → ( ( 2 · ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) ↑ 2 ) = ( ( 2 ↑ 2 ) · ( ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) ) |
23 |
18 22
|
syl |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( ( 2 · ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) ↑ 2 ) = ( ( 2 ↑ 2 ) · ( ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) ) |
24 |
|
sq2 |
⊢ ( 2 ↑ 2 ) = 4 |
25 |
24
|
oveq1i |
⊢ ( ( 2 ↑ 2 ) · ( ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) = ( 4 · ( ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) |
26 |
23 25
|
eqtrdi |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( ( 2 · ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) ↑ 2 ) = ( 4 · ( ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) ) |
27 |
16 26
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) ) ↑ 2 ) = ( 4 · ( ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) ) |
28 |
|
eqid |
⊢ ( 0vec ‘ 𝑈 ) = ( 0vec ‘ 𝑈 ) |
29 |
1 4 5 28
|
nvrinv |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( - 1 ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) ) = ( 0vec ‘ 𝑈 ) ) |
30 |
29
|
fveq2d |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( 𝑁 ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( - 1 ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) ) ) = ( 𝑁 ‘ ( 0vec ‘ 𝑈 ) ) ) |
31 |
28 2
|
nvz0 |
⊢ ( 𝑈 ∈ NrmCVec → ( 𝑁 ‘ ( 0vec ‘ 𝑈 ) ) = 0 ) |
32 |
31
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( 𝑁 ‘ ( 0vec ‘ 𝑈 ) ) = 0 ) |
33 |
30 32
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( 𝑁 ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( - 1 ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) ) ) = 0 ) |
34 |
33
|
sq0id |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( - 1 ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) ) ) ↑ 2 ) = 0 ) |
35 |
27 34
|
oveq12d |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) ) ↑ 2 ) − ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( - 1 ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) ) ) ↑ 2 ) ) = ( ( 4 · ( ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) − 0 ) ) |
36 |
|
4cn |
⊢ 4 ∈ ℂ |
37 |
18
|
sqcld |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ∈ ℂ ) |
38 |
|
mulcl |
⊢ ( ( 4 ∈ ℂ ∧ ( ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ∈ ℂ ) → ( 4 · ( ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) ∈ ℂ ) |
39 |
36 37 38
|
sylancr |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( 4 · ( ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) ∈ ℂ ) |
40 |
39
|
subid1d |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( ( 4 · ( ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) − 0 ) = ( 4 · ( ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) ) |
41 |
35 40
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) ) ↑ 2 ) − ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( - 1 ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) ) ) ↑ 2 ) ) = ( 4 · ( ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) ) |
42 |
|
1re |
⊢ 1 ∈ ℝ |
43 |
|
neg1rr |
⊢ - 1 ∈ ℝ |
44 |
|
absreim |
⊢ ( ( 1 ∈ ℝ ∧ - 1 ∈ ℝ ) → ( abs ‘ ( 1 + ( i · - 1 ) ) ) = ( √ ‘ ( ( 1 ↑ 2 ) + ( - 1 ↑ 2 ) ) ) ) |
45 |
42 43 44
|
mp2an |
⊢ ( abs ‘ ( 1 + ( i · - 1 ) ) ) = ( √ ‘ ( ( 1 ↑ 2 ) + ( - 1 ↑ 2 ) ) ) |
46 |
|
ax-icn |
⊢ i ∈ ℂ |
47 |
|
ax-1cn |
⊢ 1 ∈ ℂ |
48 |
46 47
|
mulneg2i |
⊢ ( i · - 1 ) = - ( i · 1 ) |
49 |
46
|
mulid1i |
⊢ ( i · 1 ) = i |
50 |
49
|
negeqi |
⊢ - ( i · 1 ) = - i |
51 |
48 50
|
eqtri |
⊢ ( i · - 1 ) = - i |
52 |
51
|
oveq2i |
⊢ ( 1 + ( i · - 1 ) ) = ( 1 + - i ) |
53 |
52
|
fveq2i |
⊢ ( abs ‘ ( 1 + ( i · - 1 ) ) ) = ( abs ‘ ( 1 + - i ) ) |
54 |
|
sqneg |
⊢ ( 1 ∈ ℂ → ( - 1 ↑ 2 ) = ( 1 ↑ 2 ) ) |
55 |
47 54
|
ax-mp |
⊢ ( - 1 ↑ 2 ) = ( 1 ↑ 2 ) |
56 |
55
|
oveq2i |
⊢ ( ( 1 ↑ 2 ) + ( - 1 ↑ 2 ) ) = ( ( 1 ↑ 2 ) + ( 1 ↑ 2 ) ) |
57 |
56
|
fveq2i |
⊢ ( √ ‘ ( ( 1 ↑ 2 ) + ( - 1 ↑ 2 ) ) ) = ( √ ‘ ( ( 1 ↑ 2 ) + ( 1 ↑ 2 ) ) ) |
58 |
45 53 57
|
3eqtr3i |
⊢ ( abs ‘ ( 1 + - i ) ) = ( √ ‘ ( ( 1 ↑ 2 ) + ( 1 ↑ 2 ) ) ) |
59 |
|
absreim |
⊢ ( ( 1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ) → ( abs ‘ ( 1 + ( i · 1 ) ) ) = ( √ ‘ ( ( 1 ↑ 2 ) + ( 1 ↑ 2 ) ) ) ) |
60 |
42 42 59
|
mp2an |
⊢ ( abs ‘ ( 1 + ( i · 1 ) ) ) = ( √ ‘ ( ( 1 ↑ 2 ) + ( 1 ↑ 2 ) ) ) |
61 |
49
|
oveq2i |
⊢ ( 1 + ( i · 1 ) ) = ( 1 + i ) |
62 |
61
|
fveq2i |
⊢ ( abs ‘ ( 1 + ( i · 1 ) ) ) = ( abs ‘ ( 1 + i ) ) |
63 |
58 60 62
|
3eqtr2i |
⊢ ( abs ‘ ( 1 + - i ) ) = ( abs ‘ ( 1 + i ) ) |
64 |
63
|
oveq1i |
⊢ ( ( abs ‘ ( 1 + - i ) ) · ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) = ( ( abs ‘ ( 1 + i ) ) · ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) |
65 |
|
negicn |
⊢ - i ∈ ℂ |
66 |
47 65
|
addcli |
⊢ ( 1 + - i ) ∈ ℂ |
67 |
1 5 2
|
nvs |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ( 1 + - i ) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( 𝑁 ‘ ( ( 1 + - i ) ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) ) = ( ( abs ‘ ( 1 + - i ) ) · ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) ) |
68 |
66 67
|
mp3an2 |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( 𝑁 ‘ ( ( 1 + - i ) ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) ) = ( ( abs ‘ ( 1 + - i ) ) · ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) ) |
69 |
47 46
|
addcli |
⊢ ( 1 + i ) ∈ ℂ |
70 |
1 5 2
|
nvs |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ( 1 + i ) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( 𝑁 ‘ ( ( 1 + i ) ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) ) = ( ( abs ‘ ( 1 + i ) ) · ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) ) |
71 |
69 70
|
mp3an2 |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( 𝑁 ‘ ( ( 1 + i ) ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) ) = ( ( abs ‘ ( 1 + i ) ) · ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) ) |
72 |
64 68 71
|
3eqtr4a |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( 𝑁 ‘ ( ( 1 + - i ) ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) ) = ( 𝑁 ‘ ( ( 1 + i ) ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) ) ) |
73 |
1 4 5
|
nvdir |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ( 1 ∈ ℂ ∧ - i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) ) → ( ( 1 + - i ) ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) = ( ( 1 ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( - i ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) ) ) |
74 |
47 73
|
mp3anr1 |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ( - i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) ) → ( ( 1 + - i ) ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) = ( ( 1 ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( - i ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) ) ) |
75 |
65 74
|
mpanr1 |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( ( 1 + - i ) ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) = ( ( 1 ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( - i ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) ) ) |
76 |
1 5
|
nvsid |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( 1 ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) = 𝐴 ) |
77 |
76
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( ( 1 ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( - i ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) ) = ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( - i ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) ) ) |
78 |
75 77
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( ( 1 + - i ) ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) = ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( - i ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) ) ) |
79 |
78
|
fveq2d |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( 𝑁 ‘ ( ( 1 + - i ) ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) ) = ( 𝑁 ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( - i ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) ) ) ) |
80 |
1 4 5
|
nvdir |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ( 1 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) ) → ( ( 1 + i ) ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) = ( ( 1 ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( i ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) ) ) |
81 |
47 80
|
mp3anr1 |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ( i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) ) → ( ( 1 + i ) ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) = ( ( 1 ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( i ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) ) ) |
82 |
46 81
|
mpanr1 |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( ( 1 + i ) ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) = ( ( 1 ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( i ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) ) ) |
83 |
76
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( ( 1 ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( i ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) ) = ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( i ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) ) ) |
84 |
82 83
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( ( 1 + i ) ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) = ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( i ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) ) ) |
85 |
84
|
fveq2d |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( 𝑁 ‘ ( ( 1 + i ) ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) ) = ( 𝑁 ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( i ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) ) ) ) |
86 |
72 79 85
|
3eqtr3d |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( 𝑁 ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( - i ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) ) ) = ( 𝑁 ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( i ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) ) ) ) |
87 |
86
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( - i ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) ) ) ↑ 2 ) = ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( i ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) ) ) ↑ 2 ) ) |
88 |
87
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( i ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) ) ) ↑ 2 ) − ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( - i ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) ) ) ↑ 2 ) ) = ( ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( i ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) ) ) ↑ 2 ) − ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( i ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) ) ) ↑ 2 ) ) ) |
89 |
1 4 5 2 3
|
ipval2lem4 |
⊢ ( ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) ∧ i ∈ ℂ ) → ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( i ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) ) ) ↑ 2 ) ∈ ℂ ) |
90 |
46 89
|
mpan2 |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( i ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) ) ) ↑ 2 ) ∈ ℂ ) |
91 |
90
|
3anidm23 |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( i ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) ) ) ↑ 2 ) ∈ ℂ ) |
92 |
91
|
subidd |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( i ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) ) ) ↑ 2 ) − ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( i ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) ) ) ↑ 2 ) ) = 0 ) |
93 |
88 92
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( i ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) ) ) ↑ 2 ) − ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( - i ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) ) ) ↑ 2 ) ) = 0 ) |
94 |
93
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( i · ( ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( i ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) ) ) ↑ 2 ) − ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( - i ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) ) ) ↑ 2 ) ) ) = ( i · 0 ) ) |
95 |
|
it0e0 |
⊢ ( i · 0 ) = 0 |
96 |
94 95
|
eqtrdi |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( i · ( ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( i ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) ) ) ↑ 2 ) − ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( - i ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) ) ) ↑ 2 ) ) ) = 0 ) |
97 |
41 96
|
oveq12d |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) ) ↑ 2 ) − ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( - 1 ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) ) ) ↑ 2 ) ) + ( i · ( ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( i ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) ) ) ↑ 2 ) − ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( - i ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) ) ) ↑ 2 ) ) ) ) = ( ( 4 · ( ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) + 0 ) ) |
98 |
39
|
addid1d |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( ( 4 · ( ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) + 0 ) = ( 4 · ( ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) ) |
99 |
97 98
|
eqtr2d |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( 4 · ( ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) = ( ( ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) ) ↑ 2 ) − ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( - 1 ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) ) ) ↑ 2 ) ) + ( i · ( ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( i ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) ) ) ↑ 2 ) − ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( - i ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) ) ) ↑ 2 ) ) ) ) ) |
100 |
99
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( ( 4 · ( ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) / 4 ) = ( ( ( ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) ) ↑ 2 ) − ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( - 1 ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) ) ) ↑ 2 ) ) + ( i · ( ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( i ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) ) ) ↑ 2 ) − ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( - i ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) ) ) ↑ 2 ) ) ) ) / 4 ) ) |
101 |
|
4ne0 |
⊢ 4 ≠ 0 |
102 |
|
divcan3 |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0 ) → ( ( 4 · ( ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) / 4 ) = ( ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) |
103 |
36 101 102
|
mp3an23 |
⊢ ( ( ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ∈ ℂ → ( ( 4 · ( ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) / 4 ) = ( ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) |
104 |
37 103
|
syl |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( ( 4 · ( ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) / 4 ) = ( ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) |
105 |
7 100 104
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3eqtr2d |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( 𝐴 𝑃 𝐴 ) = ( ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) |